S1 eksempeloppgave 2015 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

← Forrige endring

Siste sideversjon per 28. sep. 2015 kl. 05:48

DEL EN ( NB: Nå tre timer)

Oppgave 1

a)

$f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2 f ´ (x) = 6 x - 4$

b)

$g (x) = 3 x^{3} - 3 g ´ (x) = 9 x^{2} g ´ (2) = 9 \cdot 4 = 36$

Oppgave 2

a)

$\frac{2^{- 1} \cdot a \cdot b^{- 1}}{4^{- 1} \cdot a^{- 2} \cdot b^{2}} = \frac{4 a^{3}}{2 b^{3}} = 2 (\frac{a}{b})^{3}$

b)

$l g (a^{2} b) + l g (a b^{2}) + l b (\frac{a}{b^{3}}) = 2 l g a + l g b + l g a + 2 l g b + l g a - 3 l g b = 4 l g a$

c)

$\frac{3 a^{2} - 75}{6 a + 30} = \frac{3 (a + 5) (a - 5)}{6 (a + 5)} = \frac{a - 5}{2}$

Oppgave 3

a)

$\frac{61^{2} - 39^{2}}{51^{2} - 49^{2}} = \frac{(61 + 39) (61 - 39)}{(51 + 49) (51 - 49)} = \frac{100 \cdot 22}{100 \cdot 2} = 11$

b)

$1997 \cdot 2003 - 1993 \cdot 2007 = (2000 - 3) (2000 + 3) - (2000 - 7) (2000 + 7) 2000^{2} - 3^{2} - 2000^{2} + 7^{2} - 9 + 49 = 40$

Oppgave 4

$f (x) = g (x) x^{2} - x - 2 = x + 1 x^{2} - 2 x - 3 = 0 x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} x = - 1 \lor x = 3 g (- 1) = 0 \land g (3) = 4$

Skjæringspunktene mellom f og g er (-1, 0) og (3,4)

Oppgave 5

a)

$3 x^{2} = 18 - 3 x 3 x^{2} + 3 x - 18 = 0 x^{2} + x - 6 = 0 x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} x = \frac{- 1 \pm 5}{2} x = - 3 \lor x = 2$

b)

$3 \cdot 2^{x} = 24 2^{x} = 8 2^{x} = 2^{3} x = 3$

c)

$3^{8} + 3^{8} + 3^{8} + 3^{8} + 3^{8} + 3^{8} + 3^{8} + 3^{8} + 3^{8} = 3^{x} 9 \cdot 3^{8} = 3^{x} 3^{10} = 3^{x} 10 l g 3 = x l g 3 x = 10$

Oppgave 6

a)

$y = a \cdot b^{x} b^{x} = \frac{y}{a} x l g b = l g (\frac{y}{a}) x = \frac{l g (\frac{y}{a})}{l g b}$

b

$[\begin{array}{r} y = x^{2} - 3 x - 2 \\ y + 2 = 2 x \end{array}]$

$[\begin{array}{r} y = x^{2} - 3 x - 2 \\ y = 2 x - 2 \end{array}]$

$[\begin{array}{r} 2 x - 2 = x^{2} - 3 x - 2 \\ x (x - 5) = 0 \end{array}]$

$x = 0 \lor x = 5$

$x = 0 \land y = - 2 \lor x = 5 \land y = 8$

Oppgave 7

a)

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

b)

Oppgave 8

$f (x) = x^{2} + 2 x D_{f} = \R f ´ (x) = 2 x + 2$

Vi skal bruke definisjonen på den deriverte til å vise dette:

$f ´ (x) = l i m_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} = l i m_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x)^{2} + 2 (x + Δ x) - x^{2} - 2 x}{Δ x} = l i m_{Δ x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x Δ x + (Δ x)^{2} + 2 x + 2 Δ x - x^{2} - 2 x}{Δ x} = l i m_{Δ x \to 0} \frac{Δ x (2 x + Δ x + 2)}{Δ x} = l i m_{Δ x \to 0} 2 x + Δ x + 2 = 2 x + 2$

Oppgave 9

1) Galt, fordi x= -3 og x=-2 er en løsning av likningen.

2) Riktig, fordi dersom x=-2 så er likningen riktig.

3) Feil. Likningen har også løsning x = -3, følger også av 1).

Oppgave 10

TREKANTTALL

a)

n	$a_{n}$	$a_{n}$	$s_{n}$	$s_{n}$
1	1	$(\binom{2}{2})$	1	$(\binom{3}{3})$
2	3	$(\binom{3}{2})$	4	$(\binom{4}{3})$
3	6	$(\binom{4}{2})$	10	$(\binom{5}{3})$
4	10	$(\binom{5}{2})$	20	$(\binom{6}{3})$
5	15	$(\binom{6}{2})$	35	$(\binom{7}{3})$

b)

$a_{n} = (\binom{n + 1}{2}) S_{n} = (\binom{n + 2}{3})$

Oppgave 11

Antall gb lagringsplass til minnepinne type 1: a

Antall gb lagringsplass til minnepinne type 2: b

Løser likningsettet:

$a + 3 b = 100$

$2 a + 4 b = 144$

$2 (a + 2 b) = 2 \cdot 72$

$(a + 3 b) - (a + 2 b) = 100 - 72$

$b = 28$

$a = 100 - 3 b = 100 - 3 \cdot 28 = 100 - 84 = 16$

Minnepinne type 1 har en lagringsplass på 16 Gb.

Minnepinne type 2 har en lagringsplass på 28 Gb.

Oppgave 12

Oppgave 13

DEL TO (NB: Nå kun to timer)

Oppgave 1

a)

Volumet av det rette prismet er 200. Man får da:

$a b c = 200$

for å finne lengden av d må man først finne lenden av diagonalen i ab planet. Man bruker Pytagoras to ganger og får da

$a^{2} + b^{2} + c^{2} = 141$

To og to sider har samme areal, summen av de tre forskjellige sidene blir halvparten av prismes overflate:

$a b + b c + a c = 110$

b)

Man observere at a, b og c får alle kombinasjoner av lengdene 4, 5 og 10.

Oppgave 2

a)

b)

Se figuren i a.

c)

Overskuddet blir størst ved 313 brød. Det er da på 2268 kroner.

Oppgave 3

a)

Sannsynligheten er den samme i alle delforsøk.

To alternativer, rett eller ikke rett.

Delforsøkene er uavhengige av hverandre.

b)

Det er 17,7% sannsynlig at man får akkurat fem rette svar.

c)

Det er ca 37% sannsynlig at man får minst 5 rette svar.

Oppgave 4

a)

x er tonn grus, og y er tonn pukk.

Han kan maksimalt importere 900 tonn grus, derfor

$0 \leq x \leq 900$

Han kan maksimalt importere 1000 tonn pukk, derfor

$0 \leq x \leq 1000$

Han kan bare importere 1000 kubikkmeter totalt, derfor:

$\frac{x}{1, 6} + \frac{y}{1, 36} \leq 1000 \frac{1, 6 \cdot 1, 36 \cdot x}{1, 6} + \frac{1, 6 \cdot 1, 36 \cdot y}{1, 36} \leq 1000 \cdot 1, 6 \cdot 1, 36 1, 36 x + 1, 60 y \leq 2176$

b)

$F (x, y) = 74 x + 106 y$

Utsalgsprisen for pukk er 106 kroner per tonn.

c)

For å få størst mulig inntekter bør han selge 423,5 tonn grus og 1000 tonn pukk. Inntekten blir da $F (423, 5, 1000) = 74 \cdot 423, 5 + 106 \cdot 1000 = 137339$ kroner.

Oppgave 5

a)

Sidene i boksens grunnflate blir a-2x. Arealet av grunnflaten blir da $(a - 2 x)^{2}$ . Multipliserer vi arealet av grunnflaten med høyden av esken, som er x får vi:

$a > 0 \land x < \frac{a}{2}$

$V (x) = (a - 2 x)^{2} \cdot x$

b)

$V (x) = (a - 2 x)^{2} \cdot x V (x) = (a^{2} - 4 a x + 4 x^{2}) \cdot x V (x) = 4 x^{3} - 4 a x^{2} + a^{2} x V^{'} (x) = 12 x^{2} - 8 a x + a^{2}$

$V^{'} (x) = 0 12 x^{2} - 8 a x + a^{2} = 0 x = \frac{8 a \pm \sqrt{64 a^{2} - 4 \cdot 12 \cdot a^{2}}}{24} x = \frac{8 a \pm \sqrt{16 a^{2}}}{24} x = \frac{8 a \pm 4 a}{24} x = \frac{a}{2} \lor x = \frac{a}{6}$

Størst volum får esken når x er en sjettedels a.

Oppgave 6

$f (x) = a x^{3} - b x - 2 f^{'} (x) = 3 a x^{2} - b 0 = 12 a - b 2 = 3 a - b$

De to siste linjene benytter informasjonen om den deriverte i x = 2 og x = 1.

$f^{'} (2) = 0 0 = 12 a - b f^{'} (1) = 2 2 = 3 a - b$

Løser likningsettet: $b = 12 a 2 = 3 a - 12 a a = - \frac{2}{9} b = - \frac{24}{9}$

Funksjonen blir da:

$f (x) = - \frac{2}{9} x^{3} + \frac{24}{9} x - 2$

@@ Linje 59: / Linje 59: @@
 ===b===
+ $[\begin{array}{r} y = x^{2} - 3 x - 2 \\ y + 2 = 2 x \end{array}]$
+ $[\begin{array}{r} y = x^{2} - 3 x - 2 \\ y = 2 x - 2 \end{array}]$
+ $[\begin{array}{r} 2 x - 2 = x^{2} - 3 x - 2 \\ x (x - 5) = 0 \end{array}]$
+ $x = 0 \lor x = 5$
+ $x = 0 \land y = - 2 \lor x = 5 \land y = 8$
 ==Oppgave 7==
 ===a)===
+ $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$
 ===b)===
+[[File:s1-eks-v2015-7b.png]]
+[[File:s1-eks-v2015-7b2.png]]
 ==Oppgave 8==
@@ Linje 72: / Linje 87: @@
 Vi skal bruke definisjonen på den deriverte til å vise dette:
-$f´(x) = lim_{\Deltax \rightarrow 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
+$f´(x) = lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \ =lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2 + 2(x+ \Delta x)-x^2-2x}{\Delta x}\ =lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^2+ 2x \Delta x + ( \Delta x)^2+2x +2 \Delta x -x^2-2x}{\Delta x}\ =lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \Delta x ( 2x+  \Delta x +2)}{\Delta x} \= lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2x+ \Delta x +2 \ = 2x+2$
 ==Oppgave 9==
+) Galt, fordi x= -3 og x=-2 er en løsning av likningen.
+) Riktig, fordi dersom x=-2 så er likningen riktig.
+) Feil. Likningen har også løsning x = -3, følger også av 1).
 ==Oppgave 10==
+TREKANTTALL
+===a)===
+{| width="auto"
+|n
+| $a_{n}$
+| $a_{n}$
+| $s_{n}$
+| $s_{n}$
+|-
+|1
+|1
+| $(\binom{2}{2})$
+|1
+| $(\binom{3}{3})$
+|-
+|2
+|3
+| $(\binom{3}{2})$
+|4
+| $(\binom{4}{3})$
+|-
+|3
+|6
+| $(\binom{4}{2})$
+|10
+| $(\binom{5}{3})$
+|-
+|4
+|10
+| $(\binom{5}{2})$
+|20
+| $(\binom{6}{3})$
+|-
+|5
+|15
+| $(\binom{6}{2})$
+|35
+| $(\binom{7}{3})$
+|}
+===b)===
+ $a_{n} = (\binom{n + 1}{2}) S_{n} = (\binom{n + 2}{3})$
 ==Oppgave 11==
+Antall gb lagringsplass til minnepinne type 1: a
+Antall gb lagringsplass til minnepinne type 2: b
+Løser likningsettet:
+ $a + 3 b = 100$
+ $2 a + 4 b = 144$
+ $2 (a + 2 b) = 2 \cdot 72$
+ $(a + 3 b) - (a + 2 b) = 100 - 72$
+ $b = 28$
+ $a = 100 - 3 b = 100 - 3 \cdot 28 = 100 - 84 = 16$
+Minnepinne type 1 har en lagringsplass på 16 Gb.
+Minnepinne type 2 har en lagringsplass på 28 Gb.
 ==Oppgave 12==
+[[File:s1-eks-v2015-12.png]]
 ==Oppgave 13==
+[[File:s1-eks-v2015-13.png]]
+==DEL TO (NB: Nå kun to timer)==
+==Oppgave 1==
+===a)===
+Volumet av det rette prismet er 200. Man får da:
+ $a b c = 200$
+for å finne lengden av d må man først finne lenden av diagonalen i ab planet. Man bruker Pytagoras to ganger og får da
+ $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 141$
+To og to sider har samme areal, summen av de tre forskjellige sidene blir halvparten av prismes overflate:
+ $a b + b c + a c = 110$
+===b)===
+[[File:s1-v2015-eks-1a2.png]]
+[[File:s1-v2015-eks-1a22.png]]
+Man observere at a, b og c får alle kombinasjoner av lengdene 4, 5 og 10.
+==Oppgave 2==
+===a)===
+[[File:s1-eksempel-2abc.png]]
+===b)===
+Se figuren i a.
+===c)===
+Overskuddet blir størst ved 313 brød. Det er da på 2268 kroner.
+==Oppgave 3==
+===a)===
+Sannsynligheten er den samme i alle delforsøk.
+To alternativer, rett eller ikke rett.
+Delforsøkene er uavhengige av hverandre.
+===b)===
+[[File:s1-eksempel-3b.png]]
+Det er 17,7% sannsynlig at man får akkurat fem rette svar.
+===c)===
+[[File: s1-eksempel-3c.png]]
+Det er ca 37% sannsynlig at man får minst 5 rette svar.
+==Oppgave 4==
+===a)===
+x er tonn grus, og y er tonn pukk.
+Han kan maksimalt importere 900 tonn grus, derfor
+ $0 \leq x \leq 900$
+Han kan maksimalt importere 1000 tonn pukk, derfor
+ $0 \leq x \leq 1000$
+Han kan bare importere 1000 kubikkmeter totalt, derfor:
+ $\frac{x}{1, 6} + \frac{y}{1, 36} \leq 1000 \frac{1, 6 \cdot 1, 36 \cdot x}{1, 6} + \frac{1, 6 \cdot 1, 36 \cdot y}{1, 36} \leq 1000 \cdot 1, 6 \cdot 1, 36 1, 36 x + 1, 60 y \leq 2176$
+===b)===
+ $F (x, y) = 74 x + 106 y$
+Utsalgsprisen for pukk er 106 kroner per tonn.
+===c)===
+[[File:s1-eksempel-4c.png]]
+For å få størst mulig inntekter bør han selge 423,5 tonn grus og 1000 tonn pukk.
+Inntekten blir da  $F (423, 5, 1000) = 74 \cdot 423, 5 + 106 \cdot 1000 = 137339$  kroner.
+==Oppgave 5==
+===a)===
+Sidene i boksens grunnflate blir a-2x. Arealet av grunnflaten blir da  $(a - 2 x)^{2}$  . Multipliserer vi arealet av grunnflaten med høyden av esken, som er x får vi:
+ $a > 0 \land x < \frac{a}{2}$
+ $V (x) = (a - 2 x)^{2} \cdot x$
+===b)===
+ $V (x) = (a - 2 x)^{2} \cdot x V (x) = (a^{2} - 4 a x + 4 x^{2}) \cdot x V (x) = 4 x^{3} - 4 a x^{2} + a^{2} x V^{'} (x) = 12 x^{2} - 8 a x + a^{2}$
+ $V^{'} (x) = 0 12 x^{2} - 8 a x + a^{2} = 0 x = \frac{8 a \pm \sqrt{64 a^{2} - 4 \cdot 12 \cdot a^{2}}}{24} x = \frac{8 a \pm \sqrt{16 a^{2}}}{24} x = \frac{8 a \pm 4 a}{24} x = \frac{a}{2} \lor x = \frac{a}{6}$
+Størst volum får esken når x er en sjettedels a.
+==Oppgave 6==
+ $f (x) = a x^{3} - b x - 2 f^{'} (x) = 3 a x^{2} - b 0 = 12 a - b 2 = 3 a - b$
+De to siste linjene benytter informasjonen om den deriverte i x = 2 og x = 1.
+ $f^{'} (2) = 0 0 = 12 a - b f^{'} (1) = 2 2 = 3 a - b$
+Løser likningsettet:
+ $b = 12 a 2 = 3 a - 12 a a = - \frac{2}{9} b = - \frac{24}{9}$
+Funksjonen blir da:
+ $f (x) = - \frac{2}{9} x^{3} + \frac{24}{9} x - 2$

S1 eksempeloppgave 2015 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Siste sideversjon per 28. sep. 2015 kl. 05:48

DEL EN ( NB: Nå tre timer)

Oppgave 1

a)

b)

Oppgave 2

a)

b)

c)

Oppgave 3

a)

b)

Oppgave 4

Oppgave 5

a)

b)

c)

Oppgave 6

a)

b

Oppgave 7

a)

b)

Oppgave 8

Oppgave 9

Oppgave 10

a)

b)

Oppgave 11

Oppgave 12

Oppgave 13

DEL TO (NB: Nå kun to timer)

Oppgave 1

a)

b)

Oppgave 2

a)

b)

c)

Oppgave 3

a)

b)

c)

Oppgave 4

a)

b)

c)

Oppgave 5

a)

b)

Oppgave 6

Innholdto top