Store tall og uendelig

Store tall

Noen vil kanskje påstå at det største tallet som finnes er uendelig. Det er det ikke. Uendelig er mange tall og ikke ett tall. Det er også slik at noen uendelige mengder er større enn andre, selv om alle uendelige mengder inneholder uendelig mange elementer. Vi kommer tilbake til det.

En million er 1 000 000. En milliard er 1000 millioner, 1 000 000 000 . En million sekunder er litt over elleve dager. En milliard sekunder er over 31,7 år. Greier du å se for deg denne forskjellen?

Begge disse tallene er små i forhold til de virkelig store tallene man kjenner til.

Hvor store tall trenger man?

Dersom mann skal snakke om årslønn er 100 000 en grei størrelse for de fleste. Dersom man tjener godt greier man seg gjerne med millioner. Dersom man snakker om verdens befolkning er milliarder greit å kjenne, vi er ca 7.687.593.000 personer på jorden ( 17:55 den 02.03.2019). Det er litt mere praktisk å si at vi er ca. 7,7 milliarder. Trenger vi større tall?

"At this level, it is estimated that the there are between $10^{78}$ to $10^{82}$ atoms in the known, observable universe."

Googol

Googol er navnet på $10^{100}$, altså ett 1 tall med 100 nuller bak, 101 siffer etter hverandre. Dette tallet kan skrives ut, men det tar litt tid. Det finnes uendelig mange tall, og det finnes uendelig mange tall større enn en google.

Dette tallet er altså mere enn stort nok dersom vi skulle telle alle atomene i universet. Men det kan jo tenkes at vi ønsker noe større...

Googolplex

En googolplex er ti opphøyd i en googol, $10^{googol} =10^{1 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000}$

Notasjon og betydning

La oss se på et helt vanlig tall, 3. La oss tenke oss at vi har tre siffer til rådighet, alle tretall. Altså 3, 3, 3.

For å lage et større tall en tre kan vi legge dem sammen:

$3 + 3+ 3 =9$

Dersom vi ikke er fornøyde med størrelsen kan vi multiplisere dem:

$3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

Eller enda større: $3^{3^3} = 3^{27} = 7 625 597 484 987$

En skrivemåte for større tall er å bruke piler som peker oppover:

Knuth's up arrow notation

En pil

$3 \uparrow 3= 3^3 = 27$

$3 \uparrow 4= 3^4 = 81$

En pil har samme betydning som å skrive tallet som en potens. Det høyre tallet er eksponenten, og det venstre er grunntallet.

To piler

$ 3 \uparrow \uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} =7 625 597 484 987$

$ 3 \uparrow \uparrow 4 = 3^{3^{3^3}} = 3^{3^{27}} = 3^{7 625 597 484 987}$

Tre piler

$ 3 \uparrow \uparrow \uparrow3 = 3\uparrow\uparrow 3 \uparrow \uparrow 3 = 3\uparrow\uparrow 3 ^{3^3} =3\uparrow\uparrow3^{27} =3\uparrow\uparrow 7 625 597 484 987$

$ 3 \uparrow \uparrow \uparrow 4 = 3\uparrow \uparrow 3\uparrow\uparrow 3 \uparrow \uparrow 3 =....$

Graham's tall

Graham's tall er et ekstremt stort tall som oppstod i forbindelse med et problem innenfor grenene kombinatorikk og Ramsey-teori. Det ble først introdusert av matematikeren Ronald Graham, og er kjent for å være et av de største tallene som har blitt brukt i et seriøst matematisk bevis.

Bakgrunn

På 1970-tallet jobbet Ronald Graham sammen med Paul Erdős med et problem relatert til romdimensjoner og sammenkoblinger i hyperkuber. For å finne en øvre grense på løsningen, utviklet Graham et enormt tall. Dette tallet ble senere kjent som Graham's tall, og ble berømt etter at det ble omtalt i Martin Gardner sin populære spalte i *Scientific American*.

Det matematiske problemet

Problemet dreier seg om å finne det minste antall dimensjoner n slik at alle mulige to-farginger (rød eller blå) av kantene i en n-dimensjonal hyperkube vil inneholde et sett av fire noder som ligger i et plan og som er fullstendig forbundet (et komplett delgraf), der alle kantene i dette delgrafet har samme farge. Graham viste at dette tallet n er mindre enn et ekstremt stort tall, som nå bærer hans navn.

Notasjon og definisjon

Graham’s tall kan ikke skrives med vanlig eksponentiell notasjon. I stedet brukes Knuths opphøyde pil-notasjon:

La oss definere:

g₁ = 3 ↑↑↑↑ 3

Deretter defineres en sekvens:

gₙ = 3 ↑^{g_{n-1}} 3, for 2 ≤ n ≤ 64

Til slutt er:

Graham’s tall = g₆₄

Denne notasjonen er rekursiv og bygger på en eksponentiell struktur som vokser ekstremt raskt. Tallet starter med 3 ↑↑↑↑ 3 (fire piler), som allerede er større enn tall som 3 ↑↑ 3 (tredobbel eksponent) og fortsetter i 64 ledd med stadig økende antall piler.

Størrelse og umulighet av representasjon

• Graham’s tall er så stort at det er umulig å skrive det ut, selv om hele det observerbare universet ble brukt til å lagre sifrene.
• Selv antall sifre i tallet er for stort til å kunne representeres direkte.
• Likevel er de siste sifrene i Graham’s tall kjent, takket være egenskaper ved tallmodulo.

Filosofisk og populærkulturell betydning

Graham’s tall ble berømt fordi det demonstrerer hvor store tall kan bli i ekte matematisk forskning — og samtidig illustrerer grensene for menneskelig intuisjon. Det fikk også mye oppmerksomhet i populærvitenskapelige kretser på grunn av sin plass i *Guinness rekordbok* som det største tallet som er brukt i et seriøst matematisk bevis.

Kilder

• Gardner, Martin. Mathematical Games: The colossal Graham number. Scientific American, november 1977.
• Graham, Ronald L., Rothschild, Bruce L., og Spencer, Joel H. Ramsey Theory. Wiley, 1990.
• Wikipedia: Graham's number

Rayo's tall

Rayo's tall er et ekstremt stort tall som ble formulert av matematikeren Agustín Rayo under en konkurranse i storskala tallteori i 2007. Det er kjent som et av de største tallene som har blitt beskrevet med en presis definisjon i matematikken. Tallet ble introdusert under et arrangement arrangert av filosofen Adam Elga ved Princeton University, hvor målet var å finne det største tallet som kunne beskrives med et visst antall symboler i et formelt språk.

Bakgrunn

Konkurransen gikk ut på å gi den mest omfattende definisjonen av et tall, innenfor rammene av et formelt språk som tillot matematiske definisjoner. Agustín Rayo vant konkurransen med det som senere ble kjent som Rayo's tall. Rayo brukte ideen om å kvantifisere over alle tall som kan defineres med et visst antall symboler, og konstruerte et tall som er større enn alle disse.

Formell definisjon

Rayo's tall kan uformelt defineres som:

Det minste tallet som er større enn alle naturlige tall som kan defineres med færre enn n symboler i det formelle språket til annenordens aritmetikk.

Det vil si at man tar for seg alle naturlige tall som kan defineres i et spesifikt formelt språk (for eksempel i Peano-aritmetikk eller annenordens aritmetikk) ved hjelp av en viss symbolbegrensning, og deretter definerer et tall som er større enn alle disse. Dette tallet vil da være Rayo(n), og selve Rayo's tall er vanligvis forstått som Rayo(10^100), altså brukt med et ekstremt stort input.

Viktige aspekter

• Rayo's tall er mye større enn Graham's tall og til og med større enn tall som defineres via Busy Beaver-funksjonen for store inputverdier.
• Det er ikke praktisk å skrive ut selve tallet — selv ikke å beskrive algoritmen som kunne produsere det er mulig innenfor vårt univers’ fysiske begrensninger.
• Rayo's tall handler mer om grensene for definisjon og formell representasjon enn om praktisk anvendelse.

Filosofisk betydning

Rayo's tall ble delvis utviklet som et svar på filosofiske spørsmål om hva det betyr å "definere" et tall. Det reiser interessante spørsmål innen logikk, matematisk filosofi og grensene for menneskelig og maskinell representasjon av kunnskap.

Kilder

• Rayo, Agustín. "On Defining a Real Number." (2007)
• Wikipedia: Rayo's number
• Huggett, Nick. "Large Numbers and the Philosophy of Mathematics", University of Illinois at Chicago.

Rayo's tall

Rayo's tall er et ekstremt stort tall som ble formulert av matematikeren Agustín Rayo under en konkurranse i storskala tallteori i 2007. Det er kjent som et av de største tallene som har blitt beskrevet med en presis definisjon i matematikken. Tallet ble introdusert under et arrangement arrangert av filosofen Adam Elga ved Princeton University, hvor målet var å finne det største tallet som kunne beskrives med et visst antall symboler i et formelt språk.

Bakgrunn

Konkurransen gikk ut på å gi den mest omfattende definisjonen av et tall, innenfor rammene av et formelt språk som tillot matematiske definisjoner. Agustín Rayo vant konkurransen med det som senere ble kjent som Rayo's tall. Rayo brukte ideen om å kvantifisere over alle tall som kan defineres med et visst antall symboler, og konstruerte et tall som er større enn alle disse.

Formell definisjon

Rayo's tall kan uformelt defineres som:

Det minste tallet som er større enn alle naturlige tall som kan defineres med færre enn n symboler i det formelle språket til annenordens aritmetikk.

Det vil si at man tar for seg alle naturlige tall som kan defineres i et spesifikt formelt språk (for eksempel i Peano-aritmetikk eller annenordens aritmetikk) ved hjelp av en viss symbolbegrensning, og deretter definerer et tall som er større enn alle disse. Dette tallet vil da være Rayo(n), og selve Rayo's tall er vanligvis forstått som Rayo(10^100), altså brukt med et ekstremt stort input.

Viktige aspekter

• Rayo's tall er mye større enn Graham's tall og til og med større enn tall som defineres via Busy Beaver-funksjonen for store inputverdier.
• Det er ikke praktisk å skrive ut selve tallet — selv ikke å beskrive algoritmen som kunne produsere det er mulig innenfor vårt univers’ fysiske begrensninger.
• Rayo's tall handler mer om grensene for definisjon og formell representasjon enn om praktisk anvendelse.

Filosofisk betydning

Rayo's tall ble delvis utviklet som et svar på filosofiske spørsmål om hva det betyr å "definere" et tall. Det reiser interessante spørsmål innen logikk, matematisk filosofi og grensene for menneskelig og maskinell representasjon av kunnskap.

Kilder

• Rayo, Agustín. "On Defining a Real Number." (2007)
• Wikipedia: Rayo's number
• Huggett, Nick. "Large Numbers and the Philosophy of Mathematics", University of Illinois at Chicago.

Uendelighet i matematikk

Uendelighet er et konsept i matematikk og filosofi som betegner noe som ikke har noen grense eller avslutning. Det finnes flere ulike former og nivåer av uendelighet, avhengig av konteksten de brukes i, særlig innen mengdeteori, analyse og logikk.

Typer uendelighet

1. Potensiell uendelighet

Potensiell uendelighet refererer til en prosess som kan fortsette uten ende, men som aldri er fullført. Det er en "åpen" uendelighet – for eksempel telling: 1, 2, 3, 4, ... og så videre. Det finnes alltid et neste tall, men man når aldri "slutten".

• Eksempel: Tallrekken 1, 2, 3, ... er potensielt uendelig.
• Brukes ofte i kalkulus og grenseverdier.

2. Aktuell uendelighet

Aktuell uendelighet representerer en uendelig mengde som eksisterer som et komplett hele. Dette ble først formalisert av Georg Cantor på 1800-tallet gjennom mengdeteori.

• Eksempel: Mengden av alle naturlige tall ℕ = {1, 2, 3, ...}
• Betraktes som en fullstendig enhet, ikke bare en prosess.

Ulike kardinaliteter av uendelighet

Innen mengdeteori kan man skille mellom ulike "størrelser" på uendelige mengder, ved hjelp av kardinaltall.

ℵ₀ (aleph-null)

• Den minste formen for aktuell uendelighet.
• Representerer kardinaliteten (antallet elementer) i mengden av alle naturlige tall (ℕ).
• Mengder med kardinalitet ℵ₀ kalles tellbart uendelige.

Tellbar uendelighet

• En mengde er tellbart uendelig hvis dens elementer kan listes i en rekkefølge (dvs. man kan lage en bijektiv funksjon fra ℕ til mengden).
• Eksempler:
  • Mengden av naturlige tall ℕ
  • Hele tall ℤ
  • Rasjonale tall ℚ

Ikke-tellbar uendelighet

• Uendelige mengder som er "større" enn ℵ₀.
• Kan ikke listes slik at hvert element får en plass i rekken.
• Eksempel: Mengden av reelle tall ℝ.
  • Cantor viste at ℝ er mer tallrik enn ℕ gjennom sitt berømte diagonalargument.
• Kardinaliteten til ℝ kalles ofte c (for kontinuitet), og er strengt større enn ℵ₀.

Hierarki av uendeligheter

Georg Cantor introduserte et uendelig hierarki av uendelige kardinaltall:

• ℵ₀ – naturlige tall
• ℵ₁ – den neste kardinalen etter ℵ₀ (avhenger av kontinuumhypotesen)
• ℵ₂, ℵ₃, ..., ℵ_ω, ...

Ordinaltall og uendelighet

Mens kardinaltall måler "hvor mange", måler ordinaltall "rekkefølge".

• ω (omega) er det første uendelige ordinaltallet og representerer rekkefølgen i ℕ.
• Etter ω kommer ω+1, ω+2, ..., ω·2, ω², ..., ω^ω, osv.
• Ordinaler fanger opp ideen om struktur og sekvenser i det uendelige.

Uendelighet i kalkulus

I analyse og kalkulus brukes ∞ (uendelig-symbol) for å uttrykke grenseverdier og divergent atferd.

• Eksempler:
  • \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0
  • \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

Men ∞ er ikke et tall i vanlig forstand – det er et symbol for grenseatferd.

Uendelighet i filosofi og fysikk

• I filosofi er det debatt om hvorvidt aktuell uendelighet kan eksistere i den virkelige verden.
• I fysikk er det spekulert om universet er uendelig i størrelse eller tid.
• Uendelighet brukes også i spekulasjoner om sorte hull, entropi og kvantemekanikk.

Kilder

• Cantor, Georg. Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, 1897.
• Wikipedia: Uendelighet
• Stewart, Ian. Infinity: A Very Short Introduction, Oxford University Press.