En vektor er det samme som et koordinat, vi tenker oss en pil fra origo til et punkt med koordinat (x,y) i det euklidske planet eller (x,y,z) i rommet $\mathbb{R^3}$ . Det fins en rekke måter å skrive vektorer på, f.eks. er det vanlig å bruke $\vec{r}=(x,y,z)$ , $\vec{r}=\langle x,y,z\rangle$ eller $\vec{r}=[x,y,z]$ . Vi kan også innføre enhetsvektorer langs de tre aksene og skrive vektorene ved hjelp av disse. Da er $\vec{r}=x\vec{e_{x}}+y\vec{e_{y}}+z\vec{e_{z}}$ der $\vec{e_i}$ er enhetsvektor langs aksen $i\in [x,y,z]$ . Her holder vi oss for enkelhets skyld til den første konvensjonen. Strengt tatt burde vi skrevet $\vec{r}=(x,y,z)_{\mathcal{B}}$ , der $\mathcal{B}$ angir hvilken basis vi uttrykker vektoren i, men her mener vi alltid standardbasisen, altså $\mathcal{B}= \left {(1,0,0)\,,(0,1,0)\,,(0,0,1) \right}$


En vektor i rommet er en generalisering av en vektor i planet der vi har innført én ny koordinat. Mye av teorien for vektorer i planet vil utvides på naturlig måte til vektorer i rommet. F.eks. er definisjonen av lengde, sum, skalarmultiplikasjon og skalarprodukt (prikkprodukt) av 3-dimensjonale vektorer analog med det 2-dimensjonale tilfellet:


Innhold

Lengden av en vektor i rommet

Lengden av en 3-dimensjonal vektor er angitt med absoluttverditegn. Dersom $\vec{v}=(x,y,z)$ er lengden definert som


$|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Vektorsum

Addisjon av vektorer foregår på samme måte som i planet, dvs. komponentvis. Vi har at


$\vec{v}+\vec{v^\prime}=(x,y,z)+(x^\prime,y^\prime,z^\prime)=(x+x^\prime,y+y^\prime,z+z^\prime)$

Multiplikasjon med skalar

Vi kan multiplisere en vektor med en skalar på samme måte som i planet:


$k(x,y,z)=(kx,ky,kz)$

der $k$ er en skalar.


Da ser vi at


$|k\vec{v}|=|(kx,ky,kz)|=\sqrt{(kx)^2+(ky)^2+(kz)^2}=\sqrt{k^2(x^2+y^2+z^2)}=|k|\sqrt{x^2+y^2+z^2}=|k||\vec{v}|$


Denne formelen kan anvendes for å forenkle utregninger gjennom å faktorisere ut felles faktorer i vektoren vi skal finne lengden av.

Skalarprodukt

La $\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)$ og $\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)$ . Da er skalarproduktet definert som


$\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$


Dette er ekvivalent med


$\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\cdot \cos(\theta)$

der $\theta$ er vinkelen mellom vektorene.


Merk at definisjonen medfører at skalarproduktet er kommutativt, dvs. at $\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=\vec{v_2}\cdot \vec{v_1}$


En viktig observasjon er at dersom vi tar skalarproduktet med vektoren selv, får vi


$\vec{v}\cdot \vec{v}=x^2+y^2+z^2=|\vec{v}|^2$

.


Her ser vi at dette stemmer overens med den andre definisjonen av skalarproduktet i og med at vinkelen mellom to like vektorer er $\theta=0$ , og da er $\cos(\theta)=\cos(0)=1$ .


Normalisering

Vi normaliserer en vektor ved å dele den med lengden av seg selv. Lar vi f.eks. $\vec{v}=(x,y,z)$ og deler med lengden får vi


$\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)$

.


Vi ser da at $|\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}|=1$ .


Enhetsvektorer

En enhetsvektor i rommet er essensielt et koordinat på enhetssfæren (dvs. overflaten av ei kule med radius=1 og sentrum i origo).

Dekomposisjon av romlige vektorer

Vi kan finne komponenten av en vektor i en gitt retning ved å ta skalarproduktet av vektoren og enhetsvektoren langs den ønskelige retningen.


Trekantulikheten

Trekantulikheten sier at for vektorer $\vec{u}$ og $\vec{v}$ gjelder alltid


$|\vec{u}+\vec{v}|\leq |\vec{u}|+\vec{v}|$


Denne er ofte nyttig til å vise mer kompliserte ulikheter. Likhet oppnås dersom enten en av vektorene er 0-vektor eller dersom vektorene har samme retning. Det kan være lurt å tegne opp noen vektorer for å illustrere prinsippet. Da ser man geometrisk at ulikheten faktisk stemmer.

Vektorrom (avansert, noe utover R2 pensum)

I en mer generell kontekst er de euklidske vektorene et spesialtilfelle av et vektorrom over en kropp (en kropp er f.eks. $\mathbb{R}$ eller $\mathbb{C}$ ). Et vektorrom $\mathcal{V}$ over $\mathcal{F}$ er en mengde av elementer (vektorer) som tilfredsstiller et sett aksiomer. For alle $r,s \in \mathcal{F}$ og alle $u$ , $v$ og $w$ i $\mathcal{V}$ gjelder:


1. Det fins en additiv identitet, $0$ : $u+0=u$

2. Det fins en multiplikativ identitet, $1$ : $1u=u$

3. Vektorrommet er lukket under skalarmultiplikasjon, i.e. $ru$ er med i $\mathcal{V}$ og $r(su)=(rs)u$ .

4. Vektorrommet er lukket under addisjon, i.e. $u+v$ er med i $\mathcal{V}$

5. Vektorrommet assosiativt, i.e. $(u+v)+w=u+(v+w)$

6. Vektorrommet er distributivt, i.e. $r(u+v)=ru+rv$

7. $(r+s)u=ru+su$

8. Vektorrommet er kommutativt, i.e. $u+v=v+u$

9. For alle $u$ fins en $w$ slik at $u+w=0$



Tilbake til R2 Hovedside