En separabel differensialligning er en førsteordens ligning på formen $f'(x)=g(x)h(f)$ der $g$ og $h$ er gitte funksjoner. Disse kan løses generelt (og formelt) ved å innføre Leibniz notasjonen; i.e. $f'(x)\to \frac{df}{dx}$ ; vi "jukser" litt ved å betrakte $\frac{df}{dx}$ som en brøk i tradisjonell forstand. (Merk at dette ikke er et formelt bevis, men en fin måte å huske metoden på)


Den generelle løsningsmetoden for separable diff.ligninger blir da:


$\frac{df}{dx}=g(x)h(f) \, \, \Rightarrow \,\, \frac{df}{h(f)}=g(x)dx \,\, \Rightarrow \,\, \int\frac{df}{h(f)}=\int g(x)\,dx$


Løser vi integralene har vi i prinsippet løst diff.ligningen.


Eksempel

Vi ser på ligningen $f'=xf^2$ . Denne er separabel med $g(x)=x$ og $h(f)=f^2$ (sammenlignet med den generelle formen). Vi må derfor løse ligningen $\int \frac{df}{f^2}=\int x\,dx$ . Integralene blir $\int \frac{df}{f^2}=\int f^{-2}\,df=-f^{-1}+A$ og $\int x\,dx=\frac12 x^2+B$ for konstanter $A$ og $B$ . Setter vi uttrykkene lik hverandre får vi $-\frac{1}{f}+A=\frac12 x^2+B$ . Vi sammentrekker konstantene ved å sette $B-A=C$ , og får $-\frac{1}{f}=\frac12 x^2+C$ . Løsningen blir dermed $f(x)=-\frac{1}{\frac12 x^2+C}$


Vi verifiserer løsningen ved innsetting i den opprinnelige ligningen; $(-\frac{1}{\frac12 x^2+C})'=(\frac{1}{\frac12 x^2+C})^2\cdot x=xf^2$

.