Løsning del 2 utrinn Vår 14: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Skf95 (diskusjon | bidrag)
KristofferUlv (diskusjon | bidrag)
 
(22 mellomliggende versjoner av 5 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
[http://matematikk.net/res/eksamen/10-kl/V14_Del2.pdf Oppgaven som pdf]
==Oppgave 1==
==Oppgave 1==


a)
'''a)'''


125kr+105kr+105=335kr
125kr+105kr+105=335kr


b)
'''b)'''


Pris 25 enkeltbilletter:25125kr=3125kr
Pris 25 enkeltbilletter:25125kr=3125kr
Linje 15: Linje 17:
Anne sparer 460kr3125kr=0,147=14,7%
Anne sparer 460kr3125kr=0,147=14,7%


c)
'''c)'''


Sum betalt: 2060kr+910kr+12105kr=4230kr
Sum betalt: 2060kr+910kr+12105kr=4230kr
Linje 23: Linje 25:
==Oppgave 2==
==Oppgave 2==


a)
'''a)'''


Til første bane kan vi velge blant 8 svømmere (8 muligheter). Til andre bane kan vi velge blant 7, osv helt til vi har igjen 1 svømmer som plasseres i den siste banen. Totalt antall kombinasjoner blir da 87654321=40320.
Til første bane kan vi velge blant 8 svømmere (8 muligheter). Til andre bane kan vi velge blant 7, osv helt til vi har igjen 1 svømmer som plasseres i den siste banen. Totalt antall kombinasjoner blir da 87654321=40320.


b)
'''b)'''


Eva svømmer med gjennomsnittsfarten v=100m100s=1m/s. Etter 80s er Anne i mål. Da har Eva bare svømt strekningen s=1m/s80s=80m (mens Anne har svømt de 100 metrene til mål). Eva vinner altså med 20m.
Eva svømmer med gjennomsnittsfarten v=100m100s=1m/s. Etter 80s er Anne i mål. Da har Eva bare svømt strekningen s=1m/s80s=80m (mens Anne har svømt de 100 metrene til mål). Eva vinner altså med 20m.


(I denne oppgaven må vi forutsette at de svømmer med konstant fart lik gjennomsnittsfarten.)
''I denne oppgaven må vi forutsette at de svømmer med konstant fart lik gjennomsnittsfarten.''


==Oppgave 3==
==Oppgave 3==


a), b)
'''a) ,c)'''
 
Utfylt tabell med formler for oppgave a) og c)
 


Se utklipp fra Excell under, diagram skal ha overskrift og akser skal ha navn, bruk av fast cellereferanse i oppgave c viser bedre kompetanse;
[[File:ung2014oppg3del2tabell.png]]
[[File:ung2014oppg3del2formel.png ]]


[[File:10kl2014Oppgave3del2.png]]
'''b)'''
 
[[File:ung2014oppg3del2diagram.png]]


==Oppgave 4==
==Oppgave 4==


a)
'''a)'''


Tegn et rektangel der lengden/den lengste siden er 10 cm og bredden/den korteste siden er 5 cm.
Tegnet i GeoGebra


b)
[[File:basseng.png]]
 
'''b)'''


Hele bassengets lengde er 25 m. Det betyr avstanden fra A til B horisontalt er 25m12,5m6,25m=6,25m.. Høydeforskjellen mellom AB blir på tilsvarende måte 3,5m1,2m=2,3m. Da gir Pytagoras' setning skråplanets lengde AB:
Hele bassengets lengde er 25 m. Det betyr avstanden fra A til B horisontalt er 25m12,5m6,25m=6,25m.. Høydeforskjellen mellom AB blir på tilsvarende måte 3,5m1,2m=2,3m. Da gir Pytagoras' setning skråplanets lengde AB:
Linje 57: Linje 67:
AB=6,66m
AB=6,66m


c)
Arealet av skråplanet blir da: A=6,66m12,5m=83,25m2
 
'''c)'''


Se for deg en vegg rett opp gjennom AD og en tilsvarende vegg ved BC. Kall bassenget/volumet lengst til venstre V(1), det i midten V(2) og det lengst til høyre V(3). Regn ut disse volumene hver for seg, og summer dem til slutt:
Se for deg en vegg rett opp gjennom AD og en tilsvarende vegg ved BC. Kall bassenget/volumet lengst til venstre V(1), det i midten V(2) og det lengst til høyre V(3). Regn ut disse volumene hver for seg, og summer dem til slutt:
Linje 67: Linje 79:
V(3)=12,5m12,5m1,2m=187,50m3
V(3)=12,5m12,5m1,2m=187,50m3


<math>V_{totalt}=V(1)+V(2)+V(3)=273,44 \mathrm{m^3}+183,59 \mathrm{m^3}+ 87,50 \mathrm{m^3}=644,5 \mathrm{m^3}</math>
<math>V_{totalt}=V(1)+V(2)+V(3)=273,44 \mathrm{m^3}+183,59 \mathrm{m^3}+ 187,50 \mathrm{m^3}=644,5 \mathrm{m^3}</math>


d)
'''d)'''


Etter en time (60 min) har det blitt tappet ut  
Etter en time (60 min) har det blitt tappet ut  
Linje 83: Linje 95:
==Oppgave 5==
==Oppgave 5==


a)
'''a)'''


Vi får et konstantledd på +645000 da dette er volumet vann ved start (x=0). Dessuten får vi et negativt førstegradsledd, <math>-1800x</math>. Dette skyldes at volumet minker med 18000 liter hver time.
Vi får et konstantledd på +645000 da dette er volumet vann ved start (x=0). Dessuten får vi et negativt førstegradsledd, <math>-18000x</math>. Dette skyldes at volumet minker med 18000 liter hver time.


b)
'''b)'''


Tomt for vann når V(x)=0. Det gir:
Tomt for vann når V(x)=0. Det gir:
Linje 97: Linje 109:
x=64500018000h=35,83h=35h 50min
x=64500018000h=35,83h=35h 50min


c)
'''c)'''


Bruker Geogebra (Versjon 4.2). I inntastingsfeltet (nederst) bruker vi kommandoen:
Bruker Geogebra (Versjon 4.2). I inntastingsfeltet (nederst) bruker vi kommandoen:
Linje 109: Linje 121:
Funksjonen blir da hetende f. Høyreklikker på funksjonen i algebrafeltet og gir den nytt navn; V. Grafen blir seende ut som på figuren i deloppgave d) under.
Funksjonen blir da hetende f. Høyreklikker på funksjonen i algebrafeltet og gir den nytt navn; V. Grafen blir seende ut som på figuren i deloppgave d) under.


d)
''Vi kunne også bare tastet inn "V(x)=-18000x+645000", men da ville vi blant annet fått en graf som strakk seg over negative verdier av x, og det gir lite mening når x er tiden.''
 
'''d)'''


I inntsatingsfeltet skriver vi "y=285000". Deretter finner vi skjæring mellom de to linjene. Bruker da verktøyet "Skjæring mellom to objekt" fra menylinjen, og klikker deretter på de to linjene. Vi får skjæringspunktet S med x-koordinat 20, se figur under. Det tar altså 20 timer før bassengets volum er 285 000 liter.
I inntsatingsfeltet skriver vi "y=285000". Deretter finner vi skjæring mellom de to linjene. Bruker da verktøyet "Skjæring mellom to objekt" fra menylinjen, og klikker deretter på de to linjene. Vi får skjæringspunktet S med x-koordinat 20, se figur under. Det tar altså 20 timer før bassengets volum er 285 000 liter.
Linje 119: Linje 133:
==Oppgave 6==
==Oppgave 6==


a)
'''a)'''


Radius, r, er halve diameteren, d. Omkretsen, O, er gitt ved O=dπ. Vi får
Radius, r, er halve diameteren, d. Omkretsen, O, er gitt ved <math>O=2 \pi r = d \pi </math>. Vi får


<math>r_{adius}= \frac{d}{2}= \frac{12.756 \mathrm{km}}{2}=6378 \mathrm{km}</math>
<math>r_{adius}= \frac{d}{2}= \frac{12 \: 756 \mathrm{km}}{2}=6378 \mathrm{km}</math>


<math>O_{omkrets}=d \pi = 12.756 \mathrm{km} \cdot 3,14=40053,8 \mathrm{km}</math>
<math>O_{omkrets}=d \pi = 12 \: 756 \mathrm{km} \cdot 3,14=40053,8 \mathrm{km}</math>


b)
'''b)'''


søyle,solstråle=36050=7,2
søyle,solstråle=36050=7,2


c)
'''c)'''


Avstand=5000 <math> \mathrm{stadion}=5000 \cdot 157,5 \mathrm{m}=787.500 \mathrm{m}= 767,5 \mathrm{km}</math>
Avstand=5000 <math> \mathrm{stadion}=5000 \cdot 157,5 \mathrm{m}=787 \: 500 \mathrm{m}= 787,5 \mathrm{km}</math>


d)
'''d)'''


For å finne overflaten av jorda, bruker formelen O=4πr2, med radien r regnet ut i deloppgave a). For å finne overflaten som er dekket med vann, må vi gange denne formelen med 0,71, ettersom kun 71% av overflaten er dekket med vann. Den totale formelen blir da:
For å finne overflaten av jorda, bruker formelen O=4πr2, med radien r regnet ut i deloppgave a). For å finne overflaten som er dekket med vann, må vi gange denne formelen med 0,71, ettersom kun 71% av overflaten er dekket med vann. Den totale formelen blir da:
Linje 143: Linje 157:
==Oppgave 7==
==Oppgave 7==


a)
'''a)'''


Solstrålene som treffer jorda er parallelle. Solstrålen som går gjennom brønnen, peker rett inn mot sentrum i jorda. Det betyr at linjen fra sentrum av jorda ut til sola, er parallell med solstrålen som kaster skygge bak søylen. Videre krysser linjen mellom jordsenteret og søylen, begge de to parallelle linjene. Dermed må vinklene bli like store. Se en forenklet figur under. Alle tre vinklene på figuren er like store, fordi to av linjene er parallelle, mens den tredje skjærer dem begge.
Solstrålene som treffer jorda er parallelle. Solstrålen som går gjennom brønnen, peker rett inn mot sentrum i jorda. Det betyr at linjen fra sentrum av jorda ut til sola, er parallell med solstrålen som kaster skygge bak søylen. Videre krysser linjen mellom jordsenteret og søylen, begge de to parallelle linjene. Dermed må vinklene bli like store. Se en forenklet figur under. Alle tre vinklene på figuren er like store, fordi to av linjene er parallelle, mens den tredje skjærer dem begge.
Linje 149: Linje 163:
[[File:kl10EksV14Oppgave7-del2.png]]
[[File:kl10EksV14Oppgave7-del2.png]]


b)
'''b)'''


Vi husker fra oppgave 6 b) at vinkelen mellom solstrålen og søylen, og dermed også vinkel A, er 7,2. Dette betyr at de 5 000 stadionlengdene mellom byene, kun er 7,2360=0,02=2% av jordas totale omkrets. For å finne hele jordas omkrets, må vi gange med 50 slik at vi får 100%. Vi får
Vi husker fra oppgave 6 b) at vinkelen mellom solstrålen og søylen, og dermed også vinkel A, er 7,2. Dette betyr at de 5 000 stadionlengdene mellom byene, kun er 7,2360=0,02=2% av jordas totale omkrets. For å finne hele jordas omkrets, må vi gange med 50 slik at vi får 100%. Vi får


<math>O_{mkrets}=5.000</math> <math> \mathrm{stadion} \cdot 50 =250.000</math> stadion
<math>O_{mkrets}=5 \:000</math> <math> \mathrm{stadion} \cdot 50 =250 \: 000</math> stadion


NB Det finnes alternative løsninger.
''NB Det finnes alternative løsninger.''


==Oppgave 8==
==Oppgave 8==
Linje 161: Linje 175:
Først må vi finne vinkelen utspent av de to radiene.
Først må vi finne vinkelen utspent av de to radiene.


ALTERNATIV 1:
'''ALTERNATIV 1:'''


På grunn av toppvinkler og samsvarende vinkler som dannes av de parallelle linjene (solstrålene) får vi 18+26=44.
På grunn av toppvinkler og samsvarende vinkler som dannes av de parallelle linjene (solstrålene) får vi 18+26=44. Oomkrets=39375 km fra oppgave 7 b). Vi får:


<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39375 \mathrm{m}  =4812 \mathrm{km}</math>
<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39 \: 375 \mathrm{m}  =4812 \mathrm{km}</math>


ALTERNATIV 2:
'''ALTERNATIV 2:'''


Se figuren under. P=Q=90. Vinkelsummen i en trekant er 180. Dermed blir R=1809026=64 og S=1809018=72. Vinkel R pluss vinkel S pluss vinkelen vi skal finne, er til sammen 180. Dermed blir vinkelen utspent av de to radiene 1807264=44.
Se figuren under. P=Q=90. Vinkelsummen i en trekant er 180. Dermed blir R=1809026=64 og S=1809018=72. Vinkel R pluss vinkel S pluss vinkelen vi skal finne, er til sammen 180. Dermed blir vinkelen utspent av de to radiene 1807264=44.
Linje 173: Linje 187:
[[File:10klEksamenV14Oppgave8-del2.png]]
[[File:10klEksamenV14Oppgave8-del2.png]]


Nå kan vi finne avstanden mellom byene når vi har <math>d=39375</math> fra oppgave 6. Vi får
Nå kan vi finne avstanden mellom byene når vi har <math>O_{omkrets}=39\:375</math> fra oppgave 7 b). Vi får:


<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39375 \mathrm{m}  =4812 \mathrm{km}</math>
<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39 \: 375 \mathrm{m}  =4812 \mathrm{km}</math>

Siste sideversjon per 23. jun. 2017 kl. 19:35

Oppgaven som pdf

Oppgave 1

a)

125kr+105kr+105=335kr

b)

Pris 25 enkeltbilletter:25125kr=3125kr

Pris 1 klippekort à 25 klipp: 2665kr

Prisforskjell: 3125kr2665kr=460kr

Anne sparer 460kr3125kr=0,147=14,7%

c)

Sum betalt: 2060kr+910kr+12105kr=4230kr

Gjennomsnitt per svømmetur: 4230kr25+10+12=4230kr47=90kr/tur

Oppgave 2

a)

Til første bane kan vi velge blant 8 svømmere (8 muligheter). Til andre bane kan vi velge blant 7, osv helt til vi har igjen 1 svømmer som plasseres i den siste banen. Totalt antall kombinasjoner blir da 87654321=40320.

b)

Eva svømmer med gjennomsnittsfarten v=100m100s=1m/s. Etter 80s er Anne i mål. Da har Eva bare svømt strekningen s=1m/s80s=80m (mens Anne har svømt de 100 metrene til mål). Eva vinner altså med 20m.

I denne oppgaven må vi forutsette at de svømmer med konstant fart lik gjennomsnittsfarten.

Oppgave 3

a) ,c)

Utfylt tabell med formler for oppgave a) og c)


b)

Oppgave 4

a)

Tegnet i GeoGebra

b)

Hele bassengets lengde er 25 m. Det betyr avstanden fra A til B horisontalt er 25m12,5m6,25m=6,25m.. Høydeforskjellen mellom AB blir på tilsvarende måte 3,5m1,2m=2,3m. Da gir Pytagoras' setning skråplanets lengde AB:

(AB)2=(6,25m)2+(2,3m)2

AB=44,35m2

AB=6,66m

Arealet av skråplanet blir da: A=6,66m12,5m=83,25m2

c)

Se for deg en vegg rett opp gjennom AD og en tilsvarende vegg ved BC. Kall bassenget/volumet lengst til venstre V(1), det i midten V(2) og det lengst til høyre V(3). Regn ut disse volumene hver for seg, og summer dem til slutt:

V(1)=6,25m12,5m3,5m=273,44m3

V(2)=6,25m12,5m3,5m126,25m12,5m2,3m=183,59m3

V(3)=12,5m12,5m1,2m=187,50m3

Vtotalt=V(1)+V(2)+V(3)=273,44m3+183,59m3+187,50m3=644,5m3

d)

Etter en time (60 min) har det blitt tappet ut

300L/min60min=18000L=18m3 vann. Dette er mindre enn volumet av det øverste sjiktet med vann (mindre enn volumet av vannet over skråplanet). Vi kan dermed sette opp likningen

18m3=25m12,5mh

h=182512,5m=0,058m,

Vannstanden har altså sunket 5,8 cm ned etter én time.

Oppgave 5

a)

Vi får et konstantledd på +645000 da dette er volumet vann ved start (x=0). Dessuten får vi et negativt førstegradsledd, 18000x. Dette skyldes at volumet minker med 18000 liter hver time.

b)

Tomt for vann når V(x)=0. Det gir:

0=18000x+645000

18000x=645000

x=64500018000h=35,83h=35h 50min

c)

Bruker Geogebra (Versjon 4.2). I inntastingsfeltet (nederst) bruker vi kommandoen:

"Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]"

Helt konkret taster vi inn:

"Funksjon[-18000x + 645000, 0, 36]"

Funksjonen blir da hetende f. Høyreklikker på funksjonen i algebrafeltet og gir den nytt navn; V. Grafen blir seende ut som på figuren i deloppgave d) under.

Vi kunne også bare tastet inn "V(x)=-18000x+645000", men da ville vi blant annet fått en graf som strakk seg over negative verdier av x, og det gir lite mening når x er tiden.

d)

I inntsatingsfeltet skriver vi "y=285000". Deretter finner vi skjæring mellom de to linjene. Bruker da verktøyet "Skjæring mellom to objekt" fra menylinjen, og klikker deretter på de to linjene. Vi får skjæringspunktet S med x-koordinat 20, se figur under. Det tar altså 20 timer før bassengets volum er 285 000 liter.

x-aksen er tiden målt i timer. y-aksen antall liter i bassenget.

Oppgave 6

a)

Radius, r, er halve diameteren, d. Omkretsen, O, er gitt ved O=2πr=dπ. Vi får

radius=d2=12756km2=6378km

Oomkrets=dπ=12756km3,14=40053,8km

b)

søyle,solstråle=36050=7,2

c)

Avstand=5000 stadion=5000157,5m=787500m=787,5km

d)

For å finne overflaten av jorda, bruker formelen O=4πr2, med radien r regnet ut i deloppgave a). For å finne overflaten som er dekket med vann, må vi gange denne formelen med 0,71, ettersom kun 71% av overflaten er dekket med vann. Den totale formelen blir da:

Overflate(vann)=0,714πr2=2,843,1463782km2=362942012km2=3,63108 km2

Oppgave 7

a)

Solstrålene som treffer jorda er parallelle. Solstrålen som går gjennom brønnen, peker rett inn mot sentrum i jorda. Det betyr at linjen fra sentrum av jorda ut til sola, er parallell med solstrålen som kaster skygge bak søylen. Videre krysser linjen mellom jordsenteret og søylen, begge de to parallelle linjene. Dermed må vinklene bli like store. Se en forenklet figur under. Alle tre vinklene på figuren er like store, fordi to av linjene er parallelle, mens den tredje skjærer dem begge.

b)

Vi husker fra oppgave 6 b) at vinkelen mellom solstrålen og søylen, og dermed også vinkel A, er 7,2. Dette betyr at de 5 000 stadionlengdene mellom byene, kun er 7,2360=0,02=2% av jordas totale omkrets. For å finne hele jordas omkrets, må vi gange med 50 slik at vi får 100%. Vi får

Omkrets=5000 stadion50=250000 stadion

NB Det finnes alternative løsninger.

Oppgave 8

Først må vi finne vinkelen utspent av de to radiene.

ALTERNATIV 1:

På grunn av toppvinkler og samsvarende vinkler som dannes av de parallelle linjene (solstrålene) får vi 18+26=44. Oomkrets=39375 km fra oppgave 7 b). Vi får:

Avstand=4436039375m=4812km

ALTERNATIV 2:

Se figuren under. P=Q=90. Vinkelsummen i en trekant er 180. Dermed blir R=1809026=64 og S=1809018=72. Vinkel R pluss vinkel S pluss vinkelen vi skal finne, er til sammen 180. Dermed blir vinkelen utspent av de to radiene 1807264=44.

Nå kan vi finne avstanden mellom byene når vi har Oomkrets=39375 fra oppgave 7 b). Vi får:

Avstand=4436039375m=4812km