Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Oppgaven som pdf

Løsning laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Innhold

DEL 1

Oppgave 1

a)

$x^2-3x+1=3x+8 \\ x^2-6x-7=0 \\ x=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot(-7)}}{2} \\ x=\frac{6\pm 8}{2} \\ x_1=-1 \vee x_2=7$

b)

$lg(x^4)-lg(x^3)+lg(x^2)-lg\,x=6 \\ 4\,lg\,x-3\,lg\,x+2\,lg\,x-lg\,x=6 \\ 2\,lg\,x=6 \\ lg\,x=3 \\ x=10^3\\ x=1000$

c)

$10\cdot 4^x=5\cdot 2^x \\ \frac{2^{2x}}{2^x} = \frac{5}{10} \\ 2^{2x-x} = \frac{1}{2} \\ 2^x = 2^{-1} \\ x=-1$

Oppgave 2

a)

$(a+2b)^2-(2b-a)^2 \\ = (a^2+4ab+4b^2)-(4b^2-4ab+a^2) \\ = a^2+4ab+4b^2 - 4b^2+4ab-a^2\\ = 8ab$

b)

$3^3 \cdot 3^0 + 3^{-1}+3^{-2}+3^{-3} \\ = 27 \cdot 1 + \frac{1}{3}+ \frac{1}{3^2}+ \frac{1}{3^3} \\= 27+ \frac{9}{27}+ \frac{3}{27}+ \frac{1}{27} \\=27 + \frac{13}{27}$

Jeg synes dette svaret er penest, men man kan også skrive svaret slik:

$ 27 + \frac{13}{27}=\frac{729}{27} + \frac{13}{27} = \frac{742}{27} $

Oppgave 3

$x^2-6x \geq 7$

Løser likningen $x^2-6x-7=0$. Kjenner igjen denne likningen fra oppgave 1a). Løsningen er $x_1=-1 \vee x_2=7$

Et andregradsuttrykk $ax^2+bx+c$ med nullpunkter $x_1$ og $x_2$ kan faktoriseres slik: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Faktoriserer andregradsfunksjonen: $x^2-6x-7 = (x+1)\cdot(x-7)$

Lager fortegnsskjema:

S1-H18-del1-3.png

Svar:

$x^2-6x \geq 7$ når $x \leq -1 \vee x \geq 7$

Alternativt kan svaret skrives slik:

$x \in \langle \leftarrow,-1] \cup [7,\rightarrow \rangle $

Velg din favoritt!

Oppgave 4

a)

Pascal.jpg

b)

Bruker hypergeometrisk sannynlighet, og leser av binomialkoeffisientene i Pascals trekant. (Eksempel: $\binom{7}{4}$ finner du i rad nr.7 og tall nr.4 i raden. Husk å begynne å telle på rad nr.0 og tall nr.0. Hvis du har talt riktig finner du at $\binom{7}{4}=35$).

$P(2J\cap2G)=\frac{\binom{4}{2}\cdot \binom{3}{2}}{\binom{7}{4}}=\frac{6\cdot3}{35}=\frac{18}{35}$

Sannsynligheten for at det blir trukket ut to jenter og to gutter er $\frac{18}{35}$

c)

P(minst en gutt) = 1 - P(ingen gutter) = $1-\frac{\binom{4}{4}\cdot \binom{3}{0}}{\binom{7}{4}}=1-\frac{1\cdot1}{35}=\frac{35}{35}-\frac{1}{35}=\frac{34}{35}$

Sannsynligheten for at minst én gutt fra elevrådet blir med på turen er $\frac{34}{35}$

Oppgave 5

a)

$\left[ \begin{align*} x+y = 1 \\ -2x + y = -5 \end{align*}\right]$

Trekker likning II fra likning I og får:

$x-(-2x) + (y-y) = 1-(-5) \\ 3x = 6 \\ x=2$

Setter inn $x=2 $ i likning I og får:

$2+y=1 \\ y=-1$

Løsning: $x=2 \wedge y=-1$

b)

Uttrykker de to første ulikhetene med hensyn på y:

Ulikhet nr. 1:

$x-2y \geq -8 \\ y \leq \frac{-x-8}{-2} \\ y \leq \frac{x}{2} + 4$

NB: husk å snu ulikhetstegnet når du ganger eller deler en ulikhet med et negativt tall.

Ulikhet nr. 2:

$x+y \geq 1 \\ y \geq -x+1$

Vi har nå de tre ulikhetene:

$y \leq \frac{x}{2} + 4 \\ y \geq -x+1 \\ y\geq 2x-5$

Tegn de tre linjene $y=\frac{x}{2}+4,\,y=-x+1,\,y=2x-5$ (for hånd siden det er del 1). Legg godt merke til hvilken vei ulikhetstegnet er i de fire ulikhetene, og skraver området som avgrenses av disse.

S1-H18-del1-5b.png

c)

Sjekker verdien til $3x-y$ i punkt A,B og C.

Punkt A: $3\cdot 6-7=11$

Punkt B: $3\cdot 2-(-1)=7$

Punkt C: $3\cdot (-2)-3=-9$

Størrelsen $3x-y$ har størst verdi i punktet (6,7). Da er verdien 11.