R1 2012 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

← Forrige endring

Siste sideversjon per 19. okt. 2014 kl. 17:08

DEL EN

Oppgave 1:

a)

1)

$f (x) = 5 x^{3} + x - 4 f^{'} (x) = 3 \cdot 5 x^{2} + 1 f^{'} (x) = 15 x^{2} + 1$

2)

$g (x) = 5 e^{3 x} u = 3 x \land u^{'} = 3 g^{'} (x) = 5 e^{u} \cdot u^{'} g^{'} (x) = 15 e^{3 x}$

b)

$2 \ln (\frac{a^{2}}{b}) + \ln (a \cdot b) - 3 \ln a = 2 \ln a^{2} - 2 \ln b + \ln a + \ln b - 3 \ln a = 4 \ln a - 2 \ln b + \ln a + \ln b - 3 \ln a = 2 \ln a - \ln b$

c)

$f (x) = x^{3} - 3 x$

1)

Nullpunkter:

$x^{3} - 3 x = 0 x (x^{2} - 3) = 0 x (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) = 0 x = - \sqrt{3} \lor x = 0 \lor x = \sqrt{3}$

2)

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 f^{'} (x) = 0 3 (x^{2} - 1) = 0 x = - 1 \lor x = 1 f (- 1) = 2 \lor f (1) = - 2$

Toppunkt (-1,2)

Bunnpunkt (1,-2)

3)

d)

$P (x) = x^{3} - 3 x^{2} - x + 3 P (3) = 27 - 27 - 3 + 3 = 0 P (x) : (x - 3) (x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) : (x - 3) = x^{2} - 1 - (x^{3} - 3 x^{2}) - (- x + 3) 0$

Dette gir følgende løsninger:

x = - 1 eller x = 1 eller x = 3.

e)

$\vec{r} (t) = [3, 0 t, - 4, 9 t^{2}] \vec{v} (t) = {\vec{r}}^{'} (t) = [3, 0, - 9, 8 t] \vec{a} (t) = {\vec{v}}^{'} (t) = {\vec{r}}^{''} (t) = [0, - 9, 8]$

Oppgave 2:

a)

y = ax + b

a er linjens stigningstall. Dersom man befinner seg et sted på linjen og går en enhetsvektor i x rettning, må man gå a enhetsvektorer i y rettning for å treffe linjen igjen. Rettningsvektor for linjen blir derfor [1,a].

b)

Skalarprodukt:

$[1, a_{1}] \cdot [1, a_{2}] = 0 1 + a_{1} \cdot a_{2} = 0 a_{1} \cdot a_{2} = - 1$

c)

Resultatet i b gir den nye linjen stigningstall minus en halv. b, der linjen skjærer y aksen er fem. Man får da:

$y = - \frac{1}{2} x + 5$

d)

Oppgave 3:

a)

$f (x) = \frac{1}{x} f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (a) = - \frac{1}{a^{2}} R e t t l i n j e : y = a x + b y = - \frac{1}{a^{2}} x + b$

Finner b ved å bruke punktet (a, f(a)):

$y = - \frac{1}{a^{2}} x + b \frac{1}{a} = - \frac{1}{a^{2}} a + b b = \frac{2}{a}$

Som gir likningen

$y = - \frac{1}{a^{2}} x + \frac{2}{a}$

b)

$y = - \frac{1}{a^{2}} x + \frac{2}{a}$

A:

$y = 0 0 = - \frac{1}{a^{2}} x + \frac{2}{a} \frac{x}{a^{2}} = \frac{2}{a} x = 2 a$

Koordinater A: (2a,0)

B:

I B er x = 0

$y = \frac{2}{a}$

Koordinater B: $(0, \frac{2}{a})$

c)

Arealet av trekanten avgrenset av tangenten og aksene er:

$A = \frac{2 a \cdot \frac{2}{a}}{2} = 2$

Man observerer at arealet er uavhengig av x, eller a om man vil.

DEL TO

Oppgave 4:

a)

Skalarprodukt: $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = | \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} | \cdot c o s ∠ B A C [9, 5] \cdot [5, 6] = \sqrt{9^{2} + 5^{2}} \cdot \sqrt{5^{2} + 6^{2}} \cdot c o s ∠ B A C 45 + 30 = \sqrt{106} \cdot \sqrt{61} c o s ∠ B A C ∠ B A C = c o s^{- 1} (\frac{75}{\sqrt{6466}}) ∠ B A C = 21, 1^{\circ}$

b)

Firkanten ABCD er et parallellogram dersom $\vec{A B} = \vec{D C} .$ D har koordinatene (x,y). Vi får

$[9, 5] = [2 - x, 4 - y] 9 = 2 - x \land 5 = 4 - y x = - 7 \land y = - 1$

Oppgave 5:

$\vec{A B} = [2, - 2]$

Lengde av radius:

$r = \frac{1}{2} | \vec{A B} | = \frac{1}{2} \sqrt{8} = \sqrt{2}$

Sentrum S, av sirkel: $\vec{O S} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{A B} = [2, 4] + \frac{1}{2} [2, - 2] = [3, 3]$

Sentrum er i punktet (3,3). Et vilkårlig punkt på sirkelperiferien er (x,y). Vi får:

$(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = (\sqrt{2})^{2} (x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 2$

Oppgave 6:

a)

$\vec{E F} = [5, - 5]$

Bruker [1, -1] som rettningsvektor. Parameterfremmstilling:

$l : [\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 4 - t \end{matrix}]$

b)

Skjæring med x- akse: y = 0 gir t = 4 som gir x = 6. Skjæring i (6,0)

Skjæring med y- akse: x = 0 gir t = -2 som gir y = 6. skjæring i (0, 6)

c)

$[2 + t - 6, 4 - t - 3] \cdot [1, - 1] = 0 [t - 4, 1 - t] \cdot [1, - 1] = 0 t - 4 - 1 + t = 0 t = \frac{5}{2} x = \frac{9}{2} \land y = \frac{3}{2}$

Avstand mello G og l:

$\sqrt{(\frac{12}{2} - \frac{9}{2})^{2} + (\frac{6}{2} - \frac{3}{2})^{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Oppgave 7:

a)

$f (x) = \frac{5}{2} e^{- \frac{x}{2}} A = g (x) = \frac{f (x) \cdot x}{2} = \frac{\frac{5}{2} e^{- \frac{x}{2}} \cdot x}{2} = \frac{5}{4} x e^{- \frac{x}{2}}$

b)

$g^{'} (x) = \frac{5}{4} e^{- \frac{x}{2}} + \frac{5}{4} x e^{- \frac{x}{2}} \cdot (- \frac{1}{2}) = e^{- \frac{x}{2}} (\frac{5}{4} - \frac{5 x}{8}) g^{'} (x) = 0 x = 2$

Inspeksjon viser at g har et maksimum for x=2.

$g (2) = \frac{5 \cdot 2}{4} e^{- 1} = \frac{5}{2 e}$

c)

Når x = 1,3 er arealet på sitt største, A = 0,85.

Oppgave 8:

a)

Når en periferivinkel og en sentralvinkel i en sirkel spenner over samme sirkelbue, så er periferivinkelen halvparten så stor som sentralvinkelen. En sentralvinkel har samme gradetall som sirkelbuen den spenner over.

Vinkelen alfa er periferivinkel og spenne over samme bue som sentralvinkelen x. Av det følger:

$α = \frac{x}{2}$

b)

Periferivinkelen 180 grader minus beta, spenner over sirkelbuen DAB. Den sentralvinkel som spenner over samme bue er 360 grader minus x. Fra setningen over får man da:

$180^{\circ} - β = \frac{1}{2} (360^{\circ} - x)$

c)

$180^{\circ} - β = \frac{1}{2} (360^{\circ} - x) 360^{\circ} - 2 β = 360^{\circ} - x x = 2 β$

Fra a har man at x er lik to alfa, hvilket betyr at alfa er lik beta.

$x = 2 β \land α = \frac{x}{2} 2 α = 2 β α = β$

Oppgave 9:

a)

b)

g(x)= 2(x + 2)(x - 1)(x-3)

c)

$h (x) = 0, 5 (x + 2) (x - 2) (x - 2) = 0, 5 (x + 2) (x - 2)^{2}$

Oppgave 10:

a)

AC = OB = 3

b)

Areal av kvadrat er $A = \sqrt{\frac{9}{2}} \cdot \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{9}{2}$

Skravert areale:

$\frac{1}{4} π r^{2} - \frac{9}{2} = \frac{9}{4} π - \frac{18}{4} = \frac{9}{4} (π - 2)$

Oppgave 11:

a)

A = det regner

B = det er meldt regn

$P (A) = 0, 08 P (\overset{―}{A}) = 1 - P (A) = 0, 92$

b)

$P (B | A) = 0, 90 P (B | \overset{―}{A}) = 0, 10 P (B) = P (A) \cdot P (B | A) + P (\overset{―}{A}) \cdot P (B | \overset{―}{A}) = 0, 08 \cdot 0, 90 + 0, 92 \cdot 0, 10 = 0, 164$

c)

$P (\overset{―}{A} | B) = \frac{P (\overset{―}{A}) \cdot P (B | \overset{―}{A})}{P (B)} = \frac{0, 92 \cdot 0, 10}{0, 164} = 0, 56$

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
+{{EksLenker|1=&nbsp;
+*[http://udl.no/matematikk/eksamen-r1-h12 Noen oppgaver løst som videoer fra UDL.no]
+*[http://ndla.no/nb/node/103948?fag=57933 Løsningsforslag fra NDLA]
+*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2012V_Vurderingsskjema_R1.pdf Vurderingsskjema]
+*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2012V_Sensorveiledning_REA3022_MatematikkR1_Varen201.pdf Sensorveiledning]
+}}
 == DEL EN ==
@@ Linje 9: / Linje 15: @@
 ==== 1) ====
-<tex>f(x) = 5x^3+x-4 \ f'(x) = 3 \cdot 5x^2 + 1 \ f'(x) = 15x^2 + 1 </tex>
+<math>f(x) = 5x^3+x-4 \ f'(x) = 3 \cdot 5x^2 + 1 \ f'(x) = 15x^2 + 1 </math>
 ==== 2) ====
-<tex>g(x) = 5e^{3x} \ u = 3x \wedge u' = 3 \  g'(x) = 5e^u \cdot u' \ g'(x) = 15e^{3x}</tex>
+<math>g(x) = 5e^{3x} \ u = 3x \wedge u' = 3 \  g'(x) = 5e^u \cdot u' \ g'(x) = 15e^{3x}</math>
 === b) ===
-<tex> 2ln(\frac{a^2}{b}) + ln (a \cdot b) - 3ln a = \ 2ln a^2 - 2ln b + ln a + lnb - 3 lna = \4ln a - 2ln b + ln a + lnb - 3 lna = \ 2lna - lnb </tex>
+<math> 2\ln(\frac{a^2}{b}) + \ln (a \cdot b) - 3\ln a = \ 2\ln a^2 - 2\ln b + \ln a + \ln b - 3 \ln a = \4\ln a - 2\ln b + \ln a + \ln b - 3 \ln a = \ 2\ln a - \ln b </math>
 === c) ===
-<tex> f(x)= x^3-3x</tex>
+<math> f(x)= x^3-3x</math>
 ==== 1) ====
 Nullpunkter:<p></p>
-<tex>x^3-3x = x(x^2-3)= x(x- \sqrt 3 )(x + \sqrt 3) \x = - \sqrt3 \quad \vee \quad x = 0 \quad \vee \quad x= \sqrt3</tex>
+<math>x^3-3x = 0\ x(x^2-3)= 0\x(x- \sqrt 3 )(x + \sqrt 3) =0 \x = - \sqrt3 \quad \vee \quad x = 0 \quad \vee \quad x= \sqrt3</math>
 ==== 2) ====
-<tex>f'(x) = 3x^2-3 \f'(x) = 0 \ 3(x^2-1) = 0 \ x = -1 \quad \vee \quad x = 1 \ f(-1)= 2 \quad \vee \quad f(1) = -2</tex><p></p>
+<math>f'(x) = 3x^2-3 \f'(x) = 0 \ 3(x^2-1) = 0 \ x = -1 \quad \vee \quad x = 1 \ f(-1)= 2 \quad \vee \quad f(1) = -2</math><p></p>
 Toppunkt (-1,2)<p></p>
 Bunnpunkt (1,-2)
@@ Linje 34: / Linje 41: @@
 == d) ==
-<tex>P(x) = x^3-3x^2-x+3 \ P(3) = 27-27-3+3 =0 \ \ P(x):(x-3) \ (x^3-3x^2-x+3): (x-3) =x^2-1
+<math>P(x) = x^3-3x^2-x+3 \ P(3) = 27-27-3+3 =0 \ \ P(x):(x-3) \ (x^3-3x^2-x+3): (x-3) =x^2-1\-(x^3-3x^2)\ \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad  -(-x+3) \ \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad 0</math><p></p>
-\-(x^3-3x^2)\ \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad  -(-x+3) \ \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad 0</tex><p></p>
 Dette gir følgende løsninger:<p></p>
 x = - 1 eller x = 1 eller x = 3.
 == e) ==
-<tex>\vec r(t) = [3,0t ,-4,9t^2] \ \vec v(t) = \vec r'(t) = [3,0 , -9,8t] \ \vec a(t) = \vec v'(t) = \vec r''(t) = [0 , -9,8] </tex>
+<math>\vec r(t) = [3,0t ,-4,9t^2] \ \vec v(t) = \vec r^\prime(t) = [3,0 , -9,8t] \ \vec a(t) = \vec v^\prime(t) = \vec r^{\prime \prime}(t) = [0 , -9,8] </math>
 == Oppgave 2: ==
@@ Linje 46: / Linje 52: @@
 === a) ===
+y = ax + b
+a er linjens stigningstall. Dersom man befinner seg et sted på linjen og går en enhetsvektor i x rettning, må man gå a enhetsvektorer i y rettning for å treffe linjen igjen. Rettningsvektor for linjen blir derfor [1,a].
 === b) ===
 Skalarprodukt:<p></p>
-<tex>[1,a_1]\cdot[1,a_2] = 0 \ 1+ a_1 \cdot a_2 = 0 \ a_1 \cdot a_2 =-1</tex>
+<math>[1,a_1]\cdot[1,a_2] = 0 \ 1+ a_1 \cdot a_2 = 0 \ a_1 \cdot a_2 =-1</math>
 === c) ===
-<tex>y= - \frac 12x+5</tex>
+Resultatet i b gir den nye linjen stigningstall minus en halv. b, der linjen skjærer y aksen er fem. Man får da:
+ $y = - \frac{1}{2} x + 5$
 === d) ===
@@ Linje 60: / Linje 72: @@
 === a) ===
-<tex> f(x)= \frac1x \ f'(x) = - \frac {1}{x^2} \ f'(a) = - \frac {1}{a^2} \ Rett \quad linje: \quad y=ax+b \ y= - \frac{1}{a^2}x+ b </tex><p></p>
+<math> f(x)= \frac1x \ f'(x) = - \frac {1}{x^2} \ f'(a) = - \frac {1}{a^2} \ Rett \quad linje: \quad y=ax+b \ y= - \frac{1}{a^2}x+ b </math><p></p>
 Finner b ved å bruke punktet (a, f(a)):<p></p>
-<tex>y = - \frac{1}{a^2}x+ b \ \frac 1a = - \frac{1}{a^2}a+ b \ b= \frac 2a  </tex><p></p> Som gir likningen
+<math>y = - \frac{1}{a^2}x+ b \ \frac 1a = - \frac{1}{a^2}a+ b \ b= \frac 2a  </math><p></p> Som gir likningen
-<p></p><tex>y = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a</tex>
+<p></p><math>y = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a</math>
 === b) ===
-<p></p>   <tex>y = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a</tex>  <p></p>
+<p></p>   <math>y = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a</math>  <p></p>
-A: <p></p><tex> y=0 \ 0 = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a \ \frac{x}{a^2} = \frac 2a \ x=2a</tex>
+A: <p></p><math> y=0 \ 0 = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a \ \frac{x}{a^2} = \frac 2a \ x=2a</math>
 <p></p> Koordinater A: (2a,0)<p></p>
-B:<p></p> <tex> \frac 2a </tex><p></p>
+B:<p></p>
-Koordinater B:<tex>( \frac 2a, 0)</tex>
+I B er x = 0
+<math>y = \frac 2a </math><p></p>
+Koordinater B:<math>(0, \frac 2a)</math>
 === c) ===
 Arealet av trekanten avgrenset av tangenten og aksene er:
-<tex> A= \frac{2a \cdot \frac 2a}{2} = 2</tex><p></p>
+<math> A= \frac{2a \cdot \frac 2a}{2} = 2</math><p></p>
-Man observerer at arealet er uavhengig av x.
+Man observerer at arealet er uavhengig av x, eller a om man vil.
 == DEL TO ==
 == Oppgave 4: ==
+==a)==
+Skalarprodukt:
+$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot| \vec{AC}|  \cdot cos \angle{BAC} \
+[9,5] \cdot [5,6] = \sqrt{9^2+5^2} \cdot \sqrt{5^2 + 6^2} \cdot cos \angle{BAC} \
++30 = \sqrt{106} \cdot \sqrt{61} cos \angle{BAC}\ \angle {BAC} = cos^{-1} ( \frac{75}{\sqrt{6466}}) \ \angle BAC = 21,1^{\circ}$
+==b)==
+Firkanten ABCD er et parallellogram dersom  $\vec{A B} = \vec{D C} .$  D har koordinatene (x,y). Vi får
+ $[9, 5] = [2 - x, 4 - y] 9 = 2 - x \land 5 = 4 - y x = - 7 \land y = - 1$
 == Oppgave 5: ==
+ $\vec{A B} = [2, - 2]$ <p></p>
+Lengde av radius:<p></p>
+ $r = \frac{1}{2} | \vec{A B} | = \frac{1}{2} \sqrt{8} = \sqrt{2}$
+<p></p>
+Sentrum S, av sirkel:
+ $\vec{O S} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{A B} = [2, 4] + \frac{1}{2} [2, - 2] = [3, 3]$
+<p></p>
+Sentrum er i punktet (3,3). Et vilkårlig punkt på sirkelperiferien er (x,y). Vi får:<p></p>
+ $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = (\sqrt{2})^{2} (x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 2$
 == Oppgave 6: ==
+=== a) ===
+ $\vec{E F} = [5, - 5]$ <p></p>Bruker [1, -1] som rettningsvektor. Parameterfremmstilling:<p></p>
+$l: \begin{bmatrix}
+x=2 + t     \
+y=4 - t
+\end{bmatrix}$
+=== b) ===
+Skjæring med x- akse: y = 0 gir t = 4 som gir x = 6. Skjæring i (6,0)<p></p>
+Skjæring med y- akse: x = 0 gir t = -2 som gir y = 6. skjæring i (0, 6)
+=== c) ===
+ $[2 + t - 6, 4 - t - 3] \cdot [1, - 1] = 0 [t - 4, 1 - t] \cdot [1, - 1] = 0 t - 4 - 1 + t = 0 t = \frac{5}{2} x = \frac{9}{2} \land y = \frac{3}{2}$
+<p></p>
+Avstand mello G og l:<p></p>
+ $\sqrt{(\frac{12}{2} - \frac{9}{2})^{2} + (\frac{6}{2} - \frac{3}{2})^{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$
 == Oppgave 7: ==
+=== a) ===
+ $f (x) = \frac{5}{2} e^{- \frac{x}{2}} A = g (x) = \frac{f (x) \cdot x}{2} = \frac{\frac{5}{2} e^{- \frac{x}{2}} \cdot x}{2} = \frac{5}{4} x e^{- \frac{x}{2}}$
+=== b) ===
+ $g^{'} (x) = \frac{5}{4} e^{- \frac{x}{2}} + \frac{5}{4} x e^{- \frac{x}{2}} \cdot (- \frac{1}{2}) = e^{- \frac{x}{2}} (\frac{5}{4} - \frac{5 x}{8}) g^{'} (x) = 0 x = 2$  <p></p>Inspeksjon viser at g har et maksimum for x=2.
+<p></p>
+ $g (2) = \frac{5 \cdot 2}{4} e^{- 1} = \frac{5}{2 e}$
+=== c) ===
+[[Fil:2012-r1-7c.png]]
+Når x = 1,3 er arealet på sitt største, A = 0,85.
 == Oppgave 8: ==
+[[Fil:2012-r1-8.png]]
+=== a) ===
+Når en periferivinkel og en sentralvinkel i en sirkel spenner over samme sirkelbue, så er periferivinkelen halvparten så stor som sentralvinkelen. En sentralvinkel har samme gradetall som sirkelbuen den spenner over.<p></p>
+Vinkelen alfa er periferivinkel og spenne over samme bue som sentralvinkelen x. Av det følger:<p></p>
+ $α = \frac{x}{2}$
+=== b) ===
+Periferivinkelen 180 grader minus beta, spenner over sirkelbuen DAB. Den sentralvinkel som spenner over samme bue er 360 grader minus x. Fra setningen over får man da:<p></p>
+ $180^{\circ} - β = \frac{1}{2} (360^{\circ} - x)$
+=== c) ===
+ $180^{\circ} - β = \frac{1}{2} (360^{\circ} - x) 360^{\circ} - 2 β = 360^{\circ} - x x = 2 β$
+<p></p> Fra a har man at x er lik to alfa, hvilket betyr at alfa er lik beta.<p></p>
+ $x = 2 β \land α = \frac{x}{2} 2 α = 2 β α = β$
 == Oppgave 9: ==
@@ Linje 97: / Linje 187: @@
 === c) ===
-<tex>h(x)= 0,5(x+2)(x-2)(x-2)= 0,5(x+2)(x-2)^2</tex>
+<math>h(x)= 0,5(x+2)(x-2)(x-2)= 0,5(x+2)(x-2)^2</math>
 == Oppgave 10: ==
@@ Linje 105: / Linje 195: @@
 === b) ===
+Areal av kvadrat er  $A = \sqrt{\frac{9}{2}} \cdot \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{9}{2}$
 Skravert areale:<p></p>
-<tex>\frac 14 \pi r^2 - \frac{3sqrt2}{2} = \frac 94 \pi - \frac{18}{4} = \frac 94(\pi-2)</tex>
+<math>\frac 14 \pi r^2 - \frac 92 = \frac 94 \pi - \frac{18}{4} = \frac 94(\pi-2)</math>
 == Oppgave 11: ==
@@ Linje 113: / Linje 205: @@
 A = det regner<p></p>
 B = det er meldt regn<p></p>
-<tex>P(A)= 0,08 \
+<math>P(A)= 0,08 \
-P( \overline{A}) = 1-P(A)= 0,92   </tex>
+P( \overline{A}) = 1-P(A)= 0,92   </math>
 === b) ===
-<tex>P(B|A)=0,90 \ P(B| \overline{A}) = 0,10  \P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P( \overline{A}) \cdot P(B| \overline{A}) = 0,08 \cdot 0,90 + 0,92 \cdot 0,10 = 0,164</tex>
+<math>P(B|A)=0,90 \ P(B| \overline{A}) = 0,10  \P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P( \overline{A}) \cdot P(B| \overline{A}) = 0,08 \cdot 0,90 + 0,92 \cdot 0,10 = 0,164</math>
 === c) ===
-<tex>P( \overline{A}|B) = \frac{P( \overline{A}) \cdot P(B| \overline{A})}{P(B)}</tex>
+<math>P( \overline{A}|B) = \frac{P( \overline{A}) \cdot P(B| \overline{A})}{P(B)} = \frac{0,92 \cdot 0,10}{0,164} = 0,56</math>