S1 2024 Vår LØSNING
Diskusjon av oppgaven på matteprat
DEL 1
Oppgave 1
$f(x)=4x^2\cdot ln(3x)$
$f'(x)=8x\cdot ln(3x) + 4x^2 \cdot \frac{1}{3x}\cdot 3$
$f'(x)=8x\cdot ln(3x) + 4x$
Oppgave 2
$(ln\,x)^2-lnx=6$
Setter $u=ln\,x$
$u^2-u-6=0$
$(u+2)(u-3)=0$
$u=-2 \vee u=3$
$ln\,x=-2 \vee ln\,x=3$
$x=e^{-2}\vee x=e^3$
$x=\frac{1}{e^2}\vee x=e^3$
Oppgave 3
\[f(x)=e^{-x+1},\,D_f=\mathbb{R}\]
\[ \lim_{x\to \infty} e^{-x+1}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty}}=0\]
\[ \lim_{x\to -\infty} e^{-x+1}=e^{\infty}=\infty\]
Den siste grenseverdien går mot uendelig og eksisterer derfor ikke.
Oppgave 4
a)
P(2 gule sokker) = $P(G)\cdot P(G|G)=\frac{6}{15}\cdot\frac{5}{14}=\frac{30}{15\cdot 14}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$
b)
Det er 3*2*1 = 6 måter å trekke 3 sokker med ulik farge: GSH, GHS, HSG, HGS, SGH, SHG. Det er samme sannsynlighet for hver av disse.
P(3 ulike farger) = $6\cdot \frac{6\cdot 5\cdot 4}{15\cdot 14\cdot 13} = 6\cdot \frac{2\cdot 4}{14\cdot 13}=\frac{24}{7\cdot 13}=\frac{24}{91} $
P(minst 2 sokker av samme farge) = 1 - P(3 ulike farger) = $1-\frac{24}{91}=\frac{67}{91}$
Oppgave 5
Vi endrer funksjons definisjonsområde til at 2 ikke er med i definisjonsmengden. :
\[ f(x) = \begin{cases} \quad \quad x,\quad 0\leq x <2 \\ \, 5-x,\quad 2<x\leq 5 \\ \end{cases} \]
Vi har ivaretatt alle kravene:
$\bullet$ Verdimengden er uendret.
$\bullet$ Definisjonsmengden er så stor som mulig (uten å endre verdimengden)
$\bullet$ f er kontinuerlig. Vi sier at f er kontinuerlig hvis f er kontinuerlig for alle $a\in D_f$. Siden funksjonen f ikke er definert i punktet 2, så er f kontinuerlig i alle punkter i definisjonsmengden.
For nærmere forklaring, se s.129-131 i Aschehougs bok "Matematikk S1".
DEL 2
Oppgave 1
a)
Overskuddsfunksjonen er gitt ved O(x)=I(x)-K(x).
Tegner overskuddsfunksjonen O(x) i Geogebra, og bruker Ekstremalpunkt. Den produksjonsmengden som gir størst overskudd er ca. 41 biler, se punkt A.
b)
Funksjonen for enhetskostnad er gitt ved E(x)=K(x)/x
Tegner funksjonen E(x). Produksjonsmengden som gir lavest mulig enhetskostnad er ca. 8 biler, se punkt B i skjermutklippet i oppgave a).
c)
De avtalte omtrent 784 234 kr per bil i denne kontrakten.
Oppgave 2
a)
$e^{k\cdot ln(x)}=e^{ln(x)\cdot k}=(e^{ln(x)})^k=x^k$
$ln(x)$ er ikke definert for $x\leq 0$. Påstanden er sann for $x>0$.
b)
Bruker CAS i Geogebra til å teste påstanden for eksempel for $a=\frac{b}{2,1}$. Da viser CAS at påstanden bare stemmer for b>21, og ikke generelt. Påstanden er altså feil.
Oppgave 3
a)
Jeg antar at vi bruker det norske alfabetet, som har 29 bokstaver.
Hvis vi regner små og store bokstaver som forskjellige tegn, er det $29\cdot 2=58$ ulike tegn å velge mellom.
Antall mulige kombinasjoner hvis vi ikke tar hensyn til at det må være minst én stor og én liten bokstav: $58^6$
Vi må trekke fra alle kombinasjoner som kun har små bokstaver, og de som kun har store bokstaver.
Antall mulige kombinasjoner som følger alle reglene:
$58^6-2\cdot 29^6=36\,879\,045\,902$
b)
Jeg antar at man kan velge mellom alle siffer fra 0 til 9, altså 10 forskjellige siffer å velge mellom.
Antall måter de 6 tegnene kan stå på:
$6!=720$
Men så har vi to små bokstaver, to store bokstaver og to siffer. To og to tegn er altså like.
Antall måter de 6 tegnene kan stå på, med hensyn til at to og to tegn er like:
$\frac{720}{2\cdot 2\cdot 2}=90$
Antall mulige kombinasjoner som følger alle reglene:
$90\cdot 29^4\cdot 10^2= 6\,365\,529\,000$
Det er altså færre kombinasjoner å velge mellom ved å følge regelsett 2, enn ved å følge regelsett 1. Sikkerheten er derfor muligens dårligere med regelsett 2.
Oppgave 4
Prøver meg frem med hypergeometrisk fordeling i Geogebras sannsynlighets kalkulator, og finner ut at det minste antallet er 5 hvite kuler og 3 røde (8 kuler totalt).
Oppgave 5
a)
$\frac{6}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{6}=\frac{5}{54}\approx 0,093$
Det er omtrent 9,3 % sjanse for at alle terningene viser forskjellige antall øyne.
b)
Jeg lager et program i Python for å bestemme sannsynligheten for å få nøyaktig tre seksere på et kast med fem terninger. Jeg bruker 100 000 forøk for å få et mest mulig nøyaktig svar, uten at programmet tar for lang tid å kjøre. Jeg får en sannsynlighet på ca. 32 %. Det varierer stort sett mellom 31-33 % for hver gang jeg kjører programmet.
Oppgave 6
a)
Jeg bruker regresjon i Geogebra til å velge modeller som passer godt til de datapunktene jeg har. Jeg velger en eksponentiell modell for antall bensinbiler. Her kunne en lineær modell også passet til datapunktene, men jeg velger en eksponentiell modell, siden jeg mener at antall bensinbiler ikke vil "stupe" til 0, men heller bli gradvis færre, og flate ut på et lavt antall. Jeg velger en logistisk modell for antall elbiler, da den både passer godt til datapunktene, og kan være en modell som passer noen år frem i tid.
b)
Modellen for bensinbiler foreslår en nedgang i antall bensinbiler på 4 % årlig. Jeg mener modeller kan passe i flere år etter 2022, for eksempel frem til 2050, siden mange bytter ut bensinbilen sin med elbil. En gang i fremtiden kan det være at ingen lenger eier en bensinbil, men vi vet ikke når det eventuelt vil skje.
Modellen for elbiler kan passe i flere år etter 2022, f.eks. frem til 2030 eller 2040. Modellen viser at antall elbiler holder seg på samme antall fra ca. 2024. Det kan hende antall elbiler stabiliserer seg i Moss, men det kan også hende antallet fortsetter å øke (eller til og med synker!). Vi kan ikke vite det sikkert. Det kan komme færre fordeler og flere avgifter for elbiler - eller motsatt. Det er mye som spiller inn på hva slags bil folk velger.
Oppgave 7
a)
Lars prøver å finne ut størst mulig areal av det innskrevne rektangelet ABCD.
Svaret blir ca. 3,08 hvis man kjører programmet, som betyr at det største mulige arealet til rektangel ABCD er 3,08.
b)
Lars bruker definisjonen av den deriverte til å regne ut tilnærmet verdi av den deriverte i et punkt på funksjonen for areal av rektangelet (gitt i linje 4-5). Programmet gjør dette ved å regne ut stigningstallet i et veldig lite intervall (bredde 0,0001) på areal-funksjonen (linje 8-9).
Programmet starter med å beregne den deriverte i x=0. Så lenge den deriverte av areal-funksjonen er større enn 0, altså areal-funksjonen er voksende, fortsetter programmet å regne den deriverte i neste lille intervall (x øker med 0,01 for hver runde). Når den deriverte ikke lenger er større enn 0, vil man ha funnet en tilnærmet x-verdi for toppunktet. Programmet skriver til slutt ut y-verdien i toppunktet av areal-funksjonen, altså det største mulige arealet til ABCD.
Hvis målet er å finne toppunktet til en hvilken som helst funksjon, vil ikke strategien fungere dersom funksjonen ikke har noe toppunkt, og strategien vil heller ikke fungere hvis funksjonen er synkende fra x=0.
Oppgave 8
Pyramiden har størst volum dersom hjørnene i grunnflaten går helt ytterst til halvkulens overflate, og dersom høyden også går helt til halvkulens overflate.
Bruker CAS i Geogebra.
I linje 1 finner vi lengden på siden til grunnflaten. Svaret på linje 1 hadde endret seg da skjermbildet ble tatt, men det sto opprinnelig sammen uttrykk for s som defineres i linje 2.
I linje 3 beregnes arealet av grunnflaten.
I linje 4 defineres høyden h til å være lik radiusen r.
Volumet til den største mulige pyramiden er $V=\frac{2}{3}r^3$ (linje 5)
