Siste sideversjon per 29. okt. 2013 kl. 18:42

Løsning fra NDLA

Løsning fra Nebu (pdf)

Del 1

Oppgave 1

a)

Nullpunkt ved regning:

$f (x) = 0 - 2 x + 3 = 0 - 2 x = - 3 x = \frac{3}{2}$

Ved inspeksjon ser man at dette stemmer med grafen.

b)

$x^{2} + 8 x = - 15 x^{2} + 8 x + 15 = 0 x = \frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} x = \frac{- 8 \pm 2}{2} x = - 5 \lor x = - 3$

c)

$5 - 2^{4} \cdot (4 - 3)^{3} \cdot 2^{- 3} = 5 - 16 \cdot 1^{3} \cdot \frac{1}{8} = 5 - \frac{16}{8} = 3$

d)

$\frac{4 a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{2 a^{- \frac{1}{6}}} = \frac{2^{2} a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{2 a^{- \frac{1}{6}}} = 2^{2 - 1} a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - (- \frac{1}{6})} = 2 a^{\frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6}} = 2 a$

e)

$f (x) = - 2 x^{3} + 8 x + 4 f^{'} (x) = - 6 x + 8 f^{'} (1) = - 6 + 8 = 2 f (1) = 10 y = a x + b y = 2 x + b punktet (1, f (1)) \Rightarrow 10 = 2 + b b = 8 Likning for tangent: y = 2 x + 8$

f)

Faktoriserer uttrykket ved hjelp av konjugatsetningen og regelen for faktorisering av fullstendig kvadrat, forkorter deretter uttrykket ved å stryke samme faktorer i teller og nevner:

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9} = \frac{(x + 3) \cdot (x - 3)}{(x + 3) (x + 3)} = \frac{(x + 3) \cdot (x - 3)}{(x + 3) (x + 3)} = \frac{x - 3}{x + 3}$

g)

$\log (2 x + 4) = 3 \log 2 \Leftrightarrow \log (2 x + 4) = \log (2^{3}) \Leftrightarrow 2 x + 4 = 2^{3} \Leftrightarrow 2 x + 4 = 8 \Leftrightarrow 2 x = 8 - 4 \Leftrightarrow 2 x = 4 \Leftrightarrow x = \frac{4}{2} \Leftrightarrow x = 2$

h)

1)

Sannsynligheten for at pilen peker enten på blått eller grønt felt når hjulet stopper er:

$P = P (B) + P (G r) = \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8} = 0, 625 = 62, 5$ %

2)

Sannsynligheten for at pilen peker en gang på gult felt og en gang på grønt felt når hjulet snurres to ganger, er:

$P (G u l) \cdot P (G r) + P (G r) \cdot P (G u l) = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{8} + \frac{2}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}$

i)

Oppgave 2

a)

b)

$g (x) = a x^{2} + b x + c g (0) = - 4 \Rightarrow C = - 4 g (x) = a x^{2} + b x - 4 g (2) = 0 \Rightarrow 4 a + 2 b - 4 = 0 g (- 2) = 0 \Rightarrow 4 a - 2 b - 4 = 0$

Legger sammen de to likningene og får:

8a-8=0

a=1

Innsatt i 4a + 2b- 4 = 0

Gir b=0, funksjonsuttrykket blir da

$g (x) = x^{2} - 4$

Del 2

Oppgave 3

a)

Siden trekant $A C D$ er rettvinklet er det greit å finne lengden $A C$ ved hjelp av Pytagoras setning:

$A C^{2} = A D^{2} + C D^{2} \Leftrightarrow A C = \sqrt{A D^{2} + C D^{2}} = \sqrt{(3, 0 m)^{2} + (5, 0 m)^{2}} = \sqrt{9, 0 m^{2} + 25 m^{2}} = \sqrt{34 m^{2}} \approx 5, 8 m$

b)

Cosinussetningen:

$B D^{2} = (5 m)^{2} + (5 m)^{2} - 2 \cdot 5 m \cdot 5 m \cdot C o s 120^{\circ} = 75 m^{2} B D = 8, 7 m$

c)

Areal trekant ACD: $A = \frac{3, 0 m \cdot 5, 0 m}{2} = 7, 5 m^{2}$

For å finne arealet av de tre andre trekantene trenger man å finne en del størrelser.

Bruker tangens og finner at:

Vinkel CAD = 59,04 grader

Vinkel DCA = 30,96 grader

Det fører til at

Vinkel BAE = 40,96 grader og

Vinkel ACB = 89,04 grader

Trekanten BCD er likebeint hvilket betyr at vinkel CBE = EDC = 30 grader.

Areal trekant BCD: $A = \frac{1}{2} \cdot 5 m \cdot 5 m \cdot s i n 120^{\circ} = 10, 83 m^{2}$

Areal trekant ABD: $A = \frac{1}{2} \cdot 3 m \cdot \sqrt{75} m \cdot s i n 60^{\circ} = 11, 22 m^{2}$

Areal trekant ABC: $A = \frac{1}{2} \cdot 5 m \cdot 7, 6 m \cdot s i n 50^{\circ} = 14, 55 m^{2}$

1)

OVE: ABD + BCD = $11, 22 m^{2} + 10, 83 m^{2} \approx 22, 1 m^{2}$

2)

TOMMY: ABC + ACD = $14, 55 m^{2} + 7, 5 m^{2} \approx 22, 1 m^{2}$

Oppgave 4

a)

Bruker fartsformelen $s = v t$ , der $s$ er strekningen Arne har syklet, $v$ er farten han sykler med, og $t$ er tiden han har brukt:

$s = s_{1} + s_{2} = v_{1} \cdot t_{1} + v_{2} \cdot t_{2} = 12 km/t \cdot \frac{30 min}{60 min} + 18 km/t \cdot \frac{15 min}{60 min} = 12 km/t \cdot \frac{1}{2} t + 18 km/t \cdot \frac{1}{4} t = 6 k m + 4, 5 k m = 10, 5 k m$

b)

c)

Funksjonsuttrykket for de første 30 minuttene er:

$y = \frac{12}{60} x = \frac{1}{5} x = 0, 20 x$ gjelder når $x \in [0, 30]$ (sagt med ord: når $x$ er fra og med 0 til og med 30).

Funksjonsuttrykket for de neste 30 minuttene er:

$y = a x + b a = \frac{18}{60} = 0, 3 6 = 0, 3 \cdot 30 + b b = - 3 y = 0, 3 x - 3$

gjelder når $x \in ⟨ 30, 60]$

Oppgave 5

a)

Lager krysstabell, setter inn verdiene fra oppgaven og regner ut de andre slik at tabellen blir fullstendig:

	Briller B	Ikke briller $\bar{B}$	Sum
Kontaktlinser L	$9, 7 \percent$	$7, 2 \percent$	$9, 7 \percent + 7, 2 \percent = 16, 9 \percent$
Ikke kontaktlinser $\bar{L}$	$14, 3 \percent$	$100 \percent - (14, 3 \percent + 7, 2 \percent + 9, 7 \percent) = 68, 8 \percent$	$100 \percent - 16, 9 \percent = 83, 1 \percent$
Sum	$24, 0 \percent$	$100 \percent - 24, 0 \percent = 76, 0 \percent$	$100 \percent$

b)

Som vi regnet ut i tabellen i a) er sannsynligheten for at en person ikke bruker briller $76, 0 \percent$ .

c)

Sannsynligheten for at en person som bruker briller også bruker kontaktlinser er:

$\frac{9, 7 \percent \cdot 100}{24 \percent} = 40, 4 \percent$

Oppgave 6

a)

b)

Grafen har nullpunkt når $f (x) = 0, 5 x^{2} - 2 x = 0$ . Løser likningen $0, 5 x^{2} - 2 x = 0$ for å finne nullpunktene:

$0, 5 x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow x (0, 5 x - 2) = 0. Produktsetningen gir da at x=0 eller 0,5x-2=0. Det vil si at x = 0 e l l e r 0, 5 x - 2 = 0 \Leftrightarrow 0, 5 x = 2 \Leftrightarrow x = 4$ .

Altså er $f (x) = 0$ når $x = 0$ og $x = 4$ . Dette kan kontrolleres ved å finne verdien av f(x) når x=0, og når x=4 ved å sette inn henholdsvis 0 og 4 for x i likningen:

$f (0) = 0, 5 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 = 0$

$f (4) = 0, 5 \cdot 4^{2} - 2 \cdot 4 = 0, 5 \cdot 16 - 8 = 8 - 8 = 0$

Det stemmer, altså er nullpunktene til funksjonen(på formen $(f (x), x)$ ): (0,0) og (4,0).

Ekstremalpunkt.

Man observerer at dette er en parabel som vender den hule siden opp (smiler), fordi tallet foran x i andre er positivt. Ekstremalpunktet er et minimumspunkt.

Minimumspunkt (2, -2)

c)

$f^{'} (x) = x - 2 f^{'} (1) = 1 - 2 = - 1$

Stigningstallet til tangenten i (1, f(1)) er -1.

d)

$f^{'} (x) = 1 x - 2 = 1 x = 3 f (3) = 4, 5 - 6 = - 1, 5 y = a x + b - 1, 5 = 1 \cdot 3 + b b = - 4, 5 y = x - 4, 5$

Oppgave 7

Alternativ I

a)

$[2 y - x^{2} + 2 x = a y - 2 x = 3]$

1)

Når a=6, er likningssettet: $[2 y - x^{2} + 2 x = 6 y - 2 x = 3]$ . Dette kan f.eks løses ved å

$[2 y - x^{2} + 2 x = 6 y - 2 x = 3 | \cdot - 2] \Leftrightarrow [(2 y - x^{2} + 2 x = 6) + (- 2 y + 4 x = - 6)] \Leftrightarrow 2 y - 2 y - x^{2} + 2 x + 4 x = 6 - 6 \Leftrightarrow - x^{2} + 6 x = 0 x (6 - x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 e l l e r x = 6$

Hvis x=0, er $y = 2 x + 3 = 2 \cdot 0 + 3 = 3$ eller hvis x=6, er $y = 2 x + 3 = 2 \cdot 6 + 3 = 15$ .

2)

b)

Setter inn x=1 og y=5 i den øverste likningen i likningssettet og løser for a:

$a = 2 y - x^{2} + 2 x = 2 \cdot 5 - 1^{2} + 2 \cdot 1 = 10 - 1 + 2 = 11$ . Altså må a være lik 11 for at x=1 og y=5 skal være en løsning til likningen.

c)

$2 y - x^{2} + 2 x = a \Rightarrow y = 0, 5 x^{2} - x + \frac{a}{2} y - 2 x = 3 \Rightarrow y = 2 x + 3 Setter funksjonene lik hverandre 0, 5 x^{2} - x + \frac{a}{2} = 2 x + 3 0, 5 x^{2} - 3 x + (\frac{a}{2} - 3) = 0$

Dersom man får null under rottegnet i abc formelen har man en løsning. Dersom man får et negativt tall under rottegnet har man ingen løsning. To løsninger får man når uttrykket under rottegnet er positivt.

$b^{2} - 4 a c = 0 9 - 4 \cdot 0, 5 (\frac{a}{2} - 3) = 0 9 - a + 6 = 0 a = 15$

Man observerer at når a er større enn 15 er uttrykket negativt og likningsettet har ingen løsning.

Når a = 15 har det en løsning.

Når a er mindre enn 15 har settet to løsninger.

Alternativ II

a)

Vi deler opp arealet i to. Huset består av et kvadrat med areal $a \cdot a = a^{2}$

og et rektangel med areal $3 a (10 - a) = 30 a - 3 a^{2}$

Det totale arealet blir da: $a^{2} + (30 a - 3 a^{2}) = 30 a - 2 a^{2}$

$a = 5 \Rightarrow 30 \cdot 5 - 2 \cdot 5^{2} = 100$ kvadratmeter

b)

$F (a) = 30 a - 2 a^{2} F (a) = 112 - 2 a^{2} + 30 a - 112 = 0 a = 7 \lor a = 8$

c)

$F (a) = 30 a - 2 a^{2} F^{'} (a) = 30 - 4 a F^{'} (a) = 0 30 - 4 a = 0 a = 7, 5 F (7, 5) = 112, 5$

Når a = 7,5m er huset 112,5 kvadratmeter

d)

$- 2 a^{2} + 30 a = 72 a = 3 \lor a = 12$

Huset er større enn 72 kvadrat meter når a er større enn 3m og mindre enn 10m

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
+[http://ndla.no/nb/node/95939?fag=54 Løsning fra NDLA]
+[http://folk.ntnu.no/oistes/Eksamen%20-%20VGS/1T/T1%20V10(6).pdf Løsning fra Nebu (pdf)]
 = Del 1 =
@@ Linje 7: / Linje 10: @@
 [[Fil:2010a1.png]]<p></P>
 Nullpunkt ved regning:<p></p>
-<tex>f(x) = 0 \ -2x+3 = 0 \-2x= -3 \x= \frac 32</tex>
+<math>f(x) = 0 \ -2x+3 = 0 \-2x= -3 \x= \frac 32</math>
 <p></p> Ved inspeksjon ser man at dette stemmer med grafen.
 === b) ===
-<tex>x^2 + 8x = -15 \ x^2 +8x + 15 =0 \ x = {-8 \pm \sqrt{8^2-4 \cdot 1 \cdot 15}{2 \cdot1} \ x= \frac{-8 \pm 2}{2} \ x = -5 \vee x=-3</tex>
+<math>x^2 + 8x = -15 \ x^2 +8x + 15 =0 \ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2-4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot1} \x= \frac{-8 \pm 2}{2} \ x = -5 \vee x=-3</math>
 === c) ===
+ $5 - 2^{4} \cdot (4 - 3)^{3} \cdot 2^{- 3} = 5 - 16 \cdot 1^{3} \cdot \frac{1}{8} = 5 - \frac{16}{8} = 3$
 === d) ===
+ $\frac{4 a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{2 a^{- \frac{1}{6}}} = \frac{2^{2} a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{2 a^{- \frac{1}{6}}} = 2^{2 - 1} a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - (- \frac{1}{6})} = 2 a^{\frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6}} = 2 a$
 === e) ===
+ $f (x) = - 2 x^{3} + 8 x + 4 f^{'} (x) = - 6 x + 8 f^{'} (1) = - 6 + 8 = 2 f (1) = 10 y = a x + b y = 2 x + b punktet (1, f (1)) \Rightarrow 10 = 2 + b b = 8 Likning for tangent: y = 2 x + 8$
 === f) ===
@@ Linje 23: / Linje 29: @@
 Faktoriserer uttrykket ved hjelp av konjugatsetningen og regelen for faktorisering av fullstendig kvadrat, forkorter deretter uttrykket ved å stryke samme faktorer i teller og nevner:
-<tex>\frac {x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac {(x+3)\cdot (x-3)}{(x+3)(x+3)}=\frac {\cancel{(x+3)}\cdot (x-3)}{\cancel{(x+3)}(x+3)} =\frac {x-3}{x+3}</tex>
+<math>\frac {x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac {(x+3)\cdot (x-3)}{(x+3)(x+3)}=\frac {\cancel{(x+3)}\cdot (x-3)}{\cancel{(x+3)}(x+3)} =\frac {x-3}{x+3}</math>
 === g) ===
-<tex> \log(2x +4) = 3 \log 2 \Leftrightarrow \log (2x+4)= \log(2^3) \Leftrightarrow 2x+4=2^3 \Leftrightarrow 2x+4=8 \Leftrightarrow 2x=8-4 \Leftrightarrow 2x=4 \Leftrightarrow x= \frac 42 \Leftrightarrow x=2 </tex>
+<math> \log(2x +4) = 3 \log 2 \Leftrightarrow \log (2x+4)= \log(2^3) \Leftrightarrow 2x+4=2^3 \Leftrightarrow 2x+4=8 \Leftrightarrow 2x=8-4 \Leftrightarrow 2x=4 \Leftrightarrow x= \frac 42 \Leftrightarrow x=2 </math>
 === h) ===
@@ Linje 35: / Linje 41: @@
 Sannsynligheten for at pilen peker enten på blått eller grønt felt når hjulet stopper er:
-<tex> P=P(B)+P(Gr)=\frac 38 + \frac 28 = \frac 58=0,625 =62,5 \percent </tex>
+<math> P=P(B)+P(Gr)=\frac 38 + \frac 28 = \frac 58=0,625 =62,5 </math>%
 ''' 2) '''
@@ Linje 41: / Linje 47: @@
 Sannsynligheten for at pilen peker en gang på gult felt og en gang på grønt felt når hjulet snurres to ganger, er:
-<tex>P=P(Gul)\cdot P(Gr))=\frac 18 \cdot \frac 28= \frac {2\cdot 1}{8\cdot 8}=\frac 2{64}=\frac 1{32}=0,03125=3,125 \percent</tex>
+<math>P(Gul)\cdot P(Gr) +P(Gr)\cdot P(Gul) =\frac 18 \cdot \frac 28 + \frac28  \cdot \frac 18= \frac {4}{64}=\frac {1}{16}</math>
 === i) ===
+[[Fil:2010i1.png]]
 == Oppgave 2 ==
 === a) ===
+[[Fil:2010a2.png]]
 === b) ===
+ $g (x) = a x^{2} + b x + c g (0) = - 4 \Rightarrow C = - 4 g (x) = a x^{2} + b x - 4 g (2) = 0 \Rightarrow 4 a + 2 b - 4 = 0 g (- 2) = 0 \Rightarrow 4 a - 2 b - 4 = 0$  <p></p>
+Legger sammen de to likningene og får:<p></p>
+a-8=0<p></p>
+a=1
+Innsatt i 4a + 2b- 4 = 0 <p></p>
+Gir b=0, funksjonsuttrykket blir da<p></p>
+ $g (x) = x^{2} - 4$
 = Del 2 =
@@ Linje 57: / Linje 73: @@
 === a) ===
-Siden trekant <tex>ACD</tex> er rettvinklet er det greit å finne lengden <tex>AC</tex> ved hjelp av Pytagoras setning:
+Siden trekant <math>ACD</math> er rettvinklet er det greit å finne lengden <math>AC</math> ved hjelp av Pytagoras setning:
-<tex> AC^2=AD^2+CD^2 \Leftrightarrow AC=\sqrt{AD^2+CD^2} =\sqrt{(3,0 m)^2 + (5,0 m)^2}=\sqrt{9,0 m^2 + 25 m^2}=\sqrt{34 m^2} \approx 5,8 m</tex>
+<math> AC^2=AD^2+CD^2 \Leftrightarrow AC=\sqrt{AD^2+CD^2} =\sqrt{(3,0 m)^2 + (5,0 m)^2}=\sqrt{9,0 m^2 + 25 m^2}=\sqrt{34 m^2} \approx 5,8 m</math>
 === b) ===
-Når trekant <tex>BCD</tex> er likebeint (to av sidene er like lange), vet vi at også to av vinklene må være like lange. Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader, så siden vinkel <tex>C</tex> er kjent kan vi regne ut de andre to:
+Cosinussetningen:
-<tex> \angle B=\angle D = \frac {180 ^\circ - \angle C}2 =\frac {180 ^\circ - 120 ^\circ }2= \frac {60 ^\circ}2= 30 ^\circ </tex>
+<math>BD^2 = (5m)^2 + (5m)^2 - 2 \cdot 5m \cdot 5m \cdot Cos 120^{\circ}= 75m^2 \BD = 8,7m</math>
-Når vi kjenner størrelsen på denne vinkelen, kan vi finne <tex>BD</tex> ved hjelp av sinussetningen:
+=== c) ===
+[[Fil:2010opg3.PNG]]<p></p>
+Areal trekant ACD: <math>A= \frac {3,0m \cdot 5,0m}{2}= 7,5m^2</math>
+<p></p>
+For å finne arealet av de tre andre trekantene trenger man å finne en del størrelser.
+<p></p>Bruker tangens og finner at:<p></p>
+Vinkel CAD = 59,04 grader<p></p>
+Vinkel DCA = 30,96 grader<p></p>
+Det fører til at<p></p>
+Vinkel BAE = 40,96 grader og <p></p>
+Vinkel ACB = 89,04 grader<p></p>
+Trekanten BCD er likebeint hvilket betyr at vinkel CBE = EDC = 30 grader.<p></p><br>
+Areal trekant BCD: <math>A= \frac 12 \cdot 5m \cdot 5m \cdot sin 120^{\circ}= 10,83m^2</math>
+<p></p><br>
+Areal trekant ABD:  $A = \frac{1}{2} \cdot 3 m \cdot \sqrt{75} m \cdot s i n 60^{\circ} = 11, 22 m^{2}$
-<tex>\frac {BD}{\sin \angle C}=\frac {CD}{\sin \angle B} \Leftrightarrow BD=\frac {CD \cdot \sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{5.0 \text{m} \cdot \sin (120 ^\circ)}{\sin (30 ^\circ)}=\frac {5.0 \text{m} \cdot \frac {\sqrt 3}2}{\frac 12}=5\sqrt 3 \text{m} \approx 8.66 \text{m} \approx 8.7 \text{m}</tex>
+<p></p><br>
+Areal trekant ABC: <math>A = \frac 12 \cdot 5m \cdot 7,6 m  \cdot sin50^{\circ} = 14,55m^2</math>
-=== c) ===
+''' 1) '''<p></p>
+OVE: ABD + BCD =  $11, 22 m^{2} + 10, 83 m^{2} \approx 22, 1 m^{2}$
-''' 1) '''
+''' 2) '''<p></p>
+TOMMY: ABC + ACD =<math>14,55m^2 + 7,5m^2 \approx 22,1m^2</math> <p></p>
-''' 2) '''
 == Oppgave 4 ==
@@ Linje 81: / Linje 112: @@
 === a) ===
-Bruker fartsformelen <tex>s=vt</tex>, der <tex>s</tex> er strekningen Arne har syklet, <tex>v</tex> er farten han sykler med, og <tex>t</tex> er tiden han har brukt:
+Bruker fartsformelen <math>s=vt</math>, der <math>s</math> er strekningen Arne har syklet, <math>v</math> er farten han sykler med, og <math>t</math> er tiden han har brukt:
-<tex>s=s_1+s_2=v_1 \cdot t_1 + v_2 \cdot t_2 = 12 \text{km/t} \cdot \frac {30 \text{min}}{60 \text{min}} + 18 \text{km/t} \cdot \frac {15 \text{min}}{60 \text{min}}=12 \text{km/t} \cdot \frac 12 \text{t}+ 18 \text{km/t} \cdot \frac 14 \text{t} =6 km + 4,5 km = 10,5 km\approx 11 km</tex>
+<math>s=s_1+s_2=v_1 \cdot t_1 + v_2 \cdot t_2 =  \ 12 \text{km/t} \cdot \frac {30 \text{min}}{60 \text{min}} + 18 \text{km/t} \cdot \frac {15 \text{min}}{60 \text{min}}= \ 12 \text{km/t} \cdot \frac 12 \text{t}+ 18 \text{km/t} \cdot \frac 14 \text{t} = \ 6 km + 4,5 km = 10,5 km</math>
 === b) ===
+[[Fil:2010b4.png]]
 === c) ===
@@ Linje 91: / Linje 123: @@
 Funksjonsuttrykket for de første 30 minuttene er:
-<tex>y=\frac {12}{60}x= \frac 15 x=0,20x</tex> gjelder når <tex>x \in \left[0,30\right] </tex> (sagt med ord: når <tex>x</tex> er fra og med 0 til og med 30).
+<math>y=\frac {12}{60}x= \frac 15 x=0,20x</math> gjelder når <math>x \in \left[0,30\right] </math> (sagt med ord: når <math>x</math> er fra og med 0 til og med 30).
 Funksjonsuttrykket for de neste 30 minuttene er:
-<tex>y=\frac {18}{60}x= \frac 3{10} x=0,30x</tex> gjelder når <tex>x \in \left\langle30,60\right] </tex>(sagt med ord: når <tex>x</tex> er fra  30 til og med 60).
+<math>y=ax+b \ a=\frac {18}{60} = 0,3 \ 6 = 0,3 \cdot 30 +b \\ b= -3 \ y=0,3x-3 </math>
+gjelder når <math>x \in \left\langle30,60\right] </math>
 == Oppgave 5 ==
@@ Linje 109: / Linje 143: @@
    <td> </td>
    <td>'''Briller ''B'' '''</td>
-   <td>'''Ikke briller ''<tex>\bar{B}</tex>'' '''</td>
+   <td>'''Ikke briller ''<math>\bar{B}</math>'' '''</td>
    <td>'''Sum '''</td>
 </tr>
 <tr>
    <td>'''Kontaktlinser ''L'' '''</td>
-   <td> <tex>9,7 \percent</tex> </td>
+   <td> <math>9,7 \percent</math> </td>
-   <td> <tex>7,2 \percent</tex> </td>
+   <td> <math>7,2 \percent</math> </td>
-   <td> <tex>9,7 \percent +7,2 \percent=16,9 \percent</tex> </td>
+   <td> <math>9,7 \percent +7,2 \percent=16,9 \percent</math> </td>
 </tr>
 <tr>
-   <td>'''Ikke kontaktlinser ''<tex>\bar{L}</tex>'''</td>
+   <td>'''Ikke kontaktlinser ''<math>\bar{L}</math>'''</td>
-   <td> <tex>14,3 \percent</tex> </td>
+   <td> <math>14,3 \percent</math> </td>
-   <td> <tex>100 \percent - (14,3 \percent +7,2 \percent+ 9,7 \percent)=68,8 \percent</tex> </td>
+   <td> <math>100 \percent - (14,3 \percent +7,2 \percent+ 9,7 \percent)=68,8 \percent</math> </td>
-   <td> <tex>100 \percent -16,9 \percent =83,1 \percent</tex> </td>
+   <td> <math>100 \percent -16,9 \percent =83,1 \percent</math> </td>
 </tr>
 <tr>
    <td> '''Sum''' </td>
-   <td> <tex>24,0 \percent</tex> </td>
+   <td> <math>24,0 \percent</math> </td>
-   <td> <tex>100\percent -24,0 \percent =76,0 \percent</tex> </td>
+   <td> <math>100\percent -24,0 \percent =76,0 \percent</math> </td>
-   <td> <tex>100 \percent</tex> </td>
+   <td> <math>100 \percent</math> </td>
 </tr>
@@ Linje 135: / Linje 169: @@
 === b) ===
-Som vi regnet ut i tabellen i ''' a) ''' er sannsynligheten for at en person ikke bruker briller <tex>76,0 \percent</tex>.
+Som vi regnet ut i tabellen i ''' a) ''' er sannsynligheten for at en person ikke bruker briller <math>76,0 \percent</math>.
 === c) ===
@@ Linje 141: / Linje 175: @@
 Sannsynligheten for at en person som bruker briller også bruker kontaktlinser er:
-<tex>\frac{9,7\percent \cdot 100}{24 \percent}=40,4 \percent</tex>
+<math>\frac{9,7\percent \cdot 100}{24 \percent}=40,4 \percent</math>
 == Oppgave 6 ==
 === a) ===
+[[Fil:2010a6.png]]
 === b) ===
-Grafen har nullpunkt når <tex>f(x)=0,5x^2-2x=0</tex>. Løser likningen <tex>0,5x^2-2x=0</tex> for å finne nullpunktene:
+Grafen har nullpunkt når <math>f(x)=0,5x^2-2x=0</math>. Løser likningen <math>0,5x^2-2x=0</math> for å finne nullpunktene:
+ $0, 5 x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow x (0, 5 x - 2) = 0. Produktsetningen gir da at x=0 eller 0,5x-2=0. Det vil si at x = 0 e l l e r 0, 5 x - 2 = 0 \Leftrightarrow 0, 5 x = 2 \Leftrightarrow x = 4$ .
+Altså er  $f (x) = 0$  når  $x = 0$  og  $x = 4$ . Dette kan kontrolleres ved å finne verdien av f(x) når x=0, og når x=4 ved å sette inn henholdsvis 0 og 4 for x i likningen:
-<tex>0,5x^2-2x=0 \Leftrightarrow x(0,5x-2)=0. \  \text{Produktsetningen gir da at x=0 eller 0,5x-2=0. Det vil si at } x=0 \ eller \ 0,5x-2=0 \Leftrightarrow 0,5x=2 \Leftrightarrow x=4</tex>.
+<math>f(0)=0,5 \cdot 0^2 -2\cdot 0=0</math>
-Altså er <tex>f(x)=0</tex> når <tex>x=0</tex> og <tex>x=4</tex>. Dette kan kontrolleres ved å finne verdien av f(x) når x=0, og når x=4 ved å sette inn henholdsvis 0 og 4 for x i likningen:
+<math>f(4)=0,5\cdot 4^2 - 2\cdot 4=0,5\cdot 16 -8=8-8=0</math>
-<tex>f(0)=0,5 \cdot 0^2 -2\cdot 0=0</tex>
+Det stemmer, altså er nullpunktene til funksjonen(på formen <math>(f(x),x)</math>): (0,0) og (4,0).
-<tex>f(4)=0,5\cdot 4^2 - 2\cdot 4=0,5\cdot 16 -8=8-8=0</tex>
+Ekstremalpunkt.
-Det stemmer, altså er nullpunktene til funksjonen(på formen <tex>(f(x),x)</tex>): (0,0) og (4,0).
+Man observerer at dette er en parabel som vender den hule siden opp (smiler), fordi tallet foran x i andre er positivt. Ekstremalpunktet er et minimumspunkt.
+<Math> f '(x) = 0 \ x-2 = 0 \x = 2 \ f(2) = 2-4 =-2</Math>
+Minimumspunkt (2, -2)
 === c) ===
+ $f^{'} (x) = x - 2 f^{'} (1) = 1 - 2 = - 1$
+Stigningstallet til tangenten i (1, f(1)) er -1.
 === d) ===
+ $f^{'} (x) = 1 x - 2 = 1 x = 3 f (3) = 4, 5 - 6 = - 1, 5 y = a x + b - 1, 5 = 1 \cdot 3 + b b = - 4, 5 y = x - 4, 5$
 == Oppgave 7 ==
@@ Linje 172: / Linje 218: @@
 ==== a) ====
-<tex>\left[{ 2y-x^2+2x=a \ y-2x=3 }\right]</tex>
+<math>\left[{ 2y-x^2+2x=a \ y-2x=3 }\right]</math>
 ''' 1) '''
-Når a=6, er likningssettet: <tex>\left[{ 2y-x^2+2x=6 \ y-2x=3 }\right]</tex>. Dette kan f.eks løses ved å
+Når a=6, er likningssettet: <math>\left[{ 2y-x^2+2x=6 \ y-2x=3 }\right]</math>. Dette kan f.eks løses ved å
-<tex>\left[{ 2y-x^2+2x=6 \ y-2x=3 |\cdot -2}\right] \Leftrightarrow \left[{ (2y-x^2+2x=6) \ \+ \ \ (-2y+4x=-6)}\right] \Leftrightarrow 2y-2y-x^2+2x+4x=6-6 \Leftrightarrow -x^2+6x=0 x(6-x)=0 \Leftrightarrow x=0 \ eller \ x=6</tex>
+<math>\left[{ 2y-x^2+2x=6 \ y-2x=3 |\cdot -2}\right] \Leftrightarrow \left[{ (2y-x^2+2x=6) \ \+ \ \ (-2y+4x=-6)}\right] \Leftrightarrow 2y-2y-x^2+2x+4x=6-6 \Leftrightarrow -x^2+6x=0 x(6-x)=0 \Leftrightarrow x=0 \ eller \ x=6</math>
-Hvis x=0, er <tex>y=2x+3=2\cdot 0+3=3</tex> eller hvis x=6, er <tex>y=2x+3=2\cdot 6+3=15</tex>.
+Hvis x=0, er <math>y=2x+3=2\cdot 0+3=3</math> eller hvis x=6, er <math>y=2x+3=2\cdot 6+3=15</math>.
-''' 2) '''
+''' 2) '''<p></p>
+[[Fil:2010a27.png]]
 ==== b) ====
@@ Linje 191: / Linje 237: @@
 Setter inn x=1 og y=5 i den øverste likningen i likningssettet og løser for a:
-<tex>a=2y-x^2+2x=2\cdot 5-1^2+2\cdot 1=10-1+2=11</tex>. Altså må a være lik 11 for at x=1 og y=5 skal være en løsning til likningen.
+<math>a=2y-x^2+2x=2\cdot 5-1^2+2\cdot 1=10-1+2=11</math>. Altså må a være lik 11 for at x=1 og y=5 skal være en løsning til likningen.
 ==== c) ====
+ $2 y - x^{2} + 2 x = a \Rightarrow y = 0, 5 x^{2} - x + \frac{a}{2} y - 2 x = 3 \Rightarrow y = 2 x + 3 Setter funksjonene lik hverandre 0, 5 x^{2} - x + \frac{a}{2} = 2 x + 3 0, 5 x^{2} - 3 x + (\frac{a}{2} - 3) = 0$
+Dersom man får null under rottegnet i abc formelen har man en løsning. Dersom man får et negativt tall under rottegnet har man ingen løsning. To løsninger får man når uttrykket under rottegnet er positivt.<p></p>
+ $b^{2} - 4 a c = 0 9 - 4 \cdot 0, 5 (\frac{a}{2} - 3) = 0 9 - a + 6 = 0 a = 15$
+<p></p>Man observerer at når a er større enn 15 er uttrykket negativt og likningsettet har ingen løsning.<p></p> Når a = 15 har det en løsning. <p></p>
+Når a er mindre enn 15 har settet to løsninger.
 === Alternativ II ===
 ==== a) ====
+Vi deler opp arealet i to. Huset består av et kvadrat med areal  $a \cdot a = a^{2}$ <p></p>
+og et rektangel med areal  $3 a (10 - a) = 30 a - 3 a^{2}$  <p></p>
+Det totale arealet blir da:  $a^{2} + (30 a - 3 a^{2}) = 30 a - 2 a^{2}$
+<p></p>
+<br>
+ $a = 5 \Rightarrow 30 \cdot 5 - 2 \cdot 5^{2} = 100$  kvadratmeter
 ==== b) ====
+ $F (a) = 30 a - 2 a^{2} F (a) = 112 - 2 a^{2} + 30 a - 112 = 0 a = 7 \lor a = 8$
 ==== c) ====
+ $F (a) = 30 a - 2 a^{2} F^{'} (a) = 30 - 4 a F^{'} (a) = 0 30 - 4 a = 0 a = 7, 5 F (7, 5) = 112, 5$
+<p></p>
+Når a = 7,5m er huset 112,5 kvadratmeter
 ==== d) ====
+ $- 2 a^{2} + 30 a = 72 a = 3 \lor a = 12$
+<p></p>Huset er større enn 72 kvadrat meter når a er større enn 3m og mindre enn 10m

1T 2010 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner