Innhold

Kule

Vektornotasjon er nyttig for å beskrive romfigurer. Lar vi en generell romlig posisjonsvektor være $\vec{r}=(x,y,z)$ , vil en kuleflate ha ligningen


$|\vec{r}|=r$


Alle punkter x,y,z som tilfredsstiller ligningen vil ligge på overflaten av ei kule med sentrum i origo og radius r.


Vi kan flytte senteret ved å translatere langs aksene, dvs. at vi subtraherer en konstant vektor $\vec{r_0}$ fra posisjonen:


$|\vec{r}-\vec{r_0}|=r$


Alle punkter x,y,z som tilfredsstiller denne ligninga vil ligge på en kuleflate med senter i $\vec{r_0}$ og radius r.


Dette gir oss en helt generell beskrivelse av en kule i rommet.


Volum

Volumet av ei kule med radius r er gitt ved formelen


$V(r)=\frac43 \pi r^3$


Overflateareal

Overflatearealet av ei kule med radius r er gitt ved formelen


$A(r)=4\pi r^2$

Likningen for en kule

Likningen for en kule K med radius r og sentrum i$x_0, y_0, z_0$ er gitt ved

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z- z_0)^2 = r^2$

Parameterfremstilling av kuler og kuleflater

Parameterfremstillingen for en kule K med radius r og sentrum i$x_0, y_0, z_0$ er gitt ved

$K: \left [ x = x_0 + r \cdot cos s \cdot cos t\\ y = y_0 + r \cdot sin s \cdot cos t \\ z = z_0 + r \cdot sin t\right]$

Sylinder

En sylinder har tverrsnitt som en sirkulær skive og lengde avgrenset av to plan som står normalt på sylinderens akse.


F.eks. vil en sylinder som er orientert i retning z-aksen (aksen er parallell med z-aksen) være beskrevet som en (lukket) skive i xy-planet avgrenset av plan parallelle med xy-planet. Ligningen til enhetsskiven i xy-planet,


$x^2+y^2\leq 1$

,


vil dermed beskrive en sylinder når vi innfører en ny dimensjon (z-aksen); Sylinderflaten avgrenset av planene $z=a$ og $z=b$ med $a vil bestå av alle punkter $(x,y,z)$ slik at $x^2+y^2\leq 1$ og $z\in [a,b]$


Volum

Volumet av en sylinder med lengde l hvis tverrsnitt har radius r er gitt ved formelen


$V(r,l)=\pi r^2l$

Volumet er altså produktet av arealet av tverrsnittet og lengden.

Overflateareal

Overflatearealet av en sylinder med lengde l og tverrsnitt med radius r, er gitt ved formelen


$A(r,l)= 2\pi rl+2\pi r^2$

Parallellepiped

En parallellepiped er en rektangulær boks som er klemt sammen eller deformert i en viss forstand; Vi tenker oss at en rektangulær boks er utspent av tre ortogonale vektorer. Et parallellepiped vil, til forskjell, være utspent av tre vektorer som ikke nødvendigvis er ortogonale.


Volum

Hvis $\vec{r_1}$ , $\vec{r_2}$ og $\vec{r_3}$ er vektorene som utspenner et parallellepiped, vil volumet være gitt ved formelen


$V(\vec{r_1},\vec{r_2},\vec{r_3})=|(\vec{r_1}\times \vec{r_2})\cdot \vec{r_3}|$


Overflateareal

Hvis $\vec{r_1}$ , $\vec{r_2}$ og $\vec{r_3}$ er vektorene som utspenner et parallellepiped, vil overflatearealet være gitt ved formelen


$A(\vec{r_1},\vec{r_2},\vec{r_3})=2\cdot (|\vec{r_1}\times \vec{r_2}|+|\vec{r_1}\times \vec{r_3}|+|\vec{r_2}\times \vec{r_3}|)$


Her har vi addert par av like sideflater som alle er parallellogrammer.

Rotasjonslegemer

Gitt en funksjon $f(x)$ på et intervall $I=[a,b]$ , kan vi rotere funksjonen om x-aksen slik at vi oppnår et rotasjonslegeme.


Volum

Volumet av rotasjonslegeme generert av en funksjon f(x) på et intervall I=[a,b] er gitt som et integral:


$V(f(x):I)=\int_a^b \pi f(x)^2\,dx$


Integralet kan sees på som en Riemannsum der $\pi f(x)^2$ er arealet av en skive med tykkelse $\Delta x$ . Grovt sett kan vi si at ved å la tykkelsen være infinitesimal vil dette resultere i integralet over.


Overflateareal

På analogt vis kan vi bruke integrasjon til å finne overflatearealet av et rotasjonslegeme:


$A(f(x):I)= \int_a^b 2\pi f(x)\,dx$


Integralet kan sees på som en Riemannsum der $2\pi f(x)$ er omkretsen til tverrsnittet til en sylinder med lengde $\Delta x$ . Grovt sett kan vi si at ved å la lengden være infinitesimal vil dette resultere i integralet over.


Kuler og sylindere som rotasjonslegemer

Ved å betrakte kuler og sylindere som rotasjonslegemer, kan vi anvende de generelle formlene for volum og areal over til å vise kjente formler.


F.eks. vil ei kule med radius 1 og senter i origo, være gitt som rotasjonslegemet vi får ved å rotere funksjonen $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ om x-aksen på intervallet $[-1,1]$ . Bruker vi formelen for volum av rotasjonslegemer, får vi dermed at


$V=\int_{-1}^1 \pi (1-x^2)\,dx=\pi[x-\frac13 x^3]_{-1}^1=\pi(1-\frac13 -(-1+\frac13))= \frac43 \pi$


Dette er i overensstemmelse med den kjente formelen for ei kule med radius 1.


En sylinder vil fremkomme ved å rotere den konstante funksjonen $f(x)=c$ om x-aksen.

Ellipsoide

Vi genererer en ellipsoide ved å rotere en ellipse om sin egen akse.


Paraboloide

Vi genererer en paraboloide ved å rotere en parabel om sin egen akse.


Hyperboloide

Vi genererer en hyperboloide ved å rotere en hyperbel om sin egen akse.