Innhold

Spisse vinkler

De trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus, tangens. Vanligvis forkortes disse sin, cos, tan. For spisse vinkler defineres de trigonometriske funksjonene som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. Vi har:

Trigtrekant.gif

DEFINISJONER

$sin B = \frac ba$

$cos B = \frac ca$

$tan B = \frac bc = \frac{sin B}{ cos B}$

Enhetssirkelen - sin - cos - tan

De trigonometriske funksjonene begrenser seg ikke til spisse vinkler.

  • Vi tegner en sirkel med radius 1.
  • Positive vinkler kan tenkes framkommet ved en dreining mot klokken og negative vinkler fremkommer ved dreining med klokken.
  • Dette kalles orienterte vinkler.
  • I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer).
  • Dersom en vinkel har høyre vinkelbein sammenfallende med positiv del av x aksen og toppunkt i origo sies vinkelen å være i grunnstilling.

Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger:



$sin (a) = y \quad \quad cos (a) = x \quad \quad tan (a) = \frac yx $


Sin og cos har begge perioden $2\pi$. Tan har perioden $\pi$.


Enhetssirkelen og dens fire kvadranter:


Trig-3-4-2-1.png

Sinusverdien leses på y aksen (blå) og cosinus på x - aksen grønn.

En geometrosk tolkning av tangens ser du i den røde søylen. Dersom vinkelen ligger i 1. eller 4. kvadrant er lengden av linjestykket fra (1,0) langs linjen normalt på x -aksen, til skjæring med det andre vinkelbeinet. Tillsvarende i ( -1,0) for vinkler i 2. og 3. kvadrant.

Trig-3-4-2-3.png

Figuren over viser fortegn på sin (x), cos( x) og tan (x) i de fire kvadrantene.

Trig-3-4-2-2.png

Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til cosinus:


$v= -u \\ cos (v)= cos(-v) \\ cos (v) = cos (2 \pi - v) \\ cos v = - cos ( \pi - v)$

Trig-3-4-2-4.png

$cos (\alpha) = sin(\frac{\pi}{2}- \alpha) \\ sin (\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$

Trig-3-4-2-5.png

Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til sinus:

$sin( \alpha) = - sin( - \alpha) \\ sin (\alpha) = sin (\pi- \alpha) \\ sin(\alpha) = sin(\alpha +2 \pi) \\ sin( \pi + \alpha)= sin (2\pi -\alpha)$

Identiteter

$sin^2v + cos^2v = 1\quad \quad \color{red}{(1)}$


BEVIS (1):

Pyt 1.png

Relasjonen fremkommer ved å anvende Pytagoras direkte i enhetssirkelen.

Sum og differanser av vinkler

$cos(u-v) = cos(u)\cdot cos(v)+sin(u) \cdot sin(v) \quad \quad \color{red}{(2)} \quad \quad cos(u + v) = cos(u)\cdot cos(v)-sin(u)\cdot sin(v) \quad \quad \color{red}{(3)}\\ sin(u - v) = sin(u)\cdot cos(v)-cos(u)\cdot sin(v) \quad \quad \color{red}{(4)}\quad \quad sin(u + v) = sin(u)\cdot cos(v)+cos(u)\cdot sin(v)\quad \quad \color{red}{(5)}$



BEVIS (2):


Trig 22.png

Vinkelen (u-v) er vinkelen mellom vektorene $\vec{OB}$ og $\vec{OC}$ Begge disse har lengde en.

$\vec{OB}= [\cos v, \sin v] \\ \vec{OC} = [\cos u, \sin u]$

Skalarprodukt:

$ [\cos u, \sin u] \cdot [\cos v, \sin v] = 1 \cdot 1 \cdot \cos(u-v) \\ \cos(u-v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v \quad \quad \color{red}{(2)}$




BEVIS (3):


$\cos(-v)= \cos v \\ \sin(-v) = - \sin v $


$\cos(u-v) = \\ \cos(u-(-v)) = \cos u \cos (-v) + \sin u \sin (-v) \\ \cos( u+v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v \quad \quad \color{red}{(3)} $




BEVIS (5):

$ sin v = cos (90 - v) \\ sin (u + v) = cos (90 - (u+v)) \\ sin (u+v) = cos ((90-u)-v) \\ sin (u+v) = cos (90+u) cosv + sin(90-u)sinv \\ sin (u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v \quad \quad \color{red}{(5)}$





BEVIS (4):

$ \sin (u+v)= \sin u \cos v + \cos u \sin v \\ \sin (u+(-v)) = \sin u \cos(-v) + \cos u \sin(-v) \\ \sin (u-v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v \quad \quad \color{red}{(4)}$



Dobble vinkler

$sin(2u) = 2sin(u) \cdot cos(u) \quad \quad \color{red}{(6)} \\\ cos(2u) = cos^2u - sin ^2u \quad \quad \color{red}{(7)}$


$\cos(2u) = cos (u+u) \\ = \cos (u) \cos (u) - \sin (u) \sin (u)= \cos^2 (u) - \sin^2 (u)$

$cos(2u) = 2 cos^2 -1 (u)\quad \quad \color{red}{(8)}$

$ cos(2u) = 1 - 2 sin^2 (u)\quad \quad \color{red}{(9)}$

Dersom u + v = 180° har vi at Sin v = sin u og cos v = -cos u

Fra sum til produkt

$sin u + sin v= 2 sin ( \frac{u+v}{2}) cos ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(10)}$

$sin u - sin v= 2 cos ( \frac{u+v}{2}) sin ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(11)}$

$cos u + cos v= 2 cos ( \frac{u+v}{2}) cos ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(12)}$

$cos u - cos v= - 2 sin ( \frac{u+v}{2}) sin ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(13)}$

Fra produkt til sum

$sin u sinv = \frac 12[ cos (u-v) - cos (u+v)]\quad \quad \color{red}{(14)}$

$cos u cos v = \frac 12[ cos (u-v) + cos (u+v)]\quad \quad \color{red}{(15)}$

$sin u cos v = \frac 12[ sin (u+v) + sin (u-v)]\quad \quad \color{red}{(16)}$

$cos u sinv = \frac 12[ sin (u+v) - sin (u+v)]\quad \quad \color{red}{(17)}$

Flere funksjoner

De tre funksjonene som følger er ikke pensum i R2.

Trigtrekant.gif

$ cot (a) = \frac xy \quad \quad sec (a) = \frac 1x \quad \quad cosec (a) = \frac 1y $

De tre neste er ikke pensum, men greie å kjenne til:

$cot B = \frac cb = \frac{ cos B}{sin B} = \frac {1}{tan B}$

$sec B = \frac ac = \frac{1}{cos B}$

$cosec B = \frac ab = \frac{1}{sin B}$


$tan^2v + 1 = sec^2v\quad \quad\quad \quad \color{red}{(2)} \\ cot^2v+1 = csc^2v\quad \quad \color{red}{(3)}$

Trig-3-4-2-7.png

Geometrisk tolkning av de trigonometriske funksjonene. Figuren nedenfor viser de forskjellige trigonometriske funksjonene inntegnet i enhetssirkelen.

Hver av de trigonometriske funksjonene uttrykt ved de andre fem.
Uttrykt ved $\sin v\!$

$\cos v\!$

$\tan v!$

$\csc v\!$

$\sec v\!$

$\cot v\!$

$\sin v =\!$

$\sin v \!$

$\pm\sqrt{1 - \cos^2 v}\!$

$\pm\frac{\tan v}{\sqrt{1 + \tan^2 v}}\!$

$\frac{1}{\csc v}\!$

$\pm\frac{\sqrt{\sec^2 v - 1}}{\sec v}\!$

$\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 v}}\!$

$\cos v =\!$

$\pm\sqrt{1 - \sin^2 v}\!$

$\cos v\!$

$\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 v}}\!$

$\pm\frac{\sqrt{\csc^2 v - 1}}{\csc v}\!$

$\frac{1}{\sec v}\!$

$\pm\frac{\cot v}{\sqrt{1 + \cot^2 v}}\!$

$\tan v =\!$

$\pm\frac{\sin v}{\sqrt{1 - \sin^2 v}}\!$

$\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 v}}{\cos v}\!$

$\tan v\!$

$\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 v - 1}}\!$

$\pm\sqrt{\sec^2 v - 1}\!$

$\frac{1}{\cot v}\!$

$\csc v =\!$

$\frac{1}{\sin v}\!$

$\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 v}}\!$

$\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 v}}{\tan v}\!$

$\csc v\!$

$\pm\frac{\sec v}{\sqrt{\sec^2 v - 1}}\!$

$\pm\sqrt{1 + \cot^2 v}\!$

$\sec v =\!$

$\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 v}}\!$

<center>

$\frac{1}{\cos v}\!$

$\pm\sqrt{1 + \tan^2 v}\!$

$\pm\frac{\csc v}{\sqrt{\csc^2 v - 1}}\!$

$\sec v\!$

$\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 v}}{\cot v}\!$

$\cot v =\!$

$\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 v}}{\sin v}\!$

$\pm\frac{\cos v}{\sqrt{1 - \cos^2 v}}\!$

$\frac{1}{\tan v}\!$

$\pm\sqrt{\csc^2 v - 1}\!$

$\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 v - 1}}\!$

$\cot v\!$

Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt.

Kvadrant I II III IV
cos pos neg neg pos
sin pos posneg neg
tan pos negpos neg
cot posneg pos neg
sec pos neg neg pos
cosec pos pos neg neg