Forskjell mellom versjoner av «Integrerende faktor»

Revisjonen fra 6. feb. 2010 kl. 14:45

En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <tex>f^,+A(x)f=B(x)</tex> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <tex>e^{\int A(x)\,dx}</tex>.

Generell utledning av integrerende faktor

Vi starter med å gange diff.ligningen over med en foreløpig ukjent funksjon <tex>g=g(x)</tex>: (Her betyr <tex>A=A(x)</tex>, <tex>B=B(x)</tex> etc.)

<tex>f^,+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf^,+Agf=gB</tex>

Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon <tex>g</tex> slik at <tex>Ag=g^,</tex>, ser vi at ligningen blir:

Eksempler

Eksempel

La oss se på førsteordensligningen <tex>f^,+f=0</tex>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <tex>e^x</tex> får vi <tex>e^xf^,+e^xf=0</tex>. Ligningen kan nå omskrives til <tex>(e^xf)^,=0</tex>. Bruker vi Leibniz' notasjon kan vi skrive dette som <tex>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </tex>. Så vi må ha at <tex>e^xf</tex> er konstant, i.e. <tex>e^xf=c</tex>. Ganger vi med <tex>e^{-x}</tex> får vi at løsningen er <tex>f(x)=ce^{-x}. </tex>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
-En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <tex>f^,+A(x)f=B(x)</tex> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <tex>e^{\int A(x)\,dx}</tex>. En generell utledning er betimelig:
+En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <tex>f^,+A(x)f=B(x)</tex> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <tex>e^{\int A(x)\,dx}</tex>.
-Vi starter med å gange ligningen med <tex>e^{\int A(x)\,dx}</tex>:
+== Generell utledning av integrerende faktor==
-:<tex>f^,+A(x)f=B(x)\,\, \Rightarrow \,\, e^{\int A(x)\,dx}\, f^,\, +\,A(x)e^{\int A(x)\,dx}\, f\, =\, B(x)e^{\int A(x)\,dx}</tex>
+Vi starter med å gange diff.ligningen over med en foreløpig ukjent funksjon <tex>g=g(x)</tex>: (Her betyr <tex>A=A(x)</tex>, <tex>B=B(x)</tex> etc.)
-Merk at <tex>A(x)e^{\int A(x)\,dx}\,\,\, = \left (e^{\int A(x)\,dx}\right )^, </tex>. For enkelhets skyld lar vi <tex>g=e^{\int A(x)\,dx}</tex>. Da blir ligningen
+:<tex>f^,+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf^,+Agf=gB</tex>
-: <tex>gf^,+g^,f=Bg</tex>
+Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon <tex>g</tex> slik at <tex>Ag=g^,</tex>, ser vi at ligningen blir:
-Venstresida er nå lik <tex>(gf)^,</tex> der vi har brukt produktregelen for derivasjon.
+:<tex>gf^,+g^,f=gB</tex>
+== Eksempler ==