Innhold

DEL 1 (3 timer)

Oppgave 1

a)

$f(x)=3x^3-2x+5 \\ f'(x)=3\cdot 3x^{2}-2=9x^{2}-2$

b)

$g(x)=xe^{2x} \\ g'(x)=1⋅e^{2x}+x⋅2e^{2x}=(1+2x) e^{2x}$

Oppgave 2

Bestem $h'(2)$ når $h(x)=\frac{e^x}{x-1}$

$h'(x)=\frac{e^x⋅(x-1)-e^x⋅1}{(x-1)^2}=\frac{xe^x-e^x-e^x}{(x-1)^2} =\frac{xe^x-2e^x}{(x-1)^2} =\frac{(x-2) e^x}{(x-1)^2} \\ h'(2)=\frac{(2-2) e^2}{(2-1)^2} =\frac{0⋅e^2}{1}=0 $

Oppgave 3

$P(x)=2x^3-6x^2-8x+24$

a)

$P(3)=2⋅3^3-6⋅3^2-8⋅3+24\\ =2⋅27-6⋅9-24+24\\ =54-54-24+24=0 $

b)

Vi har vist at $P(x)=0$ for $x=3$. Da sier nullpunktsetningen at polynomdivisjonen $P(x):(x-3)$ går opp.

$(2x^3-6x^2-8x+24):(x-3)=2x^2-8$

Faktoriserer $2x^2-8$:

$2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$

$P(x)=(2x^2-8)(x-3)=2(x-2)(x+2)(x-3)$

c)

$\frac{2x^3-6x^2-8x+24}{2x^2-8}=\frac{2(x-2)(x+2)(x-3)}{2(x-2)(x+2)} =(x-3)$

Oppgave 4

a)

$n$ $a_n$ $S_n$ $S_n$
1 1 1 $1^3$
2 7 8 $2^3$
3 19 27 $3^3$
4 37 64 $4^3$
5 61 125 $5^3$
6 91 216 $6^3$

Formel for $S_{n}$:

$S_{n}=n^3$

b)

$S_n$ er summen av dei $n$ første ledda

$S_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n$

$S_{n-1}$ er summen av dei $(n-1)$ første ledda:

$S_{n-1}=a_1+a_2+...+a_{n-1}$

Vi får at: $S_n=S_{n-1}+a_n \\ a_n=S_n-S_{n-1}$

$a_n=S_n-S_{n-1} \\ a_n=n^3-(n-1)^3 \\ =n^3-(n-1) (n-1)^2 \\ =n^3-(n-1)(n^2-2n+1) \\ =n^3-n^3+2n^2-n+n^2-2n+1\\ =3n^2-3n+1$

Oppgave 5

$f(x)=x^3-4x^2+4x , \space x∈〈-1,4〉$

a)

Nullpunkt:

$f(x)=0 \\ x^3-4x^2+4x=0 \\ x(x^2-4x+4)=0 \\ x=0 \vee x^2-4x+4=0 \\ x=0 \vee (x-2)^2=0 \\ x=0 \vee x=2 $

Nullpunktene er $x=0$ og $x=2$.

Topp-/bunnpunkt:

$f'(x)=3x^2-8x+4$

$f'(x)=0 \\ 3x^2-8x+4=0 \\ x=\frac{-(-8)±\sqrt{(-8)^2-4⋅3⋅4}}{2⋅3}=\frac{8±\sqrt{64-48}}{6}=\frac{8±\sqrt{16}}{6}=\frac{8±4}{6} \\ x=2 \vee x=\frac{2}{3} $

$3x^2-8x+4=3(x-2)(x-\frac{2}{3}) $

S2-V15-eksempel-Del1-Oppg5a.png

$f(2)=0 \\ f(\frac{2}{3})=\frac{32}{27} $

Toppunktet er $(\frac{2}{3},\frac{32}{27})$ . Bunnpunktet er $(2,0)$.

b)

S2-V15-eksempel-Del1-Oppg5b.png

Oppgave 6

$f(0)=300, \space f'(10)=0 $ og $f' '(10)=-10 $

Ved starten av utbruddet, når $t=0$ er spruter det ut 300 tonn lava per time.

Etter 10 timer er veksten lik 0. Fordi den andrederiverte er negativ for $t=10$, vet vi at dette må være et toppunkt. Etter 10 timer er mengden lava per time størst.

Mengden lava per time øker fram til det har gått 10 timer, for deretter å avta.

Oppgave 7

Overskudd er inntekter minus kostnader.

$O(x)=I(x)-K(x)$

Overskuddet er størst når $O'(x)=0$ (Toppunktet på grafen til $O(x)$)

Vi deriverer og får: $ O'(x)=I' (x)-K' (x) $

$O' (x)=0 \\ \Updownarrow \\ I' (x)-K' (x)=0 \\ I' (x)=K'(x) $

Når grensekostnaden er lik grenseinntekta er overskuddet størst.

Oppgave 8

a)

$x=95$ gir

$z=\frac{x-μ}{σ}=\frac{95-100}{15}=\frac{-5}{15}=-\frac{1}{3} \approx -0,33$

$P(X≤95)=P(Z≤-0,33)=0,3707$

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person vil skåre mindre enn 95 poeng, er ca. 37 %.

b)

Vi skal finne den $z$-verdien, som gjør at sannsynligheten $P(Z≥z)=0,02$.

Det er det samme som at $P(Z≤z)=0,98$. I tabellen for standard normalfordeling finner vi at det er $z=2,05$.

Vi kan nå regne om og finne $x$.

$ z=\frac{x-μ}{σ} \Rightarrow \\ 2,05=\frac{x-100}{15} \\ 30,75=x-100 \\ x=130,75 $

Du må minst skåre 131 poeng for å kunne bli medlem av Mensa.

Oppgave 9

Tabellen gir følgende likningssystem:

$ 3x+2y+4z=120 \\ 2x+3y+2z=75 \\ 2x+5y+3z=105 $

Løsning: $ x=10,y=5$ og $z=20 $

Oppgave 10

a)

Rekken er geometrisk fordi forholdet mellom et ledd og leddet foran er konstant med $k=\frac{2}{9}$.

Rekken konvergerer, fordi $-1<k<1$.

Summen blir:

$S=\frac{a_1}{1-k}=\frac{7}{1-\frac{2}{9}}=\frac{7}{\frac{7}{9}}=9$

b)

Summen av ballen sine høyder kan vi skrive slik:

$10+\frac{2}{3} \cdot 10 + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot 10 + ... $

Vi kan se på dette som en geometrisk rekke med

$a_1=10$ og $k=\frac{2}{3}$.

Rekken er konvergent, fordi $-1<k<1$.

Da blir $s=\frac{a_1}{1-k}=\frac{10}{1-\frac{2}{3}}=\frac{10}{\frac{1}{3}}=30$

Ballen skal opp og ned, bortsett fra for den første høyden. (Den blir sleppt fra 10 m.)

Den totale lengden blir derfor: $2\cdot 30$ m $ - 10 $ m $= 50 $ m.

Oppgave 11

$f(x)=(x-1) \cdot e^x, \quad x\in \langle 3, 2 \rangle $

a)

Skjæring med y-aksen:

$f(0)=(0-1)⋅e^0=-1⋅1=-1$

Skjæring med x-aksen:

$f(x)=0 \\ (x-1) \cdot e^x=0 \\ x-1=0 \\ x=1 $

Koordinatene til skjæringspunktene er $(0, -1)$ og $(1, 0)$.

b)

$f'(x)=1 \cdot e^x+(x-1) e^x =(1+x-1) \cdot e^x =x \cdot e^x$

$f'(x)=0 \\ x \cdot e^x=0 \\ x=0 $

S2-V15-eksempel-Del1-Oppg11b.png

Grafen til $f$ har et bunnpunkt i $(0, -1)$.

c)

Grafen synker raskest når $f' ' (x)=0$.

$f' '(x)=1⋅e^x+x⋅e^x=(1+x) e^x $

$f' '(x)=0 \\ (1+x) e^x=0 \\ 1+x=0 \\ x=-1 $

S2-V15-eksempel-Del1-Oppg11c.png

$f(-1)=(-1-1) e^{-1}=-2e^{-1}=-\frac{2}{e}$

Grafen til $f$ synker raskest i punktet $(-1,-\frac{2}{e})$.

Del 2 (2 timer)

Oppgave 1

a)

S2-V15-eksempel-Del2-Oppg1a.png

Svar: $n=12$ og $m=9$.

b)

Tre påfølgende tall, kan vi skrive som $x$, $x+1$ og $x+2$.

Vi får da denne likningen for summen av tre påfølgende kubikktall:

$x^3+(x+1)^3+(x+2)^3=6^3$

S2-V15-eksempel-Del2-Oppg1b.png

De tre kubikktallene er $3^3$, $4^3$ og $5^3$.

Oppgave 2

For å finne når fondet har størst vekst, må vis løse likningen $f' '(x)=0$ og vise at $f' '(x)$ skifter fortegn i dette punktet. Deretter kan vi sette løsningen inn i $f'(x)$ og $f(x)$. Jeg bruker CAS i GeoGebra.

S2-V15-eksempel-Del2-Oppg2-1.png

S2-V15-eksempel-Del2-Oppg2-2.png

Fondet har størst vekst i det 9. året etter 1996, det vil si i 2005.

Da er veksten ca. 304,43 milliarder kroner i året.

Fondet er på ca. 1616,87 milliarder kroner på det tidspunktet.

Oppgave 3

a)

$E(x)$ er kostnader per enhet. Det kan vi skrive slik:

$E(x)=\frac{K(x)}{x}$

Slik kan vi finne et uttrykk for totalkostnaden:

$K(x)=E(x) \cdot x = (0,15x+7+\frac{2000}{x}) \cdot x \\ K(x)=0,15x^2+7x+2000$

Uttrykket for inntekten, finner vi ved å gange inntekt per enhet med antall enheter.

$I(x)=55x$

b)

Jeg har løst denne oppgaven grafisk i GeoGebra.

Funksjonen for overskuddet finner jeg ved å skrive inn: $O(x)=I(x)-K(x) $.

S2-V15-eksempel-Del2-Oppg3b.png

Jeg finner skjæringspunktene $(49,25, \, 0)$ og $(270,75,\, 0)$ mellom grafen til $O(x)$ og $x$-aksen ved å bruke kommandoen «Nullpunkt». (Punkt A og B på grafen.)

Jeg finner toppunktet $(160, 1840)$ til grafen til $O(x)$ ved å bruke kommandoen «Ekstremalpunkt». (Punkt C på grafen.)

Produksjonsmengder mellom 50 og 270 enheter gir overskudd.

Det største overskuddet har bedriften ved produksjon av 160 enheter.

Oppgave 4

a)

Jeg tegner grafen i GeoGebra:

S2-V15-eksempel-Del2-Oppg4.png

b)

Jeg bruker kommandoen «Integral», og skriver inn: Integral[D, 0, 20].

Arealet under grafen er vist i oppg. a)

$$ \int\limits_0^{20} D(x) \, \mathrm{d}x = 2856,5 $$

Dette svaret gir oss det totale antallet deltakere de første 20 ukene.

Oppgave 5

a)

Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, og velger «Normalfordeling». Jeg legger inn $\mu=79,2$ og $\sigma=6,4$.

Så finner jeg sannsynligheten $P(75,0≤X≤85,0)$.

S2-V15-eksempel-Del2-Oppg5a.png

56,2 % av kundene veide mellom 75,0 kg og 85,0 kg.

b)

Hypotesene blir:

$H_0: \mu=79,2 \quad$ (Gjennomsnittsvekten er uendret)

$H_1: \mu<79,2 \quad$ (Gjennomsnittsvekten har gått ned)

Vi har testet 30 kunder, med $\bar{x}=76,0$ kg.

Da er samlet vekt for de 30 kundene: $30 \cdot 76,0$ kg $=2280$ kg.

Vi går ut fra at $H_0$ gjelder. Vi lar $X_\Sigma$ være summen av vekten til 30 tilfeldige kunder.

Da er $X_\Sigma$ normalfordelt, med $\mu_{X_\Sigma}= n \cdot \mu = 30 \cdot 79,2= 2376$ og $\sigma_{X_\Sigma}= \sqrt{n} \cdot \sigma = \sqrt{30} \cdot 6,4 \approx 35,05$

Vi ønsker nå å finne sannsynligheten for at den samla vekten til 30 kunder er mindre enn 2280 kg, $P(X_\Sigma < 2280)$. Jeg bruker sannsynlighetskalkulator i GeoGebra:

S2-V15-eksempel-Del2-Oppg5b.png

P-verdien blir $P(X_\Sigma ≤ 2280)=0,0031=0,31 \% $

P-verdien er $0,3 \% < 5 \%$. Da kan vi forkaste nullhypotesen. Treningssenteret har grunnlag til å hevde at gjennomsnittsvekten til kundene har gått ned.

Oppgave 6

Jeg lager et skjema for å få oversikt over innbetalingene. Jeg regner alt om til nåverdier. Vi lar $p$ være den månedlige renten, da blir vekstfaktoren $x=1+\frac{p}{100}$

S2-V15-eksempel-Del2-Oppg6-1.png

Summen av alle nåverdiene til innbetalingene, må være 20 000 kroner.

$20000 = \frac{729}{x} + \frac{729}{x^2} + \dotsb + \frac{729}{x^{36}}$

Dette blir en geometrisk rekke med 36 ledd

$a_1=\frac{729}{x}$ og $k=\frac{1}{x}$

$s_{36}=\frac{729}{x} \cdot \frac{(\frac{1}{x})^{36}-1}{\frac{1}{x}-1}=20000$

Løser likningen med CAS i GeoGebra:

S2-V15-eksempel-Del2-Oppg6-2.png

Bare den positive løsningen kan brukes. $x=1,0155$

Det gir en månedlig rente på 1,55 %.

Årleg rente:

S2-V15-eksempel-Del2-Oppg6-3.png

Den årlige renten blir 20,3 %.