R1 2014 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Siste sideversjon per 26. feb. 2016 kl. 19:13

Løsning fra NDLA
Diskusjon av denne oppgaven
Løsningsforslag (pdf) fra bruker joes. Send gjerne en melding hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.

Feil i løsningsforslag:
Del 1 2a: Snek seg inn en trykkfeil for det skal stå +2x og ikke -2x i andregradspolynomet.
Del 2 4b forsvant i farten: Løs likningen T(x)=16/2 som gir x=1 og x=2.

DEL EN

Oppgave 1

a)

$f (x) = 5 x^{3} - 2 x^{2} + 5 f ‘ (x) = 15 x^{2} - 4 x$

b)

$g (x) = x^{2} \cdot e^{x} g ‘ (x) = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = x e^{x} (2 + x)$

Oppgave 2

a)

Her må vi prøve oss fram. Det lønner seg å begynne med det enkleste muligheter først. Man observerer at P(1) = 0 og vet da at P er delelig på (x-1):

$x^{3} + x^{2} - 10 x + 8 : (x - 1) = x^{2} + 2 x - 8 - (x^{3} - x^{2}) 2 x^{2} - 10 x - (2 x^{2} - 2 x) - 8 x + 8$

Ved å faktorisere andregradspolynomet får man røtter for x= -4 og x =2.

P faktorisert: ( x - 1) (x - 2)(x + 4).

b)

$P (x) \leq 0 x \in<\leftarrow, - 4] \cup [1, 2]$

Oppgave 3

a)

$L = 10 \cdot l g (\frac{I}{I_{0}}) L = 10 (l g I - l g I_{0}) L = 10 (l g I - l g 10^{- 12}) L = 10 l g I + 120$

b)

$L = 10 l g I + 120 L = 10 \cdot l g 10^{- 4} + 120 L = 80$

Det er 80 db på arbeidsplassen.

c)

$L = 10 l g I + 120 100 - 10 l g I + 120 l g! = - 2 I = 10^{- 2}$

Det svarer til $10^{- 2} W / m^{2}$

Oppgave 4

a)

b)

$f ´ (x) = \frac{2 (x - 1) - (2 x - 4)}{(x - 1)^{2}} = \frac{2}{(x - 1)^{2}}$

c)

$f (2) = 0 f ´ (2) = 2 y = a x + b 0 = 2 \cdot 2 + b b = - 4 y = 2 x - 4$

Oppgave 5

a)

Stigningstallet til linjen y= ax + b er a. Dvs. hvor mye man går opp eller ned på y aksen når man går en enhet til høyre på x- aksen, for å treffe linjen igjen. Det er nettopp det v vektor gjør.

b)

Dersom linjen står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet mellom retningsvektorene lik null.

$[1, a_{1}] [1, a_{2}] = 0 1 + a_{1} \cdot a_{2} = 0 a_{1} \cdot a_{2} = - 1$

Oppgave 6

$\frac{2}{3} \cdot (\frac{3}{4})^{x^{2} - x} = \frac{3}{8} (\frac{3}{4})^{x^{2} - x} = (\frac{3}{4})^{2} x^{2} - x - 2 = 0 x = - 1 \lor x = 2$

Oppgave 7

a)

$A_{A B C D} = a^{2}$

Lengden AC = $\sqrt{2} a$

Areal stort kvadrat blir da:

$A_{A E F C} = (\sqrt{2} a)^{2} = 2 a^{2}$

Det store kvadratet har dobbelt så stort areal som det lille. Dett kan vi se lett ved geometriske betraktninger, siden ACD er lik BFC.

b)

Avsett et linjestykke AB = 10 cm. Konstruer midtnormalen til AB, CD, slik at C ligger 5 cm under AB og D ligger 5 cm over linjestykke AB. Du har nå to diagonaler, AB og CD, begge på 10 cm. Disse utspenner et kvadrat ABCD på $50 c m^{2}$

Oppgave 8

$f (x) = x^{3} - x f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1 f^{'} (x) = l i m_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x)^{3} - (x + Δ x) - (x^{3} - x)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{(x^{2} + 2 x Δ x + (Δ x)^{2}) (x + Δ x) - x - Δ x - x^{3} + x)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{x^{3} + 2 x^{2} Δ x + x (Δ x)^{2} + x^{2} Δ x + 2 x (Δ x)^{2} + (Δ x)^{3} - Δ x - x^{3}}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x (2 x^{2} + x Δ x + x^{2} + 2 x Δ x + (Δ x)^{2} - 1)}{Δ x} = 2 x^{2} + x^{2} - 1 = 3 x^{2} - 1$

DEL TO

Oppgave 1

a)

Fra Figuren ser man at etter 15 sek er den ca 0,41 millimol per liter.

Fra Figuren ser man at det tar ca 2 min og 14 sekunder, for å nå 2,0 millimol per liter.

b)

Graf tegnet i a.

Dersom t blir stor ser man at det siste leddet i funksjonsuttrykket går mot null og f går mot 2,5.

c)

Fra Figuren ser man at reaksjonshastigheten da er 0,006 millimol per liter, per sekund.

Oppgave 2

a)

Primtall er tall som kun er delelige med seg selv og en: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, og 23.

b)

Vi har 25 tall, hvorav 9 primtall. Trekkning uten tilbakelegging. Dette er en hypergeometrisk situasjon:

Sannsynligheten for å trekke ut akkurat to primtall er 37,9%.

c)

Sannsynligheten for å trekke ut 3, 4 eller 5 primtall er 23%.

Oppgave 3

a)

$\vec{A B} = [2, 4] \vec{A C} = [t + 1, t - 1] k \vec{A B} = \vec{A C} 2 k = t + 1 \land 4 k = t - 1 t = - 3$

Punktene ligger på linje dersom t = -3.

b)

Finner den eller de t verdier som gir skalarprodukt lik null:

$\vec{A C} = [t + 1, t - 1] \vec{C B} = [1 - t, 5 - t] (t + 1) (1 - t) + (t - 1) (5 - t) = 0 - 2 t^{2} + 6 t - 4 = 0 t = 1 \lor t = 2$

Oppgave 4

a)

Areal trekant AEH + GFC: $x (4 - 2 x) = 4 x - 2 x^{2}$

Areal trekant HGD + EBF: $2 x (4 - x) = 8 x - 2 x^{2}$

Areal av alle fire trekanter: $12 x - 4 x^{2}$

Areal parallellogram EFGH:

$T (x) = 16 - (12 x - 4 x^{2}) = 4 x^{2} - 12 x + 16$

b)

$T (x) = 8 4 x^{2} - 12 x + 8 = 0 x = 1 \lor x = 2$

Når x=1 eller når x=2 blir arealet av parallellogrammet halvparten av kvadratets areal.

c)

Fra Figuren ser man at arealet blir minst mulig når x = 1,5. Arealet er da 7.

d)

Skalarproduktet mellom HE vektor og HG vektor skal da være null.

$\vec{H E} \cdot \vec{H G} = 0 [x, - 4 + 2 x] [4 - x, 2 x] = 0 4 x - x^{2} - 8 x + 4 x^{2} = 0 x (3 x - 4) = 0 x = 0 \lor x = \frac{4}{3}$

Dersom x=0 er EFGH et kvadrat, identisk med ABCD. x = 4/3 gir et innskrevet rektangel.

Oppgave 5

a)

B ( 5, 2)

C ( 1, 5)

y = ax + b

Stigningstall a: $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2 - 5}{5 - 1} = - \frac{3}{4}$

$5 = - \frac{3}{4} \cdot 1 + b b = \frac{23}{4} y = - \frac{3}{4} x + \frac{23}{4}$

b)

Stigningstall:

$\frac{1}{2} a = - 1 a = - 2$

Likning:

Punkt C (1, 5)

$y = a x + b 5 = - 2 \cdot 1 + b b = 7 y = - 2 x + 7$

c)

Ser på linjene som går gjennom A og B først:

$\frac{4}{3} x + \frac{1}{3} = - \frac{1}{3} x + \frac{11}{3} 4 x + 1 = - x + 11 x = 2$

Innsatt i $y = \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}$ gir y = 3.

Setter x = 2 inn i y= -2x+7, og får y = -4+7 =3. Altså skjærer alle de tre høydene i punktet (2,3).

Oppgave 6

a)

Vinkel BAS er lik vinkel ABS. Vi kaller dem for x:

$u + 2 x = 180 2 x = 180 - u x = 90 - \frac{u}{2}$

b)

AS er radien i sirkelen og står følgelig vinkelrett på tangenten i A:

$v + 90 - \frac{u}{2} = 90 v = \frac{u}{2}$

Oppgave 7

a)

$f (x) = \frac{u}{v} u > 0, v > 0 (\ln f (x)) ´ = \frac{1}{u} \cdot u ´ - \frac{1}{v} \cdot v ´ = \frac{u ´ v - v ú}{u v}$

b)

Vi husker resultatet fra oppgave a.

$(\frac{u}{v}) ´ = (e^{\ln \frac{u}{v}}) ´ = e^{\ln \frac{u}{v}} \cdot \frac{u ´ v - v ú}{u v} = \frac{u}{v} \cdot \frac{u ´ v - v ‘ u}{u v} = \frac{u v ´ - v ‘ u}{v^{2}}$

@@ Linje 12: / Linje 12: @@
 ==Oppgave 1==
 ===a)===
+ $f (x) = 5 x^{3} - 2 x^{2} + 5 f ‘ (x) = 15 x^{2} - 4 x$
 ===b)===
+ $g (x) = x^{2} \cdot e^{x} g ‘ (x) = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = x e^{x} (2 + x)$
 ==Oppgave 2==
@@ Linje 20: / Linje 24: @@
 ===a)===
+Her må vi prøve oss fram. Det lønner seg å begynne med det enkleste muligheter først. Man observerer at P(1) = 0 og vet da at P er delelig på (x-1):
+ $x^{3} + x^{2} - 10 x + 8 : (x - 1) = x^{2} + 2 x - 8 - (x^{3} - x^{2}) 2 x^{2} - 10 x - (2 x^{2} - 2 x) - 8 x + 8$
+Ved å faktorisere andregradspolynomet får man røtter for x= -4 og x =2.
+P faktorisert: ( x - 1) (x - 2)(x + 4).
 ===b)===
+[[File:r1-h2014-12b.png]]
+ $P (x) \leq 0 x \in<\leftarrow, - 4] \cup [1, 2]$
 ==Oppgave 3==
@@ Linje 28: / Linje 44: @@
 ===a)===
+ $L = 10 \cdot l g (\frac{I}{I_{0}}) L = 10 (l g I - l g I_{0}) L = 10 (l g I - l g 10^{- 12}) L = 10 l g I + 120$
 ===b)===
+ $L = 10 l g I + 120 L = 10 \cdot l g 10^{- 4} + 120 L = 80$
+Det er 80 db på arbeidsplassen.
 ===c)===
+ $L = 10 l g I + 120 100 - 10 l g I + 120 l g! = - 2 I = 10^{- 2}$
+Det svarer til  $10^{- 2} W / m^{2}$
 ==Oppgave 4==
@@ Linje 38: / Linje 61: @@
 ===a)===
+[[File:r1-h2014-14a.png]]
 ===b)===
+ $f ´ (x) = \frac{2 (x - 1) - (2 x - 4)}{(x - 1)^{2}} = \frac{2}{(x - 1)^{2}}$
 ===c)===
+ $f (2) = 0 f ´ (2) = 2 y = a x + b 0 = 2 \cdot 2 + b b = - 4 y = 2 x - 4$
 ==Oppgave 5==
@@ Linje 49: / Linje 78: @@
 ===a)===
+Stigningstallet til linjen y= ax + b er a. Dvs. hvor mye man går opp eller ned på y aksen når man går en enhet til høyre på x- aksen, for å treffe linjen igjen. Det er nettopp det v vektor gjør.
 ===b)===
+Dersom linjen står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet mellom retningsvektorene lik null.
+ $[1, a_{1}] [1, a_{2}] = 0 1 + a_{1} \cdot a_{2} = 0 a_{1} \cdot a_{2} = - 1$
 ==Oppgave 6==
+ $\frac{2}{3} \cdot (\frac{3}{4})^{x^{2} - x} = \frac{3}{8} (\frac{3}{4})^{x^{2} - x} = (\frac{3}{4})^{2} x^{2} - x - 2 = 0 x = - 1 \lor x = 2$
 ==Oppgave 7==
@@ Linje 67: / Linje 105: @@
  $A_{A E F C} = (\sqrt{2} a)^{2} = 2 a^{2}$
-Det store kvadratet har dobbelt så stort areale som det lille. Dett kan vi se lett ved geometriske betraktninger, siden ACD er lik BFC.
+Det store kvadratet har dobbelt så stort areal som det lille. Dett kan vi se lett ved geometriske betraktninger, siden ACD er lik BFC.
 ===b)===
+Avsett et linjestykke AB = 10 cm. Konstruer midtnormalen til AB, CD, slik at C ligger 5 cm under AB og D ligger 5 cm over linjestykke AB. Du har nå to diagonaler, AB og CD, begge på 10 cm. Disse utspenner et kvadrat  ABCD på  $50 c m^{2}$
+[[File:r1-h2014-17b.png]]
 ==Oppgave 8==
@@ Linje 82: / Linje 125: @@
 ===a)===
+[[File:r1-h2014-21abc.png]]
+Fra Figuren ser man at etter 15 sek er den ca 0,41 millimol per liter.
+Fra Figuren ser man at det tar ca 2 min og 14 sekunder, for å nå 2,0 millimol per liter.
 ===b)===
+Graf tegnet i a.
+Dersom t blir stor ser man at det siste leddet i funksjonsuttrykket går mot null og f går mot 2,5.
 ===c)===
+Fra Figuren ser man at reaksjonshastigheten da er 0,006 millimol per liter, per sekund.
 ==Oppgave 2==
@@ Linje 92: / Linje 146: @@
 ===a)===
+Primtall er tall som kun er delelige med seg selv og en: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, og 23.
 ===b)===
+Vi har 25 tall, hvorav 9 primtall. Trekkning uten tilbakelegging. Dette er en hypergeometrisk situasjon:
+[[File:r1-h2014-22b.png]]
+Sannsynligheten for å trekke ut akkurat to primtall er 37,9%.
 ===c)===
+[[File:r1-h2014-22c-2.png]]
+Sannsynligheten for å trekke ut 3, 4 eller 5 primtall er 23%.
 ==Oppgave 3==
@@ Linje 103: / Linje 170: @@
 ===a)===
+ $\vec{A B} = [2, 4] \vec{A C} = [t + 1, t - 1] k \vec{A B} = \vec{A C} 2 k = t + 1 \land 4 k = t - 1 t = - 3$
+Punktene ligger på linje dersom t = -3.
 ===b)===
+Finner den eller de t verdier som gir skalarprodukt lik null:
+ $\vec{A C} = [t + 1, t - 1] \vec{C B} = [1 - t, 5 - t] (t + 1) (1 - t) + (t - 1) (5 - t) = 0 - 2 t^{2} + 6 t - 4 = 0 t = 1 \lor t = 2$
 ==Oppgave 4==
+===a)===
+Areal trekant AEH + GFC:  $x (4 - 2 x) = 4 x - 2 x^{2}$
+Areal trekant HGD + EBF:  $2 x (4 - x) = 8 x - 2 x^{2}$
+Areal av alle fire trekanter:  $12 x - 4 x^{2}$
+Areal parallellogram EFGH:
+ $T (x) = 16 - (12 x - 4 x^{2}) = 4 x^{2} - 12 x + 16$
+===b)===
+ $T (x) = 8 4 x^{2} - 12 x + 8 = 0 x = 1 \lor x = 2$
+Når x=1 eller når x=2 blir arealet av parallellogrammet halvparten av kvadratets areal.
+===c)===
+[[File:r1-h2014-24abc.png]]
+Fra Figuren ser man at arealet blir minst mulig når x = 1,5. Arealet er da 7.
+===d)===
+Skalarproduktet mellom HE vektor og HG vektor skal da være null.
+ $\vec{H E} \cdot \vec{H G} = 0 [x, - 4 + 2 x] [4 - x, 2 x] = 0 4 x - x^{2} - 8 x + 4 x^{2} = 0 x (3 x - 4) = 0 x = 0 \lor x = \frac{4}{3}$
+Dersom x=0 er EFGH et kvadrat, identisk med ABCD. x = 4/3 gir et innskrevet rektangel.
 ==Oppgave 5==
+===a)===
+B ( 5, 2)
+C ( 1, 5)
+y = ax + b
+Stigningstall a:  $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2 - 5}{5 - 1} = - \frac{3}{4}$
+ $5 = - \frac{3}{4} \cdot 1 + b b = \frac{23}{4} y = - \frac{3}{4} x + \frac{23}{4}$
+===b)===
+Stigningstall:
+ $\frac{1}{2} a = - 1 a = - 2$
+Likning:
+Punkt C (1, 5)
+ $y = a x + b 5 = - 2 \cdot 1 + b b = 7 y = - 2 x + 7$
+===c)===
+Ser på linjene som går gjennom A og B først:
+ $\frac{4}{3} x + \frac{1}{3} = - \frac{1}{3} x + \frac{11}{3} 4 x + 1 = - x + 11 x = 2$
+Innsatt  i  $y = \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}$  gir y = 3.
+Setter x = 2 inn i y= -2x+7, og får y = -4+7 =3. Altså skjærer alle de tre høydene i punktet (2,3).
 ==Oppgave 6==
+===a)===
+Vinkel BAS er lik vinkel ABS. Vi kaller dem for x:
+ $u + 2 x = 180 2 x = 180 - u x = 90 - \frac{u}{2}$
+===b)===
+AS er radien i sirkelen og står følgelig vinkelrett på tangenten i A:
+ $v + 90 - \frac{u}{2} = 90 v = \frac{u}{2}$
+==Oppgave 7==
+===a)===
+ $f (x) = \frac{u}{v} u > 0, v > 0 (\ln f (x)) ´ = \frac{1}{u} \cdot u ´ - \frac{1}{v} \cdot v ´ = \frac{u ´ v - v ú}{u v}$
+===b)===
+Vi husker resultatet fra oppgave a.
+ $(\frac{u}{v}) ´ = (e^{\ln \frac{u}{v}}) ´ = e^{\ln \frac{u}{v}} \cdot \frac{u ´ v - v ú}{u v} = \frac{u}{v} \cdot \frac{u ´ v - v ‘ u}{u v} = \frac{u v ´ - v ‘ u}{v^{2}}$