1P 2013 vår LØSNING

Del 1

Oppgave 1

Bruker overslagsregning.

$15\cdot 2kr+2,5\cdot 10kr+0,5\cdot 90kr+0,2\cdot 200kr=30kr+25kr+45kr+40kr=140kr$

Husk: på oppgaver der det står at man skal gjøre overslag vil man ikke få full uttelling dersom man allikevel regner helt nøyaktig.

Oppgave 2

210kr er 70% av originalprisen.

Går veien om 1% : $\frac{210kr}{70}=3kr$

$3kr\cdot 100=300kr$

Før prisen ble satt ned kostet varen 300 kr.

Alternativ utregning:

Vekstfaktor når noe er satt ned med 30% er $1-0,30=0,70$

$\frac{210kr}{0,70}=300kr$

Oppgave 3

I basisåret er indeksen 100.

Indeksen i dag er 110, det betyr at varen har økt i verdi med 10%

10% av 150kr er $150kr:10=15kr$

Prisen på varen har dermed økt med 15kr. $150kr+15kr=165kr$

Alternativ løsning $pri{s}_{2013}=\frac{pri{s}_{basisår}indek{s}_{2013}}{100}=\frac{150kr\cdot 110}{100}=1,5kr\cdot 110=165kr$

Oppgave 4

a)

$\mathrm{\angle }B={180}^o-\mathrm{\angle }A-\mathrm{\angle }C={180}^o-34,1^o-101,5^o=44,4^o$

$\mathrm{\angle }E={180}^o-\mathrm{\angle }D-\mathrm{\angle }F={180}^o-101,5^o-44,4^o=34,1^o$

Vi ser nå at alle vinklene i de to trekantantene er like store og har dermed vist at trekantene er formlike.

b)

Formlikhet gir:

$\frac{AC}{DE}=\frac{AB}{EF}\to AC=\frac{AB\cdot DE}{EF}=\frac{7,0\cdot 7,0}{9,8}=5,0$

$\frac{DF}{BC}=\frac{EF}{AB}\to DF=\frac{EF\cdot BC}{AB}=\frac{9,8\cdot 4,0}{7,0}=5,6$

Oppgave 5

a)

Ris: $\frac{10}{3}\cdot 1,5dl=5,0dL$

Vann: $\frac{10}{3}\cdot 3,0dl=10,0dL=1,0L$

Melk: $\frac{10}{3}\cdot 0,75dl=2,5L$

b)

Du kan lage $\frac{3}{0,75L}\cdot 5L=20$ porsjoner

Oppgave 6

a)

Halvsirkelens areal: $A_{hs}=\frac{1}{2}\cdot \pi r^2=\frac{1}{2}\pi \cdot (1,0m{)}^2=\frac{\pi }{2}c{m}^2$

Trekantens areal: $A_t=\frac{1}{2}gh=\frac{1}{2}\cdot 3,0m\cdot 1,0m=\frac{3,0}{2}c{m}^2$

Siden $\frac{\pi }{2}>\frac{3,0}{2}$ kan vi si at halvsirkelen har størst areal.

b)

Halvsirkelens omkrets: $O_{hs}=\frac{1}{2}\cdot 2\pi \cdot r+2r=\pi \cdot r+2r=(\pi +2)r\approx 5,14m$

Må finne lengdene av sidene AC og BC i trekanten først. Fordi trekanten er like beint vil AC = BC, og pytagoras gir:

$AC=BC=\sqrt{h^2+(\frac{1}{2}AB{)}^2}=\sqrt{(1,0m{)}^2+(1,5m{)}^2}=\sqrt{1,0+2,25}m=\sqrt{3,25}m$=

Trekantens omkrets: $O_t=AB+BC+AC=3,0m+\sqrt{3,25}m+\sqrt{3,25}m=(3+2\sqrt{3,25})m$

Tallet $2\sqrt{3,25}$ er større enn $2,14$, og derfor kan vi slutte at omkretsen av trekanten er størst.

Oppgave 7

a)

Etter åtte dager: $60L-5,0L\cdot 8=20L$

Løser likningen:

60 - 5x = 0

x = 12

Tom tank etter: 12 dager

b)

$f(x)=60-5x,x\in [0,12]$

c)

1) Bruker GeoGebra til å tegne grafen til f(x)

2) Tegner linja x = 8, og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" og finner skjæringspunktet mellom grafen til f og linja x = 8. Dette gir svaret: Etter 8 dager innholder tanken 20 L

3) Bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" og finner skjæringspunket mellom x.aksen og grafen til f. Dette gir svaret: Tanken er tom etter 12 dager.

Oppgave 8

a)

Antall kuler: $5$

Antall røde kuler: $3$

Antall blå kuler: $5-3=2$

$P(\text{to røde kuler})=\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{3\cdot 2}{5\cdot 4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=0.3$

Sannsynligheten for å trekke to røde kuler er $0.3$

b)

$P(\text{trekker to røde kuler})=0.3$ (fra deloppgave a)

$P(\text{trekker to blå kuler})=\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{2\cdot 1}{5\cdot 4}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}=0.1$

$P(\text{trekker to kuler i samme farge})=P(\text{trekker to røde kuler})+P(\text{trekker to blå kuler})=0,3+0,1=0,4$

Sannsynligheten for at de to kulene han trekker har samme farge er $0,4=40\mathrm{\%}$

Alternativ utregning

a)

$\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})}=\frac{3}{10}$

b)

$\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})}+\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

Alternativ utregning

a)

$\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{3}{10}$

b)

$\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

Del 2

Oppgave 1

a)

Arbeid	Antall timer	Timelønn	Inntekt
Vanlig arbeidstid	$150$	$195kr$	$150\cdot 195kr=29250kr$
Overtid med $50\mathrm{\%}$ tillegg	$16$	$195kr\cdot 1,5=292,5kr$	$16\cdot 292,5kr=4680kr$
Overtid med $100\mathrm{\%}$ tillegg	$6$	$195kr\cdot 2=390kr$	$6\cdot 390kr=2340kr$

Bruttolønna er $29250+4680+2340=36270kr$

b)

$36270kr\cdot 0,02=725,40kr$

Ole betalte 725,40 kr til pensjonskassen.

c)

Grunnlag for skattetrekk er $\text{Bruttolønn}-\text{Pensjonstrekk}=36270-725.40=35544.60kr$

Finner $36\mathrm{\%}$ av $35544.60kr$. $0,36\cdot 35544.60=12796kr$

$35544.60-12796=22748.54kr$

Ole fikk 22748.54 kr utbetalt denne måneden.

d)

Antar at Ole må betale skatt på pengene han får utbetalt. Skatten er på $36\mathrm{\%}$.

Timelønn med 50% tillegg: 292,5 kr (fra deloppgave a)

Utbetalt (lønn etter skatt): 5045 kr

Bruttolønn (lønn før skatt): $\frac{5045kr}{(1-0.36)}=7882,81kr$

$\frac{7882,81kr}{292,5kr}=26,94\approx 27$

Ole jobbet 27 timer med prosjektet.

Alternativ utregning (der vi antar at Ole ikke betaler skatt av disse pengene)

$\frac{5045kr}{292,5kr}=17,24$

Ole jobbet 17 timer og ett kvarter (15 minutter) med prosjektet.

Oppgave 2

a)

$P(\text{taco til middag})=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}=0,6$

b)

$P(\text{taco til middag og marsipankake til dessert})=P(\text{taco til middag})\cdot P(\text{marsipankake til dessert})=\frac{18}{30}\cdot \frac{24}{30}=\frac{12}{25}=0,48$

c)

	Taco	Pizza	Totalt
Sjokoladekake	2	4	6
Marsipankake	16	8	24
Totalt	18	12	30

$P(\text{taco og marsipankake})=\frac{16}{30}=\frac{8}{15}=0.53$

Oppgave 3

a)

$2,00m\cdot 0,70m\cdot 1,00m=1,4m^3$

Fordi $1m^3=1000L$ så inneholder beholderen $1400$ liter.

b)

Finner først hvor mye det har regnet:

Takets areal: $70m^2$

Mengde nedbør: $12mm=12mm\cdot 0,001\frac{m}{mm}=0,012m$

Mengde nedbør som falt på taket: $70m^2\cdot 0,012m=0,84m^3$

Grunnflate i beholderen: $2.00m\cdot 0,70m=1,4m^2$

$\frac{0,84m^3}{1,4m^2}=0,6m$

Vannet står 0,6 meter høyt i beholderen.

c)

Hvor mye mer vann det er i tanken: $(0,85m-0,10m)\cdot 1,4m^2=1,05m^3$

Takets areal: $70m^2$

$\frac{1,05m^3}{70m^2}=0,015m=15mm$

Det har regnet 15mm mens familien var borte.

Oppgave 4

a)

Bruker programmet Graph for å tegne grafen.

Framgangsmåte: Funksjon => sett inn funksjon

b)

Framgangsmåte: Beregn => Beregn => Lås til ekstremalpunkt => klikk på grafen

Ser at grafen har et toppunkt i $t=2.15$.

Hjortebestanden var størst i februar 1992. Da var bestanden på 867 dyr.

c) Framgangsmåte: Setter inn funksjonen f(t) = 850. Velger Beregn => Beregn => Lås til skjæringspunkt => klikker på grafen

Ser at vi har skjæringspunkt i $t=1,4$ og $t=2,9$

Løsningen sier at hjortebestanden var på 850 dyr etter mai 1991 og november 1992.

d)

Leser ut av grafen at i $1994$ ($t=4$) er bestanden $788$ hjort. I $1998$ er bestanden $524$ hjort.

Antall år: $1998-1994=4$

Endring i antall hjort: $524-788=-264$

Endring per år: $\frac{-264}{4}=-66$

Bestanden av hjort minsker i gjennomsnitt med 66 dyr per år i perioden $1994$ til $1998$.

Oppgave 5

a)

Fordi alle terminbeløpene er like store, så er dette et annuitetslån.

b)

Legger sammen alle avdragene for å finne det totale lånebeløpet:

$6396+7010+7683+8420+9229+10115+11086+12150+13316+14595=100000kr$

Det totale lånebeløpet er 100000kr.

c)

Første termin (som er første år) betaler han renter på 100000 kr. Rentene er 9600kr.

$\frac{9600}{100000}=0,096=9,6\mathrm{\%}$

Renta er $9,6\mathrm{\%}$ per år.

Oppgave 6

a)

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot r^2\cdot \frac{2}{3}\cdot r=\frac{1}{3}\pi \cdot (1,35m{)}^2\cdot 0,66\cdot 1,35m\approx 1,72m^3$

b)

Løser likningen:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}\pi \cdot r^2\cdot h \\ V=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{9}{4}{h}^2\cdot h \\ h=\sqrt[3]{\frac{8,0m^3\cdot 4}{3\pi }} \\ \approx 1,5m \end{gathered}$$

En kjegle med volum 8 kubikkmeter vil ha en høyde på ca 1,5 meter.