Andre ordens differensiallikninger

Andre ordens ligninger vil si at ligningene høyst inneholder den andrederiverte av funksjonen vi skal løse for. Den kanskje enkleste formen for andre ordens ligninger kalles homogene og lineære med konstante koeffisienter. Dvs. at ligningen er på formen $f^{\prime \prime }+a{f}^{\prime }+bf=0$, der $a$ og $b$ er gitte konstanter. At en ligning er lineær betyr ikke annet enn at de deriverte kun forekommer i første orden og i ulike ledd, dvs. at de ikke er opphøyd i andre tall enn $1$ og ikke forekommer flere ganger i et produkt (f.eks. som $f\cdot f^{\prime }$). Lineære, homogene ligninger har egenskapen at dersom både $f(x)$ og $g(x)$ er løsninger, er $f(x)+g(x)$ (og enhver lineærkombinasjon) også løsning. Dette ser vi lett ved innsetting siden derivasjon er en lineær operasjon (operator), dvs. at $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$. At ligningen er homogen betyr at høyresiden (slik ligningen er skrevet over) er identisk lik $0$. Koeffisientene er uttrykkene foran de deriverte, f.eks. er $1$, $a$ og $b$ koeffisientene til ligningen over.

Løsning av spesialtilfellet $b=0$

Ligningen $f^{\prime \prime }+a{f}^{\prime }=0$ løser vi ved å transformere til en første ordens ligning. Vi lar $f^{\prime }=g$. Da blir $f^{\prime \prime }=g^{\prime }$ og ligningen omskrives til

$g^{\prime }+ag=0$.

Denne løses som en separabel ligning eller ved multiplikasjon med integrerende faktor. Når vi har funnet $g$ får vi ligningen $f^{\prime }=g$ som er også er en separabel første ordens ligning.

Løsning av andre ordens lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter

Det fins en generell løsningsmetode for andreordens lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter. For å forstå denne er det hensiktsmessig å gjøre følgende Ansatz (kvalifisert gjetning): Vi antar at løsningene på ligningen

$f^{\prime \prime }+a{f}^{\prime }+bf=0$

er på formen $e^{\lambda x}$ der $\lambda$ er en konstant som vi blir nødt til å finne. Setter vi inn antagelsen i ligningen får vi

${\lambda }^2{e}^{\lambda x}+a\lambda e^{\lambda x}+b{e}^{\lambda x}=0$

Her ser vi at vi kan dele med $e^{\lambda x}$ slik at vi får en andreordens ligning for $\lambda$, kalt karakteristisk ligning. Denne blir i dette tilfellet

Diferensiallikningen

$f^{\prime \prime }+a{f}^{\prime }+bf=0$

har karakteristisk løsning

${\lambda }^2+a\lambda +b=0$,

som vi løser med f.eks. abc-formelen eller ved fullføring av kvadratet.

La oss si at løsningene er ${\lambda }_1$ og ${\lambda }_2$. Da fins det flere mulige tilfeller av verdier for disse som gir opphav til forskjellige typer løsninger av diff.ligningen.

To ulike reelle løsninger av karakteristisk ligning

Når løsningene av den karakteristiske ligninga er reelle og ulike er løsningen på diff.ligningen

$f(x)=A{e}^{{\lambda }_{1}x}+B{e}^{{\lambda }_{2}x}$

Én reell løsning av karakteristisk ligning

Når løsningen $\lambda$ av karakteristisk ligning har multiplisitet $2$ er løsningen på diff.ligningen

$f(x)=A{e}^{\lambda x}+Bx{e}^{\lambda x}$

Komplekse løsninger av karakteristisk ligning

I mange tilfeller vil karakteristisk ligning ha komplekse nullpunkter. Disse vil være konjugerte dersom karakteristisk ligning har reelle koeffisienter. Løsningen av diff.ligningen vil da være

$f(x)=A{e}^{{\lambda }_{1}x}+B{e}^{{\lambda }_{2}x}$,

men her vil altså ${\lambda }_1$ og ${\lambda }_2$ være komplekse tall. Ved å bruke Eulers formel,

$e^{\theta i}=\cos \theta +i\sin \theta$,

kan vi skrive om løsningen slik at vi slipper komplekse tall i eksponentene i løsningen.

$r^2+br+c=0$

Dersom to komplekse løsninger

$r_1=p+qi\wedge r_2=p-qi$

Har differensiallikningen

$y^{″}+b{y}^{\prime }+cy=0$

den generelle løsningen

$y=e^{px}(C_{1}sinqx+C_{2}cosqx)$

Bestemme konstantene

For å bestemme konstantene $A$ og $B$ til løsningene over trenger vi to initialbetingelser, f.eks. må $f(0)$ og $f^{\prime }(0)$ være gitt. Vi får dermed to ligninger med to ukjente ($A$ og $B$) som må bestemmes for å løse initialverdiproblemet.