Siste sideversjon per 2. nov. 2013 kl. 18:37

Ekstern løsning

Del 1

Oppgave 1

a)

$f (x) = x^{2} \sin (x) \Rightarrow f^{'} (x) = (x^{2})^{'} \sin (x) + x^{2} (\sin (x))^{'} = 2 x \sin (x) + x^{2} \cos (x)$

b)

Radianer er en måte å måle vinkler på der en rett linje tilsvarer $π$ radianer. Sammenhengen mellom grader og radianer er gitt ved at $w = \frac{v}{180} π$ der $v$ er grader og $w$ radianer.

c)

Vi har multipliserer med integrerende faktor $e^{\int 2 d x} = e^{2 x}$ og får at $y^{'} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} = 3 x e^{2 x}$ . Omskrivning av venstre side gir at $(y e^{2 x})^{'} = 3 x e^{2 x}$ . Integrasjon gir videre at $y e^{2 x} = \int 3 x e^{2 x} d x = [\frac{3}{2} x e^{2 x}] - \int \frac{3}{2} e^{2 x} d x = \frac{3}{2} x e^{2 x} - \frac{3}{4} e^{2 x} + C$ . Multiplikasjon med $e^{- 2 x}$ gir til slutt at $y = \frac{3}{2} x - \frac{3}{4} + C e^{- 2 x}$ . Startbetingelsen $y (0) = 3$ gir at $y (0) = 3 = - \frac{3}{4} + C$ , så $C = 3 + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ , og $y (x) = \frac{3}{2} x - \frac{3}{4} + \frac{15}{4} e^{- 2 x}$

d)

La $f (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$

1) $f (1) = 1^{3} - 1^{2} - 4 + 4 = 0$ , så $(x - 1)$ er en faktor i $f (x)$ . Polynomdivisjon gir at $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4 : x - 1 = x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$ . Så $f (x) = (x - 1) (x - 2) (x + 2)$

2) Delbrøksoppspaltning gir at $\frac{x^{2} - 2 x + 4}{(x - 1) (x - 2) (x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 2}$ . Multipliserer vi med $(x - 1) (x - 2) (x + 2)$ får vi at $x^{2} - 2 x + 4 = A (x - 2) (x + 2) + B (x - 1) (x + 2) + C (x - 1) (x - 2) = (A + B + C) x^{2} + (B - 3 C) x - 4 A - 2 B + 2 C$ . Sammenligning av koeffisientene gir at $A + B + C = 1$ , $B - 3 C = - 2$ og $- 2 A - B + C = 2$ med løsning $A = - 1$ , $B = C = 1$ . Altså er $\frac{x^{2} - 2 x + 4}{(x - 1) (x - 2) (x + 2)} = - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}$ .

3) $\int - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} d x = - \ln (| x - 1 |) + \ln (| x - 2 |) + \ln (| x + 2 |) + C$

e)

Leddene i en geometrisk rekke er på formen $a k^{n}$ . Forholdet mellom to påfølgende ledd er dermed $\frac{a k^{n + 1}}{a k^{n}} = k$ , så vi må ha at $k = \frac{2 x}{x - 1} = \frac{4 x + 8}{2 x}$ . Altså er $4 x^{2} = (4 x + 8) (x - 1) = 4 x^{2} - 4 x + 8 x - 8$ , så $4 x = 8$ . Vi må derfor ha at $x = 2$ , og leddene blir $a_{1} = x - 1 = 2 - 1 = 1$ , $a_{2} = 2 x = 2 \cdot 2 = 4$ og $a_{3} = 4 x + 8 = 4 \cdot 2 + 8 = 16$ . Altså er $a_{n} = 4^{n - 1} = \frac{1}{4} 4^{n}$ .

f)

Induksjonssteg 1: $s_{1} = \frac{a_{1} (k^{1} - 1)}{k - 1} = a_{1}$ , så formelen er riktig for $n = 1$ .

Induksjonssteg 2: Anta at formelen er riktig for $n = m$ . Da er $s_{m} = \frac{a_{1} (k^{m} - 1)}{k - 1}$ , og $s_{m + 1} = s_{m} + a_{m + 1} = \frac{a_{1} (k^{m} - 1)}{k - 1} + a_{1} k^{m} = \frac{a_{1} (k^{m} - 1 + k^{m} (k - 1))}{k - 1} = \frac{a_{1} (k^{m + 1} - 1)}{k - 1}$ , så formelen er riktig for $n = m + 1$ . Det følger at formelen er riktig for alle naturlige tall.

Oppgave 2

a)

$\vec{A B} = [2, 1, 2]$ og $\vec{A C} = [1, 6, 4]$ , så $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 + 6 + 8 = 16$ .

b)

$\vec{A B} \times \vec{A C} = [- 8, - 6, 11]$

c)

La $P = (x, y, z)$ være et punkt i planet $α$ , slik at vektoren $\vec{A P} = [x - 1, y - 1, z - 1]$ ligger i planet. $\vec{A B} \times \vec{A C}$ står vinkelrett på planet, så vi må ha at $(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A P} = [- 8, - 6, 11] \cdot [x - 1, y - 1, z - 1] = - 8 x + 8 - 6 y + 6 + 11 z - 11 = 0$ . Ligningen for $α$ blir derfor $8 x + 6 y - 11 z = 3$ . Punktet $(x, y, z) = (2, 2, 3)$ tilfredsstiller ikke ligningen, og ligger derfor ikke i planet.

d)

En parameterfremstilling for en linje gjennom $D$ , parallell med $\vec{A B} \times \vec{A C}$ er $\vec{r} (t) = [2, 2, 3] + t [- 8, - 6, 11] = [2 - 8 t, 2 - 6 t, 3 + 11 t]$ . $S$ er dermed bestemt ved at $[8, 6, - 11] \cdot [2 - 8 t, 2 - 6 t, 3 + 11 t] = 16 - 64 t + 12 - 36 t - 33 - 121 t = - 221 t - 5 = 3$ , så $t = - \frac{8}{221}$ .

Del 2

Oppgave 3

a)

Arealet av trekanten kan skrives på to måter:

$\frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h}{2}$ dvs

$a \cdot b = c \cdot h$

Pytagoras gir

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ der $c = \frac{a b}{h}$ (fra linjene over)

Det gir:

$a^{2} + b^{2} = (\frac{a b}{h})^{2}$

$a^{2} + b^{2} = \frac{a^{2} b^{2}}{h^{2}}$

$\frac{a^{2}}{a^{2} b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2} b^{2}} = \frac{1}{h^{2}}$

$\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{h^{2}}$ Hvilket skulle vises.

b)

$\vec{A B} \times \vec{A C} = [b c, a c, a b]$

Arealet av trekanten blir da

$\frac{1}{2} \sqrt{b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} b^{2}}$

c)

$F_{△ A B C}^{2} = F_{△ O A C}^{2} + F_{△ O B C}^{2} + F_{△ O A B}^{2}$

Fra b har man at

$F_{△ A B C}^{2} = \frac{1}{4} (b^{2} c^{2} + a^{2} C^{2} + a^{2} b^{2})$

Man finner så arealet av de tre andre trekantene ved å bruke vektorproduktet, og får:

$F_{△ O A C}^{2} = \frac{1}{4} (a^{2} C^{2})$

$F_{△ O B C}^{2} = \frac{1}{4} (b^{2} c^{2})$

$F_{△ A B C}^{2} = \frac{1}{4} (a^{2} b^{2})$

Man ser da et arealsetningen er riktig.

d)

Volumet av figuren OABC kan skrives:

$\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot c \cdot \frac{1}{3} = F_{△ A B C} \cdot h \cdot \frac{1}{3}$

som gir:

$F_{△ A B C} = \frac{a \cdot b \cdot c}{2 h}$

e)

Man har:

$F_{△ A B C}^{2} = \frac{1}{4} (b^{2} c^{2} + a^{2} C^{2} + a^{2} b^{2})$ og $F_{△ A B C} = \frac{a \cdot b \cdot c}{2 h}$

Kombinert gir det

$(\frac{a \cdot b \cdot c}{2 h})^{2} = \frac{1}{4} (b^{2} c^{2} + a^{2} C^{2} + a^{2} b^{2})$

$\frac{a^{2} \cdot b^{2} \cdot c^{2}}{4 h^{2}} = \frac{1}{4} (b^{2} c^{2} + a^{2} C^{2} + a^{2} b^{2})$

$\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$

Oppgave 4

Alternativ I

a)

Avstanden langs x-aksen mellom påfølgende topp- og bunnpunkt er konstant, altså er det toppunkt i $x = 5$ . Funksjonen har toppunkt i $(1, 6)$ og bunnpunkt i $(3, - 1)$ og $(7, - 1)$ . La $f (x) = a \cos (c x - φ) + d$ . Vi kan anta at $a > 0$ (Hvis $a < 0$ kan vi skrive $a \cos (θ) = - a \cos (π - θ)$ ): I toppunktet er $\cos = 1$ og i bunnpunktet $\cos = - 1$ , så vi må ha at $6 = a + d$ og $- 1 = - a + d$ . Det følger at $a = \frac{7}{2}$ og $d = \frac{5}{2}$ . Vi må også ha at $\cos (c - φ) = 1$ og $\cos (3 c - φ) = - 1$ , så $c - φ = 0$ og $3 c - φ = π$ , så $2 c = π$ og $2 φ = π$ . Vi får altså at $f (x) = \frac{7}{2} \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2}) + \frac{5}{2} = \frac{7}{2} \sin (\frac{π}{2} x) + \frac{5}{2}$

b)

Løser vi ligningen <math>f(x)=0</math> blir $x = 2 n, n \in {1, 2, 3, 4, 5}$ . $f^{'} (x)$ har bunnpunkt i $x = 2$ , $x = 6$ og $x = 10$ , og der avtar $f (x)$ raskest.

c)

Vi løser $\frac{7}{2} \sin (\frac{π}{2} x) + \frac{5}{2} = 0$ , og får løsningene $x = \frac{2 (2 π n - \arcsin (\frac{5}{7}))}{π}$ og $x = \frac{2 (2 π n + π + \arcsin (\frac{5}{7}))}{π}$ for $n \in Z$ . I intervallet $⟨ 0, 12 ⟩$ er nullpunktene tilnærmet $2.51$ , $3.49$ , $6.51$ , $7.49$ , $10.51$ , og $11.49$

d)

Vi må først finne skjæringspunktene mellom $f (x)$ (rød) og linja(blå) $y = 5$ . Altså må vi løse ligningen $f (x) = \frac{7}{2} \sin (\frac{π}{2} x) + \frac{5}{2} = 5$ . De to første løsningene er tilnærmet $x = 0.51$ og $x = 1.49$ . Det samlede arealet av områdene avgrenset av kurvene, over $y = 5$ , blir dermed $3 \int_{0.51}^{1.49} \frac{7}{2} \sin (\frac{π}{2} x) + \frac{5}{2} - 5 d x \approx 1.95$ .

Alternativ II

a)

Volumet $V = \int_{0}^{9} π f (x)^{2} d x = π \int_{0}^{9} x d x = \frac{π}{2} [x^{2}]_{0}^{9} = \frac{81 π}{2}$

b)

Radius til omdreiningslegemet er $| f (x) - k | = | x^{\frac{1}{2}} - k |$ . Volumet blir følgelig $V (k) = \int_{0}^{9} π (x^{\frac{1}{2}} - k)^{2} d x$

c)

Vi har at $(x^{\frac{1}{2}} - k)^{2} = x - 2 k x^{\frac{1}{2}} + k^{2}$ , så $V (k) = \int_{0}^{9} π (x^{\frac{1}{2}} - k)^{2} d x = π \int_{0}^{9} x - 2 k x^{\frac{1}{2}} + k^{2} d x = π [\frac{1}{2} x^{2} - \frac{4 k}{3} x^{\frac{3}{2}} + k^{2} x]_{0}^{9} = 9 π (\frac{9}{2} - 4 k + k^{2})$

d)

Vi nullstiller den deriverte $V^{'} (k) = 9 π (2 k - 4) = 0 \Rightarrow k = 2$ . <math>V(k)</math> er positiv, så $V (k)$ har et bunnpunkt i $k = 2$ .

Oppgave 5

a)

Siden ballen slippes med null starthastighet er $v (0) = 0$ . Integrerende faktor er $e^{\int \frac{1}{4} d t} = e^{\frac{1}{4} t}$ . Vi multipliserer ligningen med integrerende faktor, omskriver venstresida og får $(e^{\frac{1}{4} t} v)^{'} = 10 e^{\frac{1}{4} t}$ . Integrasjon gir at $e^{\frac{1}{4} t} v = \int 10 e^{\frac{1}{4} t} d t = 40 e^{\frac{1}{4} t} + C$ , så $v (t) = 40 + C e^{- \frac{1}{4} t}$ . Startbetingelsen gir at $C = - 40$ , så løsningen på startverdiproblemet blir $v (t) = 40 - 40 e^{- \frac{1}{4} t}$

b)

$s^{'} (t) = v (t) = 40 - 40 e^{- \frac{1}{4} t}$ . Integrasjon gir at $s (t) = \int 40 - 40 e^{- \frac{1}{4} t} d t = 40 t + 160 e^{- \frac{1}{4} t} + C$ . Startbetingelsen $s (0) = 0$ gir at $C = - 160$ , så løsningen blir $s (t) = 40 t + 160 e^{- \frac{1}{4} t} - 160$

c)

Vi må løse ligningen $30 = s (t) = 40 t + 160 e^{- \frac{1}{4} t} - 160$ grafisk. Løsningen er $t \approx 2.73$ . Farten er da $v (2.73) \approx 19.8 \frac{m}{s}$ .

d)

Hastigheten er gitt ved $v (t) = 40 + C e^{- \frac{1}{4} t}$ . Med startbetingelsen $v (0) = v_{0}$ , blir $C = v_{0} - 40$ , så $v (t) = 40 + (v_{0} - 40) e^{- \frac{1}{4} t}$ . Vi får videre at $s (t) = \int v (t) d t = \int 40 + (v_{0} - 40) e^{- \frac{1}{4} t} d t = 40 t - 4 (v_{0} - 40) e^{- \frac{1}{4} t} + D$ . Startbetingelsen $s (0) = 0$ gir at $D = 4 v_{0} - 160$ , så $s (t) = 40 t - 4 (v_{0} - 40) e^{- \frac{1}{4} t} + 4 v_{0} - 160$ . Vi må nå løse ligningen $s (2) = 30$ : $30 = 80 - 4 (v_{0} - 40) e^{- \frac{1}{2}} + 4 v_{0} - 160 \Rightarrow v_{0} \approx 8.23$ . Starthastigheten må være omtrent $8.23 \frac{m}{s}$ for at ballen skal bruke $2$ sekunder på å falle $30$ meter.

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
+== Ekstern løsning ==
+[http://ndla.no/nb/node/122085?fag=98361 Løsning fra NDLA]
 = Del 1 =
@@ Linje 5: / Linje 8: @@
 === a) ===
-<tex>f(x)=x^2\sin(x)\Rightarrow f'(x)=(x^2)'\sin(x)+x^2(\sin(x))'=2x\sin(x)+x^2\cos(x)</tex>
+<math>f(x)=x^2\sin(x)\Rightarrow f'(x)=(x^2)'\sin(x)+x^2(\sin(x))'=2x\sin(x)+x^2\cos(x)</math>
 === b) ===
-Radianer er en måte å måle vinkler på der en rett linje tilsvarer <tex>\pi</tex> radianer. Sammenhengen mellom grader og radianer er gitt ved at <tex>w=\frac{v}{180}\pi</tex> der <tex>v</tex> er grader og <tex>w</tex> radianer.
+Radianer er en måte å måle vinkler på der en rett linje tilsvarer <math>\pi</math> radianer. Sammenhengen mellom grader og radianer er gitt ved at <math>w=\frac{v}{180}\pi</math> der <math>v</math> er grader og <math>w</math> radianer.
 === c) ===
-Vi har multipliserer med integrerende faktor <tex>e^{\int 2\,dx} \, =e^{2x}</tex> og får at <tex>y'e^{2x}+2ye^{2x}=3xe^{2x}
+Vi har multipliserer med integrerende faktor <math>e^{\int 2\,dx} \, =e^{2x}</math> og får at <math>y'e^{2x}+2ye^{2x}=3xe^{2x}
-</tex>. Omskrivning av venstre side gir at <tex>(ye^{2x})'=3xe^{2x}</tex>. Integrasjon gir videre at <tex>ye^{2x}=\int 3xe^{2x}\,dx=[\frac32 xe^{2x}]-\int \frac32 e^{2x}\,dx=\frac32 xe^{2x}-\frac{3}{4}e^{2x}+C</tex>. Multiplikasjon med <tex>e^{-2x}</tex> gir til slutt at <tex>y=\frac32 x-\frac{3}{4}+Ce^{-2x}</tex>. Startbetingelsen <tex>y(0)=3</tex> gir at <tex>y(0)=3=-\frac34+C</tex>, så <tex>C=3+\frac34=\frac{15}{4}</tex>, og <tex>y(x)=\frac32 x-\frac{3}{4}+\frac{15}{4}e^{-2x}</tex>
+</math>. Omskrivning av venstre side gir at <math>(ye^{2x})'=3xe^{2x}</math>. Integrasjon gir videre at <math>ye^{2x}=\int 3xe^{2x}\,dx=[\frac32 xe^{2x}]-\int \frac32 e^{2x}\,dx=\frac32 xe^{2x}-\frac{3}{4}e^{2x}+C</math>. Multiplikasjon med <math>e^{-2x}</math> gir til slutt at <math>y=\frac32 x-\frac{3}{4}+Ce^{-2x}</math>. Startbetingelsen <math>y(0)=3</math> gir at <math>y(0)=3=-\frac34+C</math>, så <math>C=3+\frac34=\frac{15}{4}</math>, og <math>y(x)=\frac32 x-\frac{3}{4}+\frac{15}{4}e^{-2x}</math>
@@ Linje 20: / Linje 23: @@
-La <tex>f(x)=x^3-x^2-4x+4</tex>
+La <math>f(x)=x^3-x^2-4x+4</math>
-'''1)''' <tex>f(1)=1^3-1^2-4+4=0</tex>, så <tex>(x-1)</tex> er en faktor i <tex>f(x)</tex>. Polynomdivisjon gir at <tex>x^3-x^2-4x+4\,:\,x-1=x^2-4=(x+2)(x-2)</tex>. Så <tex>f(x)=(x-1)(x-2)(x+2)</tex>
+'''1)''' <math>f(1)=1^3-1^2-4+4=0</math>, så <math>(x-1)</math> er en faktor i <math>f(x)</math>. Polynomdivisjon gir at <math>x^3-x^2-4x+4\,:\,x-1=x^2-4=(x+2)(x-2)</math>. Så <math>f(x)=(x-1)(x-2)(x+2)</math>
-'''2)''' Delbrøksoppspaltning gir at <tex>\frac{x^2-2x+4}{(x-1)(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2}</tex>. Multipliserer vi med <tex>(x-1)(x-2)(x+2)</tex> får vi at <tex>x^2-2x+4=A(x-2)(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x-1)(x-2)=(A+B+C)x^2+(B-3C)x-4A-2B+2C</tex>. Sammenligning av koeffisientene gir at <tex>A+B+C=1</tex>, <tex>B-3C=-2</tex> og <tex>-2A-B+C=2</tex> med løsning <tex>A=-1</tex>, <tex>B=C=1</tex>. Altså er <tex>\frac{x^2-2x+4}{(x-1)(x-2)(x+2)}=-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}</tex>.
+'''2)''' Delbrøksoppspaltning gir at <math>\frac{x^2-2x+4}{(x-1)(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2}</math>. Multipliserer vi med <math>(x-1)(x-2)(x+2)</math> får vi at <math>x^2-2x+4=A(x-2)(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x-1)(x-2)=(A+B+C)x^2+(B-3C)x-4A-2B+2C</math>. Sammenligning av koeffisientene gir at <math>A+B+C=1</math>, <math>B-3C=-2</math> og <math>-2A-B+C=2</math> med løsning <math>A=-1</math>, <math>B=C=1</math>. Altså er <math>\frac{x^2-2x+4}{(x-1)(x-2)(x+2)}=-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}</math>.
-'''3)''' <tex>\int -\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}\,dx=-\ln(|x-1|)+\ln(|x-2|)+\ln(|x+2|)+C</tex>
+'''3)''' <math>\int -\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}\,dx=-\ln(|x-1|)+\ln(|x-2|)+\ln(|x+2|)+C</math>
 === e) ===
-Leddene i en geometrisk rekke er på formen <tex>ak^n</tex>. Forholdet mellom to påfølgende ledd er dermed <tex>\frac{ak^{n+1}}{ak^n}=k</tex>, så vi må ha at <tex>k=\frac{2x}{x-1}=\frac{4x+8}{2x}</tex>. Altså er <tex>4x^2=(4x+8)(x-1)=4x^2-4x+8x-8</tex>, så <tex>4x=8</tex>. Vi må derfor ha at <tex>x=2</tex>, og leddene blir <tex>a_1=x-1=2-1=1</tex>, <tex>a_2=2x=2\cdot 2=4</tex> og <tex>a_3=4x+8=4\cdot 2+8=16</tex>. Altså er <tex>a_n=4^{n-1}=\frac14 4^n</tex>.
+Leddene i en geometrisk rekke er på formen <math>ak^n</math>. Forholdet mellom to påfølgende ledd er dermed <math>\frac{ak^{n+1}}{ak^n}=k</math>, så vi må ha at <math>k=\frac{2x}{x-1}=\frac{4x+8}{2x}</math>. Altså er <math>4x^2=(4x+8)(x-1)=4x^2-4x+8x-8</math>, så <math>4x=8</math>. Vi må derfor ha at <math>x=2</math>, og leddene blir <math>a_1=x-1=2-1=1</math>, <math>a_2=2x=2\cdot 2=4</math> og <math>a_3=4x+8=4\cdot 2+8=16</math>. Altså er <math>a_n=4^{n-1}=\frac14 4^n</math>.
 === f) ===
-'''Induksjonssteg 1:''' <tex>s_1=\frac{a_1(k^1-1)}{k-1}=a_1</tex>, så formelen er riktig for <tex>n=1</tex>.
+'''Induksjonssteg 1:''' <math>s_1=\frac{a_1(k^1-1)}{k-1}=a_1</math>, så formelen er riktig for <math>n=1</math>.
-'''Induksjonssteg 2:''' Anta at formelen er riktig for <tex>n=m</tex>. Da er <tex>s_m=\frac{a_1(k^m-1)}{k-1}</tex>, og <tex>s_{m+1}=s_m+a_{m+1}=\frac{a_1(k^m-1)}{k-1}+a_1k^{m}=\frac{a_1(k^m-1+k^m(k-1))}{k-1}=\frac{a_1(k^{m+1}-1)}{k-1}</tex>, så formelen er riktig for <tex>n=m+1</tex>. Det følger at formelen er riktig for alle naturlige tall.
+'''Induksjonssteg 2:''' Anta at formelen er riktig for <math>n=m</math>. Da er <math>s_m=\frac{a_1(k^m-1)}{k-1}</math>, og <math>s_{m+1}=s_m+a_{m+1}=\frac{a_1(k^m-1)}{k-1}+a_1k^{m}=\frac{a_1(k^m-1+k^m(k-1))}{k-1}=\frac{a_1(k^{m+1}-1)}{k-1}</math>, så formelen er riktig for <math>n=m+1</math>. Det følger at formelen er riktig for alle naturlige tall.
 == Oppgave 2 ==
@@ Linje 47: / Linje 50: @@
 ===a)===
-<tex>\vec{AB}=[2,1,2]</tex> og <tex>\vec{AC}=[1,6,4]</tex>, så <tex>\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+6+8=16</tex>.
+<math>\vec{AB}=[2,1,2]</math> og <math>\vec{AC}=[1,6,4]</math>, så <math>\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+6+8=16</math>.
 ===b)===
-<tex>\vec{AB}\times\vec{AC}=[-8,-6,11]</tex>
+<math>\vec{AB}\times\vec{AC}=[-8,-6,11]</math>
 ===c)===
-La <tex>P=(x,y,z)</tex> være et punkt i planet<tex>\alpha</tex>, slik at vektoren <tex>\vec{AP}=[x-1,y-1,z-1]</tex> ligger i planet. <tex>\vec{AB}\times\vec{AC}</tex> står vinkelrett på planet, så vi må ha at <tex>(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot \vec{AP}=[-8,-6,11]\cdot [x-1,y-1,z-1]=-8x+8-6y+6+11z-11=0</tex>. Ligningen for <tex>\alpha</tex> blir derfor <tex>8x+6y-11z=3</tex>. Punktet <tex>(x,y,z)=(2,2,3)</tex> tilfredsstiller ikke ligningen, og ligger derfor ikke i planet.
+La <math>P=(x,y,z)</math> være et punkt i planet<math>\alpha</math>, slik at vektoren <math>\vec{AP}=[x-1,y-1,z-1]</math> ligger i planet. <math>\vec{AB}\times\vec{AC}</math> står vinkelrett på planet, så vi må ha at <math>(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot \vec{AP}=[-8,-6,11]\cdot [x-1,y-1,z-1]=-8x+8-6y+6+11z-11=0</math>. Ligningen for <math>\alpha</math> blir derfor <math>8x+6y-11z=3</math>. Punktet <math>(x,y,z)=(2,2,3)</math> tilfredsstiller ikke ligningen, og ligger derfor ikke i planet.
 ===d)===
-En parameterfremstilling for en linje gjennom <tex>D</tex>, parallell med <tex>\vec{AB}\times\vec{AC}</tex> er <tex>\vec{r}(t)=[2,2,3]+t[-8,-6,11]=[2-8t,2-6t,3+11t]</tex>. <tex>S</tex> er dermed bestemt ved at <tex>[8,6,-11]\cdot [2-8t,2-6t,3+11t]=16-64t+12-36t-33-121t=-221t-5=3</tex>, så <tex>t=-\frac{8}{221}</tex>.
+En parameterfremstilling for en linje gjennom <math>D</math>, parallell med <math>\vec{AB}\times\vec{AC}</math> er <math>\vec{r}(t)=[2,2,3]+t[-8,-6,11]=[2-8t,2-6t,3+11t]</math>. <math>S</math> er dermed bestemt ved at <math>[8,6,-11]\cdot [2-8t,2-6t,3+11t]=16-64t+12-36t-33-121t=-221t-5=3</math>, så <math>t=-\frac{8}{221}</math>.
 = Del 2 =
@@ Linje 72: / Linje 75: @@
-<tex> \frac {a \cdot b} {2} = \frac {c \cdot h} {2} </tex> dvs<p></p>
+<math> \frac {a \cdot b} {2} = \frac {c \cdot h} {2} </math> dvs<p></p>
-<tex> a \cdot b = c \cdot h </tex><p></p>
+<math> a \cdot b = c \cdot h </math><p></p>
 Pytagoras gir
- <tex> a^2 + b^2 = c^2</tex> der <tex> c= \frac{ab}h </tex> (fra injene over)<p></p>
+<math> a^2 + b^2 = c^2</math> der <math> c= \frac{ab}h </math> (fra linjene over)<p></p>
 Det gir:<p></p>
-<tex> a^2 + b^2 =( \frac{ab}h)^2</tex> <p></p>
+<math> a^2 + b^2 =( \frac{ab}h)^2</math> <p></p>
-<tex> a^2 + b^2 = \frac{a^2b^2}{h^2} </tex> <p></p>
+<math> a^2 + b^2 = \frac{a^2b^2}{h^2} </math> <p></p>
-<tex>  \frac{a^2}{a^2b^2} + \frac{b^2}{a^2b^2} =\frac{1}{h^2} </tex>
+<math>  \frac{a^2}{a^2b^2} + \frac{b^2}{a^2b^2} =\frac{1}{h^2} </math>
 <p></p>
-<tex>  \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} =\frac{1}{h^2} </tex>
+<math>  \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} =\frac{1}{h^2} </math>
 Hvilket skulle vises.
 === b) ===
-<tex>  \vec{AB} \times \vec{AC} = [bc,ac, ab] </tex> <p></p> Arealet av trekanten blir da
+<math>  \vec{AB} \times \vec{AC} = [bc,ac, ab] </math> <p></p> Arealet av trekanten blir da
-<tex>  \frac12 \sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2} </tex>
+<math>  \frac12 \sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2} </math>
 === c) ===
-<tex> F_{\triangle ABC}^2 = F_{\triangle OAC}^2+F_{\triangle OBC}^2+F_{\triangle OAB}^2</tex>
+<math> F_{\triangle ABC}^2 = F_{\triangle OAC}^2+F_{\triangle OBC}^2+F_{\triangle OAB}^2</math>
 <p></p>
 Fra b har man at  <p></p>
-<tex> F_{\triangle ABC}^2 = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</tex>
+<math> F_{\triangle ABC}^2 = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</math>
 Man finner så arealet av de tre andre trekantene ved å bruke vektorproduktet, og får:<p></p>
-<tex> F_{\triangle OAC}^2 = \frac14 (a^2C^2)</tex><p></p>
+<math> F_{\triangle OAC}^2 = \frac14 (a^2C^2)</math><p></p>
-<tex> F_{\triangle OBC}^2 = \frac14 (b^2c^2)</tex><p></p>
+<math> F_{\triangle OBC}^2 = \frac14 (b^2c^2)</math><p></p>
-<tex> F_{\triangle ABC}^2 = \frac14 (a^2b^2)</tex><p></p> Man ser da et arealsetningen er riktig.
+<math> F_{\triangle ABC}^2 = \frac14 (a^2b^2)</math><p></p> Man ser da et arealsetningen er riktig.
 === d) ===
 <p></p>
-Volumet av figuren OABC kan skrives:<p></p> <tex> \frac 12 \cdot a \cdot b \cdot c \cdot \frac13 = F_{\triangle ABC} \cdot h \cdot \frac13 </tex><p></p>
+Volumet av figuren OABC kan skrives:<p></p> <math> \frac 12 \cdot a \cdot b \cdot c \cdot \frac13 = F_{\triangle ABC} \cdot h \cdot \frac13 </math><p></p>
 som gir:
-<tex> F_{\triangle ABC} = \frac{ a \cdot b \cdot c}{2h}</tex>
+<math> F_{\triangle ABC} = \frac{ a \cdot b \cdot c}{2h}</math>
@@ Linje 120: / Linje 122: @@
 Man har:
-<tex> F_{\triangle ABC}^2 = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</tex>
+<math> F_{\triangle ABC}^2 = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</math>
-og <tex> F_{\triangle ABC} = \frac{ a \cdot b \cdot c}{2h} </tex>
+og <math> F_{\triangle ABC} = \frac{ a \cdot b \cdot c}{2h} </math>
 Kombinert gir det<p></p>
-<tex> (\frac{ a \cdot b \cdot c}{2h})^2 = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</tex><p></p>
+<math> (\frac{ a \cdot b \cdot c}{2h})^2 = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</math><p></p>
-<tex> \frac{ a^2 \cdot b^2 \cdot c^2}{4h^2} = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</tex><p></p>
+<math> \frac{ a^2 \cdot b^2 \cdot c^2}{4h^2} = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</math><p></p>
-<tex> \frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} </tex>
+<math> \frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} </math>
 == Oppgave 4 ==
@@ Linje 132: / Linje 134: @@
 === Alternativ I ===
-==== Oppgave 1 ====
-===== a) =====
+==== a) ====
+Avstanden langs x-aksen mellom påfølgende topp- og bunnpunkt er konstant, altså er det toppunkt i  $x = 5$ . Funksjonen har toppunkt i  $(1, 6)$  og bunnpunkt i  $(3, - 1)$  og  $(7, - 1)$ . La  $f (x) = a \cos (c x - φ) + d$ . Vi kan anta at  $a > 0$  (Hvis  $a < 0$  kan vi skrive  $a \cos (θ) = - a \cos (π - θ)$  ): I toppunktet er  $\cos = 1$  og i bunnpunktet  $\cos = - 1$ , så vi må ha at  $6 = a + d$  og <math>-1=-a+d</math>. Det følger at  $a = \frac{7}{2}$  og  $d = \frac{5}{2}$ . Vi må også ha at  $\cos (c - φ) = 1$  og  $\cos (3 c - φ) = - 1$ , så  $c - φ = 0$  og  $3 c - φ = π$ , så  $2 c = π$  og  $2 φ = π$ . Vi får altså at <math>f(x)=\frac{7}{2}\cos(\frac{\pi}{2}x-\frac{\pi}{2})+\frac52=\frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52</math>
+==== b) ====
+Løser vi ligningen  $f^{″} (x) = 0$  blir  $x = 2 n, n \in {1, 2, 3, 4, 5}$ .  $f^{'} (x)$  har bunnpunkt i  $x = 2$ ,  $x = 6$  og  $x = 10$ , og der avtar  $f (x)$  raskest.
+==== c) ====
+Vi løser  $\frac{7}{2} \sin (\frac{π}{2} x) + \frac{5}{2} = 0$ , og får løsningene  $x = \frac{2 (2 π n - \arcsin (\frac{5}{7}))}{π}$  og  $x = \frac{2 (2 π n + π + \arcsin (\frac{5}{7}))}{π}$  for  $n \in Z$ . I intervallet  $⟨ 0, 12 ⟩$  er nullpunktene tilnærmet  $2.51$ ,  $3.49$ ,  $6.51$ ,  $7.49$ ,  $10.51$ , og  $11.49$
+==== d) ====
+[[Bilde:Screen_shot_2012-01-13_at_02.22.12.png|500px|]]
-Avstanden langs x-aksen mellom påfølgende topp- og bunnpunkt er konstant, altså er det toppunkt i <tex>x=5</tex>. Funksjonen har toppunkt i <tex>(1,6)</tex> og bunnpunkt i <tex>(3,-1)</tex> og <tex>(7,-1)</tex>. La <tex>f(x)=a\cos(cx-\varphi)+d</tex>. Vi kan anta at <tex>a>0</tex> (Hvis <tex>a<0</tex> kan vi skrive <tex>a\cos(\theta)=-a\cos(\pi-\theta)</tex> ): I toppunktet er <tex>\cos=1</tex> og i bunnpunktet <tex>\cos=-1</tex>, så vi må ha at <tex>6=a+d</tex> og <tex>-1=-a+d</tex>. Det følger at <tex>a=\frac72</tex> og <tex>d=\frac52</tex>. Vi må også ha at <tex>\cos(c-\varphi)=1</tex> og <tex>\cos(3c-\varphi)=-1</tex>, så <tex>c-\varphi=0</tex> og <tex>3c-\varphi=\pi</tex>, så <tex>2c=\pi</tex> og <tex>2\varphi=\pi</tex>. Vi får altså at <tex>f(x)=\frac{7}{2}\cos(\frac{\pi}{2}x-\frac{\pi}{2})+\frac52=\frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52</tex>
+Vi må først finne skjæringspunktene mellom <math>f(x)</math>(rød) og linja(blå) <math>y=5</math>. Altså må vi løse ligningen <math>f(x)=\frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52=5</math>. De to første løsningene er tilnærmet <math>x=0.51</math> og <math>x=1.49</math>. Det samlede arealet av områdene avgrenset av kurvene, over <math>y=5</math>, blir dermed <math>3\int_{0.51}^{1.49} \frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52-5\,dx\approx 1.95</math>.
-===== b) =====
-Løser vi ligningen <tex>f''(x)=0</tex> blir løsningene <tex>x=2n,\,n\in \{1,2,3,4,5\}</tex>. <tex>f'(x)</tex> har bunnpunkt i <tex>x=2</tex>, <tex>x=6</tex> og <tex>x=10</tex>, og der avtar <tex>f</tex> raskest.
+=== Alternativ II ===
-===== c) =====
+==== a) ====
+Volumet  $V = \int_{0}^{9} π f (x)^{2} d x = π \int_{0}^{9} x d x = \frac{π}{2} [x^{2}]_{0}^{9} = \frac{81 π}{2}$
+==== b) ====
+Radius til omdreiningslegemet er  $| f (x) - k | = | x^{\frac{1}{2}} - k |$ . Volumet blir følgelig  $V (k) = \int_{0}^{9} π (x^{\frac{1}{2}} - k)^{2} d x$
+==== c) ====
+Vi har at  $(x^{\frac{1}{2}} - k)^{2} = x - 2 k x^{\frac{1}{2}} + k^{2}$ , så  $V (k) = \int_{0}^{9} π (x^{\frac{1}{2}} - k)^{2} d x = π \int_{0}^{9} x - 2 k x^{\frac{1}{2}} + k^{2} d x = π [\frac{1}{2} x^{2} - \frac{4 k}{3} x^{\frac{3}{2}} + k^{2} x]_{0}^{9} = 9 π (\frac{9}{2} - 4 k + k^{2})$
+==== d) ====
+Vi nullstiller den deriverte  $V^{'} (k) = 9 π (2 k - 4) = 0 \Rightarrow k = 2$ .  $V^{″} (k)$  er positiv, så  $V (k)$  har et bunnpunkt i <math>k=2</math>.
 == Oppgave 5 ==
@@ Linje 148: / Linje 178: @@
 === a) ===
-Siden ballen slippes med null starthastighet er <tex>v(0)=0</tex>. Integrerende faktor er <tex>e^{\int \frac14\,dt}\,=e^{\frac14 t}</tex>. Vi multipliserer ligningen med integrerende faktor, omskriver venstresida og får <tex>(e^{\frac14 t}v)'=10e^{\frac14 t}</tex>. Integrasjon gir at <tex>e^{\frac14 t}v=\int 10e^{\frac14 t}\,dt=40e^{\frac14 t}+C</tex>, så <tex>v(t)=40+Ce^{-\frac14 t}</tex>. Startbetingelsen gir at <tex>C=-40</tex>, så løsningen på startverdiproblemet blir <tex>v(t)=40-40e^{-\frac14 t}</tex>
+Siden ballen slippes med null starthastighet er <math>v(0)=0</math>. Integrerende faktor er <math>e^{\int \frac14\,dt}\,=e^{\frac14 t}</math>. Vi multipliserer ligningen med integrerende faktor, omskriver venstresida og får <math>(e^{\frac14 t}v)'=10e^{\frac14 t}</math>. Integrasjon gir at <math>e^{\frac14 t}v=\int 10e^{\frac14 t}\,dt=40e^{\frac14 t}+C</math>, så <math>v(t)=40+Ce^{-\frac14 t}</math>. Startbetingelsen gir at <math>C=-40</math>, så løsningen på startverdiproblemet blir <math>v(t)=40-40e^{-\frac14 t}</math>
+=== b) ===
+ $s^{'} (t) = v (t) = 40 - 40 e^{- \frac{1}{4} t}$ . Integrasjon gir at  $s (t) = \int 40 - 40 e^{- \frac{1}{4} t} d t = 40 t + 160 e^{- \frac{1}{4} t} + C$ . Startbetingelsen  $s (0) = 0$  gir at  $C = - 160$ , så løsningen blir  $s (t) = 40 t + 160 e^{- \frac{1}{4} t} - 160$
+=== c) ===
+Vi må løse ligningen  $30 = s (t) = 40 t + 160 e^{- \frac{1}{4} t} - 160$  grafisk. Løsningen er  $t \approx 2.73$ . Farten er da  $v (2.73) \approx 19.8 \frac{m}{s}$ .
+=== d) ===
+Hastigheten er gitt ved  $v (t) = 40 + C e^{- \frac{1}{4} t}$ . Med startbetingelsen  $v (0) = v_{0}$ , blir  $C = v_{0} - 40$ , så
+ $v (t) = 40 + (v_{0} - 40) e^{- \frac{1}{4} t}$ . Vi får videre at  $s (t) = \int v (t) d t = \int 40 + (v_{0} - 40) e^{- \frac{1}{4} t} d t = 40 t - 4 (v_{0} - 40) e^{- \frac{1}{4} t} + D$ . Startbetingelsen  $s (0) = 0$  gir at  $D = 4 v_{0} - 160$ , så  $s (t) = 40 t - 4 (v_{0} - 40) e^{- \frac{1}{4} t} + 4 v_{0} - 160$ . Vi må nå løse ligningen  $s (2) = 30$ :  $30 = 80 - 4 (v_{0} - 40) e^{- \frac{1}{2}} + 4 v_{0} - 160 \Rightarrow v_{0} \approx 8.23$ . Starthastigheten må være omtrent  $8.23 \frac{m}{s}$  for at ballen skal bruke  $2$  sekunder på å falle  $30$  meter.

R2 2009 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner