Det finnes forskjellige typer trigonometriske likninger og ofte er det forskjellige måter å løse dem på. Nedenfor følger en oversikt over de vanligste typene og et forslag til hvordan de kan løses.

Det er viktig å ha enhetssirkelen i bakhodet og spesielt være klar over følgende:

$\sin(x+2\pi)=\sin\,x$

$\cos(x+2\pi)=\cos\,x$

$\tan(x+\pi)=\tan\,x$

Innhold

1. Trigonometriske grunnlikninger

Trigonometriske likninger som kun involverer én trigonometrisk funksjon, kaller vi trigonometriske grunnlikninger. Disse er de enkleste trigonometriske likningene å løse, og krever kun kunnskap om de trigonometriske funksjonenes inverser.

Løsningsmetode for trigonometriske grunnlikninger

Vi tar for oss ligningen

$a\sin(bx)=c$

Vi vil løse denne ligninger for $x$ . Det første vi gjør er å isolere $\sin(bx)$ på venstresiden:

$\sin(bx)=\frac ca$

Siden høyresiden er lik venstresiden, vil $\arcsin$ av høyresiden være lik $\arcsin$ av venstresiden. Altså:

$\arcsin(\sin(bx))=\arcsin(\frac ca)$ Dette gir oss to uttrykk for $x$ :

$bx=\arcsin(\frac ca)\,\vee\,\pi-bx=\arcsin(\frac ca)$

Sinus er periodisk i $2\pi$ så vi må legge til en vilkårlig multippel av $2\pi$ på hver side.

$bx+k\cdot2\pi=\arcsin(\frac ca)\,\vee\,\pi-bx+k\cdot2\pi=\arcsin(\frac ca)\,,\,k\in\mathbb{Z}$

Når vi isolerer $x$

på venstresiden får vi

$x=\frac{\arcsin(\frac ca)-k\cdot2\pi}{b}\,\vee\,x=\frac{\arcsin(\frac ca)-\pi(2k+1)}{b}\,,\,k\in\mathbb{Z}$

Den samme fremgangsmåten kan benyttes på trigonometriske grunnlikninger med $\cos$ og $\tan$ også, men husk at disse har litt forskjellige egenskaper, så løsningene blir ikke de samme.

EKSEMPEL 1.

COS

$2cos(\pi x)=1 \quad \quad \quad x\in [0, 2\pi> \\ cos( \pi x) = \frac 12 \\ \pi x = \frac{\pi}{3} +k2\pi \vee \pi x = 2\pi-\frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x= \frac 13+2k \vee x=2- \frac13 +2k \\ x= \frac 13 \vee x= \frac 73 \vee x= \frac{13}{3} \vee x= \frac 53 \vee x= \frac{11}{3} \vee x= \frac{17}{3}$

$x \in${$ \frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{11}{3}, \frac{13}{3}, \frac{17}{3}$}

Slik ser det ut:

Trig-3-4-3-11.png


SIN

$sin( \frac{\pi}{4}x) = \frac 12 \quad \quad \quad x \in[0, 2 \pi> \\ \frac{\pi}{4}x = \frac{\pi}{6} +2k \pi \vee \frac{\pi}{4}x = \pi - \frac{\pi}{6} +2k \pi \\ x= \frac 23 +8k \vee x = 4- \frac 23 + 8k \\ x= \frac 23 \vee x = \frac{10}{3}$

$x \in ${$ \frac 23, \frac{10}{3}$}

Slik ser det ut:

Trig-3-4-3-12.png


TAN

$0,3 tan(4x)= 2 \quad \quad \quad x \in [0, \frac{\pi}{2}> \\ tan(4x) = 6,667 \\ 4x = 1,42 + k \pi \\ x= 0,36 \vee x= 1,14$

$x \in ${ 0,36 , 1,14}


Slik ser det ut:

Trig-3-4-3-13.png

2)

$a cos^2 x + b cos x + c = 0 \quad $ eller $ \quad a sin^2 x + b sin x + c = 0$

Løses ved å erstatt cos x , eventuelt sin x, med u. Løser andregradsligningen og setter løsningen(e) lik cos x (eller sin x) og finner mulige x verdier.

Eksempel 2.

$\sin^2x+\sin\,x-1=0\,,\,x\in[0,2\pi>$

Setter sin x = u og bruker andregradsformelen, og får:

$\sin\,x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$\sin\,x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$


Merk at $\frac{\sqrt{5}+1}{2}>1$ , altså har ikke denne grunnlikningen noen løsninger.

Vi står igjen med kun den første trigonometriske grunnlikningen. Når vi løser denne, får vi

$x= 0,67 \vee x= 2,48$

Slik ser det ut:

Trig-3-4-3-3.png


$x \in${0,67 , 2,48}

3)

$a sin x + b cos x = 0$

Begge sider divideres med cos x (forskjellig fra null). Vi får da en identitet i tan x.

Eksempel 3.

$4sinx-2cosx=0 \quad \quad x \in [0, 2 \pi>\\ 4tanx-2=0 \\ tanx = \frac 12 \\ x = tan^{-1}(\frac 12) = 0,46 + k \pi \\ x= 0,46 \vee x = 3,61$

$x \in$ {0,46 , 3,61}

Slik ser det ut:

Trig-3-4-3-2.png

4)

$a cos^2 x + b sin x + c = 0 \quad$ eller $ \quad a sin^2 x + b cos x + c = 0$

Ligningen løses ved å erstatte $sin^2x \quad $ med $1 - cos^2 x \quad$ eller $ cos^2 x \quad$ med $1 - sin^2 x$

Eksempel 4.

$\sin\,x+2cos^2x=1\,,\,x\in[0,2\pi >$

Vi kjenner identiteten $\sin^2x+\cos^2x=1$

.

Den kan vi bruke her for å omforme ligningen til

$\sin\,x+2-2\sin^2x=1$

$2\sin^2x-\sin\,x-1=0$

Dette er en andregradslikning i $\sin\,x$, som vi kan løse:
$\sin\,x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\frac{1\pm 3}{4}$

$\sin\,x=\frac{1+3}{4}=1 \,\vee\,\sin\,x=\frac{1-3}{4}=-\frac12$

$\sin\,x=1\,\Rightarrow\,x=\frac{\pi}{2}$

$\sin\,x=-\frac12\,\Rightarrow\,x=\frac{7\pi}{6} \,\vee\,x=\frac{11\pi}{6}$


$x= \frac {\pi}{2} \vee x= \frac{7 \pi}{6} \vee x= \frac{11 \pi}{6}$

$x \in${$\frac {\pi}{2}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}$}

Slik ser det ut:

Trig-3-4-3-4.png

5)

$a sin^2 x + b sin x cos x + c cos^2 x = 0$

Løses ved å dividere begge sider av likhetstegnet med $cos^2 x \quad \quad cos x \neq 0$

Eksempel 5.

$2sin^2x+3sinxcosx - cos^2x=0 \quad x \in [0, 2\pi>\\ 2tan^2x+3tanx-1=0 \\ 2u^2+3u-1=0$

$tan x =-1,06 \vee tanx = 0,27 \\x= -1,06 + k\pi \vee x= 0,27 + k\pi \\ x = 0,27 \vee x=3,45 \vee x=2,08 \vee x=5,22 $

$x \in$ {0,27 , 2,08 , 3,45 , 5,22}

Slik ser det ut:

Trig-3-4-3-1.png

6)

$ a sin^2 x + b sin x cos x + c cos^2 x = d $

Her må konstantleddet skrives om : $d = d \cdot 1 =d(sin^2 x + cos^2 x)$ . Ligningen løses nå som beskrevet i punktet over.

Eksempel 6.

$4sin^2x+ sinx cos x - 3cos^2x=3 \quad \quad x \in [0, 2\pi> \\4sin^2x+ sinx cos x - 3cos^2x = 3sin^2x + 3cos^2x \\ sin^2x + sinx cosx - 6cos^2 =0 \\ tan^2x + tanx - 6 = 0 \\ tanx = -3 \vee tanx = 2 \\ x= -1,24 +k\pi \vee x=1,11 + k\pi \\ x= 1,11 \vee x= 4,25 \vee x= 1,90 \vee x=5,04 $

$x \in ${1,11 , 1,90 , 4,25 , 5,04}

Slik ser det ut:

Trig-3-4-3-14.png

7)

Likninger av typen

$a\sin cx + bcos cx = d$

Løses ved å skrive om til:

$Asin (cx + \varphi)=d$

der $A=\sqrt{a^2+b^2}$ og $\varphi$ er gitt ved $tan \varphi = \frac ba$ og $\varphi$ ligger i samme kvadrant som (a,b).

Eksempel 7.

Eksempel:

$sin x + cos x = 1 \quad \quad \quad x\in [0,2\pi>$

$A=\sqrt{a^2+b^2}= \sqrt 2 \\ a = b = 1$

Vinkelen $\varphi$ ligger i første kvadrant, $\varphi =tan^{-1}(1)= \frac {\pi}{4}$

Phi.PNG

Vi får

$\sqrt 2 sin(x + \frac \pi 4) = 1 \\ sin (x+ \frac \pi 4) = \frac{\sqrt 2}{2} \\ x + \frac {\pi}{4} = \frac {\pi}{4} +2k\pi \vee x + \frac{\pi}{4}= \pi - \frac{\pi}{4} +2k\pi \\ x=0 \vee x= \frac {\pi}{2}$


$x \in$ {0, $\frac \pi 2$}

Det ser slik ut:

Sincos.png

8)

$a^2\pm ab= 0 \Rightarrow a( a \pm b)= 0$

a og b er sinx og cosx, eler cosx og sinx.

Eksempel 8.

Når vi skal løse trigonometriske ligninger må vi ofte dele den opp i flere trigonometriske grunnlikninger før vi kan løse den. Et klassisk eksempel er faktoriseringsmetoden. Vi tar for oss ligningen

$\sin\,x\,\cos\,x-cos\,x=0\,,\,x\in [0,2\pi>$

Selv om det kan være fristende, må du, uansett hva du gjør, ikke dele på $\cos\,x$ . Generelt prøver man å ikke dele eller multiplisere med funksjoner av variabler, fordi du kan miste løsninger, eller lage falske løsninger. Dette gjelder generelt når du deler på null eller multipliserer med null. I stedet faktoriserer vi ligningen:

$\cos\,x\,(\sin\,x-1)=0$

Nå ser vi at for at ligningen skal oppfylles, må $\cos\,x=0$

eller $\sin\,x-1=0$ . Vi har klart å redusere den kompositte trigonometriske ligningen til to trigonometriske grunnlikninger.

$\sin\,x=1 \,\Rightarrow\, x=\frac{\pi}{2}$

$\cos\,x=0 \,\Rightarrow\, x=\frac{\pi}{2} \,\vee\, x=\frac{3\pi}{2}$

$ x \in${$\frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2}$}

NB: Dersom du på forhånd har sjekket at det du deler eller multipliserer med ikke er lik null, er det greit å gjennomføre operasjonen. Dette kan gjøres ved å plugge inn null for den aktuelle faktoren og se om likningen oppfylles.