En tallfølge er en ordnet liste med tall hvor hvert tall er assosiert med et positivt heltall $n$ . Når vi skriver ut elementene etter stigende $n$ får vi en følge. Man kan betrakte en tallfølge som en funksjon fra de positive heltallene $\mathbb{Z}^+$ til de reelle tallene, $\mathbb{R}$ , eventuelt til de komplekse tallene $\mathbb{C}$ .

En følge kan være uendelig lang eller ha et endelig antall elementer.

Eksempel
1,2,3,4,5
Dette er en endelig følge med 5 elementer.


2,4,6,8,...

Dette er en uendelig lang følge. De tre prikkene til sist kjennetegner dette.




1,3,5,...,9

Denne følgen er endelig, men med mindre det er spesifisert vet vi ikke hvor mange elementer følgen består av.

Eksplisitte uttrykk

Følger kan uttrykkes som funksjoner $a_n$ (sammenlign med $f(x)$ ), der $n$ er et positivt heltall.

Eksempel
$a_n=n\,,\,n\in[3,7]$
Skriver vi ut denne følgen, får vi
3,4,5,6,7


$a_n=n^2$

Ettersom definisjonsmengden til $n$ ikke er spesifisert, kan vi gå ut ifra at følgen omfatter alle $n\in\mathbb{N}$ . Skriver vi ut følgen får vi da

1,4,9,16,25,...

Rekursive uttrykk

Det er også mulig å definere følger ved å relatere de forskjellige leddene med hverandre. Da får vi ligninger på formen

$f(a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0,n)=0$

Hvis vi sammen med et slikt uttrykk har informasjon om ett av leddene, er følgen entydig bestemt.

Dette kalles et rekursivt uttrykk og vises best gjennom noen eksempler:

Eksempel $a_n=a_{n-1}+n\,,\,a_0=0$ Ettersom ingen opplysninger og definisjonsmengden til $n$ er gitt, kan vi gå ut ifra at følgen dekker alle positive heltallige $n$ . Skriver vi ut følgen og starter fra $n=0$ , får vi
0,1,3,6,10,15,...
I denne følgen er hvert ledd $a_n$ summen av de $n$ første heltallene. Dette ser vi også fra det rekursive uttrykket ved at hvert i hvert ledd legges det neste heltallet til summen av de forrige.

Følger trenger ikke være bestemt av én funksjon. Forskjellige funksjoner kan bestemme leddene i forskjellige deler av følgen.

$ a_n=\begin{matrix} 0 & \text{if} & n=0 \\ 1 & \text{if} & n=1 \\ a_{n-1}+a_{n-2} & \text{if} & n>1 \end{matrix} $ Hvis vi skriver ut denne følgen og starter fra $n=0$ , får vi

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144...

Denne følgen kalles Fibonaccifølgen og har mange interessante geometriske og tallteoretiske egenskaper. Blant annet vil forholdet mellom to påfølgende tall gå mot Det gylne snitt når $n$ går mot uendelig.

Konvergens

Vi sier at en følge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ konvergerer mot et element $a$ dersom $\lim_{n\to\infty}a_n=a$ . En aritmetisk følge vil derfor ikke konvergere siden den vokser ubegrenset.

Eksempel
Følgen definert ved $f_n=\frac{1}{n}$
konvergerer mot $0$ når $n\to\infty$ siden $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$
Følgen definert ved $g_n=\cos(\frac{1}{n})$

vil konvergere mot $1$ når $n\to\infty$ siden argumentet går mot $0$ og $\cos(0)=1$ .


Tilbake til R2 Hovedside