DEL EN

Oppgave 1

a)

Benytter produktregelen:

$f^\prime(x) = x^\prime \cdot e^{2x} + x \cdot (e^{2x})^\prime = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x).$

b)

Her bruker vi brøkregelen:

$\begin{eqnarray*} g^\prime(x) &=& \frac{(x-1)^\prime (x^2 - 3) - (x-1)(x^2-3)^\prime}{(x^2-3)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 - 3) - (x-1) \cdot 2x}{(x^2 - 3)^2}\\ &=& \frac{x^2 - 3 - 2x^2 + 2x}{(x^2-3)^2} = \frac{-x^2 + 2x - 3}{(x^2 - 3)^2} = -\frac{x^2 - 2x + 3}{(x^2 - 3)^2} \end{eqnarray*}.$

Oppgave 2

I denne oppgaven får vi bruk for at divisjonen $p(x) : (x-a)$ går opp dersom $p(a) = 0$ .

a)

Hvis divisjonen skal gå opp så må vi få 0 når vi setter 3 inn i polynomet, det vil si at

$3^2 - 2 \cdot 3 + a = 0 \ \Leftrightarrow \ 3 + a = 0 \ \Leftrightarrow \ a = -3.$

b)

Her må $x-b$ være en faktor i polynomet. Faktoriserer vi $x^2 - 3x - 4$ , f.eks. med ABC-formelen, får vi at

$x^2 - 3x - 4 = (x+1)(x-4).$

Da må $x-b = x+1$ eller $x-b = x-4$ , som gir at $b = -1$ eller $b = 4$ . En annen måte å løse oppgaven på er å, igjen, si at når vi setter inn $b$ i polynomet $x^2 - 3x - 4$ , så får vi 0. Da får vi:

$b^2 - 3b - 4 = 0,$

og løser vi denne får vi de samme verdiene for $b$ .

Oppgave 3

Denne rekken har formen

$a_1 + a_2 + ... = 11 \cdot (-0.1)^0 + 11 \cdot (-0.1)^2 + 11 \cdot (-0.1)^3 + ...$

Kvotienten til rekken er $k = -0.1$ . Siden kvotienten er mellom -1 og 1 (har absoluttverdi mindre enn 1), så konvergerer rekka. Summen av de $n$ første leddene er, ved å bruke sumformelen, gitt ved

$\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k-1} = 11 \cdot \frac{(-0.1)^n - 1}{-1.1} = 11 \cdot \frac{1 - (-0.1)^n}{1.1} = 10 \cdot (1 - (-0.1)^n).$ (I det siste leddet ble 11 delt på 1.1, som blir 10.)

Lar vi antall ledd gå mot uendelig er summen gitt ved

$\displaystyle S = a_1 \cdot \frac{1}{1-k} = 11 \cdot \frac{1}{1.1} = 10.$

Oppgave 4

Her kan vi velge mellom innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden. Viser innsettingsmetoden her, da det virker som den er mest utbredt.

Fra den første ligningen har vi at

$x = 13 + z - y.$

Setter vi dette inn i de to neste ligningene får vi

(1) $2(13 + z - y) + y + z = 27 \ \Leftrightarrow \ 26 + 3z - y = 27 \ \Leftrightarrow \ 3z - y = 1.$

og

(2) $(13 + z - y) - 3y - 2z = -9 \ \Leftrightarrow \ 13 - z - 4y = -9 \ \Leftrightarrow \ 4y + z = 22.$

Disse to ligningene har da kun to ukjente, $x$ og $y$ , og da kan vi gjenta prosessen for å finne dem. I fra (1) får vi at $y = 3z - 1$ . Setter vi det inn i (2) får vi

$4(3z - 1) + z = 22 \ \Leftrightarrow \ 13z = 26 \ \Leftrightarrow \ z = 2.$

Da er $y = 3z - 1 = 3 \cdot 2 - 1 = 5$ og $x = 13 + z - y = 13 + 2 - 5 = 10$ . Løsningene er altså $x = 10, \ y = 5, \ z = 2$ .

Oppgave 5

a)

$f^\prime(x) = 3x^2 - 12x + 9$

Vi faktoriserer $f`^\prime(x)$ (ved å f.eks. benytte andregradsformelen til å finne nullpunkter) og får:

$f^\prime(x) = 3(x-1)(x-3).$

Da er $f^\prime(x) = 0$ når $x = 1$ eller $x = 3$ . Tegner vi et fortegnsskjema ser vi at begge faktorer er negative frem til $x = 1$ , så den deriverte er positiv og funksjonen dermed stigende for $x < 1$ . Mellom $x = 1$ og $x = 3$ er fortegnene motsatte, slik at den deriverte blir negativ, og funksjonen altså avtagende. Situasjonen snur igjen for $x > 3$ . Til sammen forteller dette oss at $x = 1$ er et topp-punkt og $x = 3$ er et bunnpunkt.

b)

$f^{\prime \prime}(x) = 6x - 12 = 6(x-2).$

$f^{\prime \prime}(x)$ er lik $0$ og skifter fortegn i $x = 2$ . Dermed må $x = 2$ være et vendepunkt.

c)

Ingen skisse for øyeblikket.

Oppgave 6

a)

Total sannsynlighet er 1, altså må summen av $P(X = x)$ for alle verdier av $x$ være lik 1. Det gir oss:

$2p + p + 3p + 0.3 + p = 1 \ \Leftrightarrow \ 7p = 1 - 0.3 = 0.7 \ \Leftrightarrow \ p = 0.1.$

b)

Forventningsverdien $E(X)$ finner vi ved

$\begin{eqnarray*} E(X) &=& x_1 P(X = x_1) + x_2 P(X = x_2) + ... + x_5 P(X = x_5)\\ &=& 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.3 + 3\cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1 = 2. \end{eqnarray*}$

Forventningsverdien for X er altså $X = 2$ .

Variansen $Var(X)$ finner vi ved

$\begin{eqnarray*} Var(X) &=& (x_1 - E(X))^2 P(X = x_1) + (x_2 - E(X))^2 P(X = x_2) + ... + (x_5 - E(X))^2 P(X = x_5)\\ &=& (0 - 2)^2 \cdot 0.2 + (1 - 2)^2 \cdot 0.1 + (2 - 2)^2 \cdot 0.3 + (3 - 2)^2 \cdot 0.3 + (4 - 2)^2 \cdot 0.1\\ &=& 0.8 + 0.1 + 0 + 0.3 + 0.4 = 1.6 \end{eqnarray*}$ .

Oppgave 7

a)

Forventningsverdiene finner vi i topp-punktene til normalfordelingene. Det vil si at $X_1$ og $X_2$ svarer til (3) eller (4), siden disse har forventingsverdi 5, mens $X_3$ og $X_4$ svarer til (1) eller (2), siden disse har forventningsverdi 10.

Videre forteller standardavviket noe om hvor utspredt fordelingen er. Mindre standardavvik betyr mindre spredning. Dermed må $X_1$ ha grafen (4), $X_2$ ha grafen (3), $X_3$ ha grafen (2) og $X_4$ ha grafen (1).

b)

Sannsynligheten $P(7 < X < 14)$ er lik arealet under kurven mellom $x = 7$ og $x = 14$ . Det totale arealet er alltid 1. Vi må se på hver av (1), (2), (3) og (4) og se om det er mulig at $P(7 < X < 14) = 0.75$ for hver av dem.

(1): Fordelingen er tilnærmet 0 ved $x = 7$ og ved $x = 14$ . Det betyr at tilnærmet alt arealet er mellom de to. Da må $P(7 < X_1 < 14) \approx 1 > 0.75$ .

(3): Vi ser at området fra $x = 7$ til $x = 14$ dekker under halvparten av arealet, så $P(7 < X_3 < 14) < 0.5 < 0.75$ .

(4): Også her dekker området fra $x = 7$ til $x = 14$ under halvparten av arealet, så $P(7 < X_4 < 14) < 0.5 < 0.75$ .

Da gjenstår kun (2) som det eneste alternativet, og vi ser at det kan stemme med grafen.

DEL TO

Oppgave 1

a)

Med $x = E(p)$ har vi at

$x = 6000 - 4p$

Ved etterspørsel $E(p)$ er inntekten gitt ved $I(p) = pE(p) = px$ . Fra uttrykket for $x$ ovenfor finner vi at

$\displaystyle p = \frac{6000 - x}{4} = 1500 - \frac{x}{4}.$

Da er

$\displaystyle I(x) = px = \left(1500 - \frac{x}{4}\right) x = 1500x - \frac{x^2}{4},$

og

$I^\prime(x) = 1500 - 0.5x.$

b)

Overskuddet er $I(x) - K(x)$ , som er størst dersom den deriverte er 0 og skifter fortegn fra positivt til negativt. Vi har at

$(I(x) - K(x))^\prime = I^\prime(x) - K^\prime(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ I^\prime(x) = K^\prime(x),$

dvs. at overskuddet er størst når grenseinntekten (som vi allerede har funnet et uttrykk for) er lik grensekostnaden

$K^\prime(x) = 0.04x + 20.$

Det gir oss

$\begin{eqnarray*} I^\prime(x) &=& K^\prime(x)\\ 1500 - 0.5x &=& 0.04x + 20\\ 0.54x &=& 1480\\ x &=& 2740.7\end{eqnarray*}$

Det må altså selges $x = 2740$ enheter for å oppnå maksimalt overskudd. Ved å bruke sammenhengen mellom pris $p$ og antall enheter $x$ finner vi da at prisen per enhet er

$\displaystyle p = 1500 - \frac{x}{4} = 1500 - \frac{2740}{4} = 685$ .

c)

Bedriften går i balanse når overskuddet er lik 0, med andre ord når inntektene og kostnadene er like store. Setter vi opp dette får vi

$\begin{eqnarray*} I(x) &=& K(x)\\ 1500x - 0.25x^2 &=& 0.02x^2 + 20x + 550000\\ 0.27x^2 - 1480x + 550000 &=& 0\end{eqnarray*}$

Løser vi denne ligningen får vi at $x = 401$ eller $x = 5080$ . Større antall solgte enheter gir lavere pris, altså vil den minste prisen være

$p = 1500 - 0.25x = 1500 - 0.25 \cdot 5080 = 230$ .

Oppgave 2

a)

2012 er 6 år etter 2006, altså må vi sette inn $x = 6$ i funksjonen:

$\displaystyle f(6) = \frac{333}{1+1.45e^{-0.23 \cdot 6}} = 244$ .

b)

Her kommer metoden an på hvilket digitalt verktøy man benytter. I GeoGebra kan punktene legges inn, f.eks. med navn A, B, C, D, E, F og G, og deretter kan kommandoen fitLogistic[A,B,C,D,E,F,G] benyttes. Vi får da funksjonen

$\displaystyle g(x) = \frac{317.17}{1+1.35e^{-0.25x}}.$

c)

Når $x$ blir større og større vil $e^{-0.23x}$ og $e^{-0.25x}$ gå mot 0. Vi har da at

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{333}{1 + 1.45 \cdot 0} = 333, \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{317.17}{1 + 1.35 \cdot 0} = 317.17$ .

I det lange løp vil altså firma A selge flest enheter per år.

d)

Arealet under grafene til $f$ og $g$ mellom to punkter gir oss det modellene anslår til å være antall solgte enheter i tidsrommet mellom de to punktene. Her må altså finne araelet under kurvene til $f$ og $g$ fra $x = 0$ til $x = 9$ . Dette gjøres med digitalt verktøy. I GeoGebra må de to funksjonene legges inn, og deretter benyttes kommandoene integral[f, 0, 9] og integral[g, 0, 9] til å finne arealene. Man får da

$\int_0^9 f(x) dx = 1942.9$ og $\int_0^9 g(x) dx = 1933.94$ ,

altså er antall solgte enheter henholdsvis 1943 for firma A og 1934 for firma B.