Vektorer i rommet

En vektor er det samme som et koordinat, vi tenker oss en pil fra origo til et punkt med koordinat (x,y) i det euklidske planet eller (x,y,z) i rommet ${\mathbb{R}}^{\mathbb{3}}$. Det fins en rekke måter å skrive vektorer på, f.eks. er det vanlig å bruke $\overrightarrow{r}=(x,y,z)$, $\overrightarrow{r}=⟨x,y,z⟩$ eller $\overrightarrow{r}=[x,y,z]$. Vi kan også innføre enhetsvektorer langs de tre aksene og skrive vektorene ved hjelp av disse. Da er $\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{e_x}+y\overrightarrow{e_y}+z\overrightarrow{e_z}$ der $\overrightarrow{e_i}$ er enhetsvektor langs aksen $i\in [x,y,z]$. Her holder vi oss for enkelhets skyld til den første konvensjonen.

En vektor i rommet er en generalisering av en vektor i planet der vi har innført én ny koordinat. Mye av teorien for vektorer i planet vil utvides på naturlig måte til vektorer i rommet. F.eks. er definisjonen av lengde, sum, skalarmultiplikasjon og skalarprodukt (prikkprodukt) av 3-dimensjonale vektorer analog med det 2-dimensjonale tilfellet:

Lengden av en vektor i rommet

Lengden av en 3-dimensjonal vektor er angitt med absoluttverditegn. Dersom $\overrightarrow{v}=(x,y,z)$ er lengden definert som

$|\overrightarrow{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Vektorsum

Addisjon av vektorer foregår på samme måte som i planet, dvs. komponentvis. Vi har at

$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v^{\prime }}=(x,y,z)+(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=(x+x^{\prime },y+y^{\prime },z+z^{\prime })$

Multiplikasjon med skalar

Vi kan multiplisere en vektor med en skalar på samme måte som i planet:

$k(x,y,z)=(kx,ky,kz)$ der $k$ er en skalar.

Da ser vi at

$|k\overrightarrow{v}|=|(kx,ky,kz)|=\sqrt{(kx{)}^2+(ky{)}^2+(kz{)}^2}=\sqrt{k^2(x^2+y^2+z^2)}=|k|\sqrt{x^2+y^2+z^2}=|k||\overrightarrow{v}|$

Denne formelen kan anvendes for å forenkle utregninger gjennom å faktorisere ut felles faktorer i vektoren vi skal finne lengden av.

Skalarprodukt

La $\overrightarrow{v_1}=(x_1,y_1,z_1)$ og $\overrightarrow{v_2}=(x_2,y_2,z_2)$. Da er skalarproduktet definert som

$\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$

Dette er ekvivalent med

$\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2}=|\overrightarrow{v_1}||\overrightarrow{v_2}|\cdot \cos (\theta )$ der $\theta$ er vinkelen mellom vektorene.

Merk at definisjonen medfører at skalarproduktet er kommutativt, dvs. at $\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_2}\cdot \overrightarrow{v_1}$

En viktig observasjon er at dersom vi tar skalarproduktet med vektoren selv, får vi

$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}=x^2+y^2+z^2=|\overrightarrow{v}{|}^2$.

Her ser vi at dette stemmer overens med den andre definisjonen av skalarproduktet i og med at vinkelen mellom to like vektorer er $\theta =0$, og da er $\cos (\theta )=\cos (0)=1$.

Normalisering

Vi normaliserer en vektor ved å dele den med lengden av seg selv. Lar vi f.eks. $\overrightarrow{v}=(x,y,z)$ og deler med lengden får vi

$\frac{1}{|\overrightarrow{v}|}\overrightarrow{v}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)$.

Vi ser da at $|\frac{1}{|\overrightarrow{v}|}\overrightarrow{v}|=1$.

Enhetsvektorer

En enhetsvektor i rommet er essensielt et koordinat på enhetssfæren (dvs. overflaten av ei kule med radius=1 og sentrum i origo).

Dekomposisjon av romlige vektorer

Vi kan finne komponenten av en vektor i en gitt retning ved å ta skalarproduktet av vektoren og enhetsvektoren langs den ønskelige retningen.

Trekantulikheten

Trekantulikheten sier at for vektorer $\overrightarrow{u}$ og $\overrightarrow{v}$ gjelder alltid

$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|\le |\overrightarrow{u}|+\overrightarrow{v}|$

Denne er ofte nyttig til å vise mer kompliserte ulikheter. Likhet oppnås dersom enten en av vektorene er 0-vektor eller dersom vektorene har samme retning. Det kan være lurt å tegne opp noen vektorer for å illustrere prinsippet. Da ser man geometrisk at ulikheten faktisk stemmer.

Vektorrom (avansert, noe utover R2 pensum)

I en mer generell kontekst er de euklidske vektorene et spesialtilfelle av et vektorrom over en kropp (en kropp er f.eks. $\mathbb{R}$ eller $\mathbb{C}$). Et vektorrom $\mathcal{V}$ over $\mathcal{F}$ er en mengde av elementer (vektorer) som tilfredsstiller et sett aksiomer. For alle $r,s\in \mathcal{F}$ og alle $u$, $v$ og $w$ i $\mathcal{V}$ gjelder:

1. Det fins en additiv identitet, $0$: $u+0=u$

2. Det fins en multiplikativ identitet, $1$: $1u=u$

3. Vektorrommet er lukket under skalarmultiplikasjon, i.e. $ru$ er med i $\mathcal{V}$ og $r(su)=(rs)u$.

4. Vektorrommet er lukket under addisjon, i.e. $u+v$ er med i $\mathcal{V}$

5. Vektorrommet assosiativt, i.e. $(u+v)+w=u+(v+w)$

6. Vektorrommet er distributivt, i.e. $r(u+v)=ru+rv$

7. $(r+s)u=ru+su$

8. Vektorrommet er kommutativt, i.e. $u+v=v+u$

9. For alle $u$ fins en $w$ slik at $u+w=0$

---

Tilbake til R2 Hovedside