Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Oppgaven som pdf

Løsning laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Innhold

DEL 1

Oppgave 1

a)

$x^2-3x+1=3x+8 \\ x^2-6x-7=0 \\ x=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot(-7)}}{2} \\ x=\frac{6\pm 8}{2} \\ x_1=-1 \vee x_2=7$

b)

$lg(x^4)-lg(x^3)+lg(x^2)-lg\,x=6 \\ 4\,lg\,x-3\,lg\,x+2\,lg\,x-lg\,x=6 \\ 2\,lg\,x=6 \\ lg\,x=3 \\ x=10^3\\ x=1000$

c)

$10\cdot 4^x=5\cdot 2^x \\ \frac{2^{2x}}{2^x} = \frac{5}{10} \\ 2^{2x-x} = \frac{1}{2} \\ 2^x = 2^{-1} \\ x=-1$

Oppgave 2

a)

$(a+2b)^2-(2b-a)^2 \\ = (a^2+4ab+4b^2)-(4b^2-4ab+a^2) \\ = a^2+4ab+4b^2 - 4b^2+4ab-a^2\\ = 8ab$

b)

$3^3 \cdot 3^0 + 3^{-1}+3^{-2}+3^{-3} \\ = 27 \cdot 1 + \frac{1}{3}+ \frac{1}{3^2}+ \frac{1}{3^3} \\= 27+ \frac{9}{27}+ \frac{3}{27}+ \frac{1}{27} \\=27 + \frac{13}{27}$

Jeg synes dette svaret er penest, men man kan også skrive svaret slik:

$ 27 + \frac{13}{27}=\frac{729}{27} + \frac{13}{27} = \frac{742}{27} $

Oppgave 3

$x^2-6x \geq 7$

Løser likningen $x^2-6x-7=0$. Kjenner igjen denne likningen fra oppgave 1a). Løsningen er $x_1=-1 \vee x_2=7$

Et andregradsuttrykk $ax^2+bx+c$ med nullpunkter $x_1$ og $x_2$ kan faktoriseres slik: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Faktoriserer andregradsfunksjonen: $x^2-6x-7 = (x+1)\cdot(x-7)$

Lager fortegnsskjema:

S1-H18-del1-3.png

Svar:

$x^2-6x \geq 7$ når $x \leq -1 \vee x \geq 7$

Alternativt kan svaret skrives slik:

$x \in \langle \leftarrow,-1] \cup [7,\rightarrow \rangle $

Velg din favoritt!

Oppgave 4

a)

Pascal.jpg

b)

Bruker hypergeometrisk sannynlighet, og leser av binomialkoeffisientene i Pascals trekant. (Eksempel: $\binom{7}{4}$ finner du i rad nr.7 og tall nr.4 i raden. Husk å begynne å telle på rad nr.0 og tall nr.0. Hvis du har talt riktig finner du at $\binom{7}{4}=35$).

$P(2J\cap2G)=\frac{\binom{4}{2}\cdot \binom{3}{2}}{\binom{7}{4}}=\frac{6\cdot3}{35}=\frac{18}{35}$

Sannsynligheten for at det blir trukket ut to jenter og to gutter er $\frac{18}{35}$

c)

P(minst en gutt) = 1 - P(ingen gutter) = $1-\frac{\binom{4}{4}\cdot \binom{3}{0}}{\binom{7}{4}}=1-\frac{1\cdot1}{35}=\frac{35}{35}-\frac{1}{35}=\frac{34}{35}$

Sannsynligheten for at minst én gutt fra elevrådet blir med på turen er $\frac{34}{35}$

Oppgave 5

a)

$\left[ \begin{align*} x+y = 1 \\ -2x + y = -5 \end{align*}\right]$

Trekker likning II fra likning I og får:

$x-(-2x) + (y-y) = 1-(-5) \\ 3x = 6 \\ x=2$

Setter inn $x=2 $ i likning I og får:

$2+y=1 \\ y=-1$

Løsning: $x=2 \wedge y=-1$

b)

Uttrykker de to første ulikhetene med hensyn på y:

Ulikhet nr. 1:

$x-2y \geq -8 \\ y \leq \frac{-x-8}{-2} \\ y \leq \frac{x}{2} + 4$

NB: husk å snu ulikhetstegnet når du ganger eller deler en ulikhet med et negativt tall.

Ulikhet nr. 2:

$x+y \geq 1 \\ y \geq -x+1$

Vi har nå de tre ulikhetene:

$y \leq \frac{x}{2} + 4 \\ y \geq -x+1 \\ y\geq 2x-5$

Tegn de tre linjene $y=\frac{x}{2}+4,\,y=-x+1,\,y=2x-5$ (for hånd siden det er del 1). Legg godt merke til hvilken vei ulikhetstegnet er i de fire ulikhetene, og skraver området som avgrenses av disse.

S1-H18-del1-5b.png

c)

Sjekker verdien til $3x-y$ i punkt A,B og C.

Punkt A: $3\cdot 6-7=11$

Punkt B: $3\cdot 2-(-1)=7$

Punkt C: $3\cdot (-2)-3=-9$

Størrelsen $3x-y$ har størst verdi i punktet (6,7). Da er verdien 11.

Oppgave 6

a)

$O(x)=-0,25x^2+10x-75 \\ O'(x)=-0,5x+10$

Setter $O'(x)=0 for å finne toppunktet$

$-0,5x+10=0 \\ -0,5x=-10 \\ x=20$

Siden O er en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd, vet jeg at funksjonen har et toppunkt, og ikke et bunnpunkt. Den produksjonsmengden som gir størst overskudd er 20 enheter per dag. Finner overskuddet $O(20)$

$O(20)=-0,25\cdot 20^2+10\cdot 20 - 75 = -0,25\cdot 400+200-75 = -100+200-75=25$

Overskuddet blir 25 000 kr.

b)

Setter $O(x)=0$ for å finne nullpunktene. Bruker abc-formelen for å løse likningen.

$-0,25x^2+10x-75=0 \\ x=\frac{-10\pm \sqrt{10^2-4 \cdot (-0,25) \cdot (-75)}}{2\cdot(-0,25)} \\ x=\frac{-10\pm \sqrt{100-75}}{-0,5} \\ x_1=\frac{-10+5}{-0,5} \vee x_2=\frac{-10-5}{-0,5} \\ x_1=10 \vee x_2=30$

Det vil bli overskudd for en daglig produksjon mellom 10 og 30 enheter. Siden O er en andregradsfunksjon med toppunkt på x=20, vet jeg at funksjonen har en positiv verdi fra x=10 til x=30.

Oppgave 7

a)

Leser av de aktuelle punktene grafisk: (-1,5) og (2,8).

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [-1,2]:

$a=\frac{(y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-5}{2-(-1)}=\frac{3}{3}=1$

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [-1,2] er 1.

b)

$f'(-1)=4$ fordi den momentane vekstfarten i punktet $(-1, f(-1))$ tilsvarer vekstfarten til tangenten. Jeg ser at tangenten går fra punktet (-1,5) til (0,9). Det vil si at vekstfarten til tangenten er 4.

$f'(1)=0$ fordi jeg ser at x=1 er toppunktet til funksjonen. Den momentane vekstfarten i toppunktet er alltid 0.

c)

S1-H18-del1-7c.png

Oppgave 8

$f(x)=-x^2+2x+8$

Setter $f(x)=0$ for å finne nullpunktene (Punkt A og B). Bruker abc-formelen for å løse likningen.

$-x^2+2x+8=0 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4 \cdot (-1) \cdot 8}}{2\cdot(-1)} \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{-2} \\ x_1=\frac{-2+6}{-2} \vee x_2=\frac{-2-6}{-2} \\ x_1=-2 \vee x_2=4$

Lengden $AB=4-(-2)=6$

Arealet av trekant ABC: $A=\frac{6 \cdot f(t)}{2}$

Ønsker en trekant med areal lik 24. Setter A=24 og finner f(t):

$\frac{6\cdot f(t)}{2}=24 \\ f(t)=\frac{24\cdot 2}{6}=8$

Ønsker å finne en t-verdi som gir f(t)=8.

$-t^2+2t+8=8 \\ -t^2+2t=0 \\ -t(t-2)=0 \\ t=0 \vee t=2$

For at arealet til trekanten ABC skal bli lik 24, må vi ha t=0 eller t=2. Punkt C blir enten (0,8) eller (2,8).

DEL 2

Oppgave 1

Bruker CAS i Geogebra.

Del2-1.png

Den ordinære prisen for en voksenbillett er 90 kroner, og den ordinære prisen for en barnebillett er 45 kroner.

Oppgave 2

a)

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.

Del2-2a.png

Bruker binomisk sannsynlighetsfordeling, fordi hendelsene er uavhengige, har to utfall, og har fast sannsynlighet.

Sannsynligheten for at halvparten av plantene til Astrid får gule blomster, altså at 5 av de 10 plantene har gule blomster, er ca. 20%.

b)

Del2-2b.png

Sannsynligheten for at flere enn fem av plantene til Astrid får gule blomster er ca. 16,6%.

c)

Dette blir et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Jeg finner antall kombinasjoner av de fire plantene med gul blomst, på de 10 plassene.

Del2-2c.png

Stian kan plassere plantene med de gule blomstene på 210 ulike måter.

Oppgave 3

a)

$x\geq 0$ fordi Morten må spise minimum 0 gram makrell i tomat. Han kan ikke spise et negativt antall gram makrell i tomat.

$y \geq 0$ fordi Morten må spise minimum 0 gram syltetøy. Han kan ikke spise et negativt antall gram syltetøy.

For maksimalt energiinnhold gjelder følgende ulikhet (energiinnhold i 4 brødskiver, x gram makrell i tomat, og y gram syltetøy):

$50 \cdot 4 \cdot \frac{900}{100} + \frac{1049}{100} x + \frac{740}{100} y \leq 2400 \\ 1800 + 10,49x+7,40y \leq 2400 \\ 10,49x+7,40y \leq 600$

For maksimalt fettinnhold gjelder følgende ulikhet (fettinnhold i 4 brødskiver, x gram makrell i tomat, og y gram syltetøy):

$50 \cdot 4 \cdot \frac{2,0}{100} + \frac{20,5}{100} x + \frac{0,1}{100} y \leq 12 \\ 4 + 0,205x+0,001y \leq 12 \\ 0,205x+0,001y \leq 8$

For maksimalt karbohydratinnhold gjelder følgende ulikhet (karbohydratinnhold i 4 brødskiver, x gram makrell i tomat, og y gram syltetøy):

$50 \cdot 4 \cdot \frac{32,5}{100} + \frac{3,0}{100} x + \frac{42,4}{100} y \leq 80 \\ 65 + 0,03x+0,424y \leq 80 \\ 0,03x + 0,424y \leq 15$

b)

Legger inn ulikhetene i Geogebra.

Del2-3b.png

c)

Lager glider for maksimalt proteininnhold (proteininnhold i 4 brødskiver, x gram makrell i tomat, og y gram syltetøy):

$50 \cdot 4 \cdot \frac{12,4}{100} + \frac{13,4}{100} x + \frac{0,3}{100} y = P \\ 24,8 + 0,134x+0,003y = P $

Finner "hjørnene" i det skraverte området ved å bruke kommandoen "toppunkt( <ulikhet> )". Legger inn glideren f i Geogebra og finner punktet på det skraverte området som gir høyest mulig proteininnhold. Dette er i punkt H=(38.9, 25.9). Jeg har skjult de punktene jeg ikke trenger.

Del2-3c.png

Morten kan spise ca. 25,9 gram syltetøy til frokost.

Oppgave 4

a)

Legger inn antall år etter 2007 og antall dyr i Regnearket i Geogebra. Bruker deretter Regresjonsanalyse og velger Polynom av grad 3.

Del2-4a.png

$g(x)=-2,6x^3+48,66x^2+32,74x+400$ kan brukes som modell for antall elg i dette området.

b)

I år 2021, altå 14 år etter 2007, er elgbestanden $f(14)=3329,6 \approx 3330$. Deretter får elgbestanden en årlig nedgang på 4%. Vekstfaktoren er altså 0,96. Vi kan angi antall elg etter 2021 ved eksponentialfunksjonen $h(x)=3330\cdot 0,96^{x-14}$, hvor 3300 er elgbestanden i 2021, 0,96 er vekstfaktoren og x-14 er antall år etter 2021 (x er fremdeles antall år etter 2007, og 2021 er 14 år senere).

c)

Del2-4c.png

d)

Ser at toppunktet ligger på funksjonen f. Finner toppunktet ved å bruke kommandoen Ekstermalpunkt(f), og får punktet B=(12.89, 3396.4).

Del2-4d.png

Ifølge modellene f og h er elgbestanden er størst 12,89 år etter 2007, altså i år 2019.

e)

Lager linjen y=3000. Bruker "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom linjen y=3000 og henholdsvis grafen til f og grafen til h. Finner punkt D=(9.88, 3000) og E=(16.56, 3000).

Del2-4e.png

Ifølge modellene f og h vil elgbestanden være over 3000 dyr fra 9 til 16 år etter 2007, altså fra år 2016 til år 2023.