Vektorprodukt: Forskjell mellom sideversjoner

Siste sideversjon per 16. jun. 2020 kl. 18:48

Vektorproduktet er en operasjon mellom to 3-dimensjonale vektorer som har nyttige anvendelser i blant annet areal- og volumberegninger og når vi skal finne normalvektorer til flater og plan i rommet. Merk at vektorproduktet slik det er definert ikke gir mening for annet enn 3- og 7-dimensjonale vektorer, der vi kun har fokus på det 3-dimensjonale tilfellet.

Determinanter

$| \begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} \end{matrix} | = a_{1, 1} \cdot a_{2, 2} - a_{2, 1} \cdot a_{1, 2}$

Når man multipliserer diagonalt nedover mot høyre blir fortegnet positivt. Multiplikasjon diagonalt nedover mot venstre gir negativt fortegn.

$| \begin{matrix} 1 & 4 & - 2 \\ 5 & 3 & 6 \\ 2 & 0 & - 1 \end{matrix} |$ = -3 - 0 + 48 +20 + 0 + 12 = 77

Vi kom fram til dette på følgende måte: Vi utvider determinaten med to kolonner, slik at kolonne en og to repeteres etter kolonne tre.

$(1 \cdot 3 \cdot (- 1) - 1 \cdot 6 \cdot 0) + (4 \cdot 6 \cdot 2 - 4 \cdot 5 \cdot (- 1)) + ((- 2) \cdot 5 \cdot 0 - (- 2) \cdot 3 \cdot 2) = - 3 - 0 + 48 + 20 + 0 + 12 = 77$

Definisjon av vektorprodukt (kryssprodukt)

Vi bruker notasjonen $\times$ for vektorprodukt. Lar vi $\vec{v_{1}} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ og $\vec{v_{2}} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ er

\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}), - (x_{1} z_{2} - x_{2} z_{1}), (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})

Definisjonen kan også skrives som en determinant som gjør den lettere å huske,

\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = | \begin{array}{ccc} i & j & k \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} |

Utvikler vi i første rad ser vi at determinanten blir

\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}) i, - (x_{1} z_{2} - x_{2} z_{1}) j, (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) k

.

Her tolker vi $i, j, k$ som enhetsvektorer langs x-,y- og z-aksen, og da ser vi at dette er i overensstemmelse med den første definisjonen.

Eksempel

$[1, 2, 3] x [2, 2, 0] = | \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \end{matrix} | = [0 - 6, 6 - 0, 2 - 4] = [- 6, 6, - 2]$

Merk at kryssproduktet ikke er kommutativt. Bruker vi definisjonen ser vi at

\vec{v_{2}} \times \vec{v_{1}} = - \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}

Geometrisk tolkning

Vektorproduktet $\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}$ er en ny vektor, si $\vec{v_{3}}$ , som står normalt (vinkelrett) på både $\vec{v_{1}}$ og $\vec{v_{2}}$ og har lengde $| \vec{v_{1}} | | \vec{v_{2}} | \sin (θ)$ der $θ$ er den minste vinkelen mellom vektorene. Retningen til $\vec{v_{3}}$ følger høyrehåndsregelen, dvs. at dersom vi tilpasser et slags koordinatsystem slik at $\vec{v_{1}}$ følger x-aksen i positiv retning og $\vec{v_{2}}$ følger y-aksen i positiv retning, vil $\vec{v_{3}}$ peke i positiv retning langs z-aksen.

Absoluttverdien av vektorproduktet

Absoluttverdien

| \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} |

er arealet til parallellogrammet utspent av vektorene. Bruker vi definisjonen kan vi vise at

| \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} | = | \vec{v_{1}} | | \vec{v_{2}} | \sin (θ)

der $θ$ er (den minste) vinkelen mellom vektorene. Da ser vi geometrisk at dette er likt arealet av parallellogrammet. For spesialtilfellet $θ = \frac{π}{2}$ vil vektorene utspenne et rektangel, og da ser vi enkelt at arealtolkningen stemmer siden $\sin (\frac{π}{2}) = 1$ .

Eksempler

Beregning av vektorprodukt

Gitt vektorene $\vec{p} = (1, 4, 2)$ og $\vec{q} = (9, 7, 1)$ beregner vi vektorproduktet som følger:

\vec{p} \times \vec{q} = (1, 4, 2) \times (9, 7, 1) = (4 \cdot 1 - 7 \cdot 2, - (1 \cdot 1 - 9 \cdot 2), 1 \cdot 7 - 9 \cdot 4) = (- 10, 17, - 29)

Høyrehåndsregelen

Vi har vektoren $\vec{v_{1}}$ og vektoren $\vec{v_{2}}$ . Vektorproduktet av de to vektorene vil være en vektor $\vec{v_{3}}$ som står vinkelrett på planet som inneholder vektoren $\vec{v_{1}}$ og vektoren $\vec{v_{2}}$ .

Dersom du bruker høyre hånd og holder pekefingren parallell med $\vec{v_{1}}$ , bøy langfingren slik at den er parallell med $\vec{v_{2}}$ og la tommelfingren stå rett ut fra hånden. Tommelen peker nå i samme retning som $\vec{v_{3}}$ . Regelen kalles høyrehåndsregelen.

Regneregler

Vektorproduktet skrives $\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}$ og kalles derfor ofte for kryssproduktet. Operasjoner er ikke kommutativ eller assosiativ. Følgende regneregler gjelder:

<math>\vec{v_1}\times \vec{v_1} = -( \vec{v_2} \times \vec{v_1}) \ \ (\vec{v_1} + \vec{v_2}) \times \vec{v_3} = (\vec{v_1} \times \vec{v_3}) + (\vec{v_2} \times \vec{v_3})\ \

(k\vec{v_1}) \times \vec{v_2} = \vec{v_1} \times (k\vec{v_2})= k(\vec{v_1} \times \vec{v_2})</math>

Når man tar skalarproduktet av to vektorer blir resultatet en skalar, eller et tall. Når man tar vektorproduktet blir resultatet en ny vektor. Lengden av denne vektoren er gitt ved:

$| \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} | = | \vec{v_{1}} | \cdot | \vec{v_{2}} | \cdot \sin ϕ, ϕ \in [0^{\circ}, 180^{\circ}]$ .

Bruksområder

Vektorproduktet brukes til å beskrive fenomener i fysikken og det kan også brukes til å regne ut arealer og volumer, samt til å bestemme et plans normalvektor. Eksempelvis har vi at:

Arealet at parallellogram

utspent av vektorene $\vec{v_{1}}$ og $\vec{v_{2}}$ er gitt ved $A = | \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} |$

Vektorene[-1, 4,0] og[2,2,0] ligger begge i xy planet og utspenner et parallellogram med areal 10, se figur til venstre. Ved å ta kryssproduktet får man vektoren [0, 0, 10] som jo er parallel med Z aksen, normalt på de to vektorene i xy planet. Denne vektoren har lengde 10, som jo er sammenfallende med arealet av parallellogrammet.

Arealet av en trekant

utspent av vektorene $\vec{v_{1}}$ og $\vec{v_{2}}$ er gitt ved $A = \frac{1}{2} \cdot | \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} |$

Volumet av en trekantet pyramide

bestemt av vektorene $\vec{v_{1}}$ , $\vec{v_{2}}$ og $\vec{v_{3}}$ er gitt ved $V = \frac{1}{6} \cdot | (\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}) \cdot \vec{v_{3}} |$

Volumet av en firkantet pyramide

bestemt av vektorene $\vec{v_{1}}$ , $\vec{v_{2}}$ og $\vec{v_{3}}$ er gitt ved $V = \frac{1}{3} \cdot | (\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}) \cdot \vec{v_{3}} |$

Volumet av et parallellepiped

bestemt av vektorene $\vec{v_{1}}$ , $\vec{v_{2}}$ og $\vec{v_{3}}$ er gitt ved $V = | (\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}) \cdot \vec{v_{3}} |$

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
 Vektorproduktet er en operasjon mellom to 3-dimensjonale vektorer som har nyttige anvendelser i blant annet areal- og volumberegninger og når vi skal finne normalvektorer til flater og plan i rommet. Merk at vektorproduktet slik det er definert ikke gir mening for annet enn 3- og 7-dimensjonale vektorer, der vi kun har fokus på det 3-dimensjonale tilfellet.
+==Determinanter==
+$\begin{vmatrix}a_{1,1} & a_{1,2}  \
+a_{2,1} & a_{2,2} \end{vmatrix}  = a_{1,1}\cdot a_{2,2} - a_{2,1} \cdot a_{1,2}  \quad \quad $
+[[Bilde:vektor004.png]]
+Når man multipliserer diagonalt nedover mot høyre blir fortegnet positivt. Multiplikasjon diagonalt nedover mot venstre gir negativt fortegn.
+ $| \begin{matrix} 1 & 4 & - 2 \\ 5 & 3 & 6 \\ 2 & 0 & - 1 \end{matrix} |$  = -3 - 0 + 48 +20 + 0 + 12 = 77
+Vi kom fram til dette på følgende måte: Vi utvider determinaten med to kolonner, slik at kolonne en og to repeteres etter kolonne tre.
+[[Bilde:vektor011.png]]
+ $(1 \cdot 3 \cdot (- 1) - 1 \cdot 6 \cdot 0) + (4 \cdot 6 \cdot 2 - 4 \cdot 5 \cdot (- 1)) + ((- 2) \cdot 5 \cdot 0 - (- 2) \cdot 3 \cdot 2) = - 3 - 0 + 48 + 20 + 0 + 12 = 77$
 == Definisjon av vektorprodukt (kryssprodukt)==
-Vi bruker notasjonen <tex>\times</tex> for vektorprodukt. Lar vi <tex>\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)</tex> og <tex>\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)</tex> er
+Vi bruker notasjonen <math>\times</math> for vektorprodukt. Lar vi <math>\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)</math> og <math>\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)</math> er
-:<tex>\vec{v_1}\times \vec{v_2}=\left ( y_1z_2-y_2z_1,-(x_1z_2-x_2z_1),x_1y_2-x_2y_1 \right )</tex>
+:<math>\vec{v_1}\times \vec{v_2}=\left ( y_1z_2-y_2z_1), -(x_1z_2-x_2z_1), (x_1y_2-x_2y_1 \right )</math>
@@ Linje 14: / Linje 29: @@
-:<tex> \vec{v_1}\times\vec{v_2} = \left|  $\begin{array}{ccc} i & j & k \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array}$  \right |</tex>
+:<math> \vec{v_1}\times\vec{v_2} = \left|  $\begin{array}{ccc} i & j & k \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array}$  \right |</math>
 Utvikler vi i første rad ser vi at determinanten blir
-:<tex>\vec{v_1}\times\vec{v_2}= (y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k</tex>.
+:<math>\vec{v_1}\times\vec{v_2}= (y_1z_2-y_2z_1)i, -(x_1z_2-x_2z_1)j, (x_1y_2-x_2y_1)k</math>.
+Her tolker vi  $i, j, k$  som enhetsvektorer langs x-,y- og z-aksen, og da ser vi at dette er i overensstemmelse med den første definisjonen.
+==Eksempel==
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
+ $[1, 2, 3] x [2, 2, 0] = | \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \end{matrix} | = [0 - 6, 6 - 0, 2 - 4] = [- 6, 6, - 2]$
+[[Bilde:vektor014.png]]
+</div>
-Her tolker vi <tex>i,j,k</tex> som enhetsvektorer langs x-,y- og z-aksen, og da ser vi at dette er i overensstemmelse med den første definisjonen.
@@ Linje 28: / Linje 54: @@
-:<tex>\vec{v_2}\times \vec{v_1}=-\vec{v_1}\times \vec{v_2}</tex>
+:<math>\vec{v_2}\times \vec{v_1}=-\vec{v_1}\times \vec{v_2}</math>
 == Geometrisk tolkning ==
@@ Linje 34: / Linje 60: @@
 [[Bilde:480px-Cross product parallelogram.svg.png|right|thumb|Geometrisk bilde av vektorproduktet]]
-Vektorproduktet <tex>\vec{v_1}\times \vec{v_2}</tex> er en ny vektor, si <tex>\vec{v_3}</tex>, som står normalt (vinkelrett) på både <tex>\vec{v_1}</tex> og <tex>\vec{v_2}</tex> og har lengde <tex>|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\sin(\theta)</tex> der <tex>\theta</tex> er den minste vinkelen mellom vektorene. Retningen til <tex>\vec{v_3}</tex> følger høyrehåndsregelen, dvs. at dersom vi tilpasser et slags koordinatsystem slik at <tex>\vec{v_1}</tex> følger x-aksen i positiv retning og <tex>\vec{v_2}</tex> følger y-aksen i positiv retning, vil <tex>\vec{v_3} </tex> peke i positiv retning langs z-aksen.
+Vektorproduktet <math>\vec{v_1}\times \vec{v_2}</math> er en ny vektor, si <math>\vec{v_3}</math>, som står normalt (vinkelrett) på både <math>\vec{v_1}</math> og <math>\vec{v_2}</math> og har lengde <math>|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\sin(\theta)</math> der <math>\theta</math> er den minste vinkelen mellom vektorene. Retningen til <math>\vec{v_3}</math> følger høyrehåndsregelen, dvs. at dersom vi tilpasser et slags koordinatsystem slik at <math>\vec{v_1}</math> følger x-aksen i positiv retning og <math>\vec{v_2}</math> følger y-aksen i positiv retning, vil <math>\vec{v_3} </math> peke i positiv retning langs z-aksen.
 === Absoluttverdien av vektorproduktet ===
@@ Linje 41: / Linje 67: @@
-:<tex>|\vec{v_1}\times \vec{v_2}|</tex>
+:<math>|\vec{v_1}\times \vec{v_2}|</math>
@@ Linje 47: / Linje 73: @@
-:<tex>|\vec{v_1}\times \vec{v_2}|=|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\sin(\theta)</tex>
+:<math>|\vec{v_1}\times \vec{v_2}|=|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\sin(\theta)</math>
-der <tex>\theta</tex> er (den minste) vinkelen mellom vektorene. Da ser vi geometrisk at dette er likt arealet av parallellogrammet. For spesialtilfellet <tex>\theta=\frac{\pi}{2}</tex> vil vektorene utspenne et rektangel, og da ser vi enkelt at arealtolkningen stemmer siden <tex>\sin(\frac{\pi}{2})=1</tex>.
+der <math>\theta</math> er (den minste) vinkelen mellom vektorene. Da ser vi geometrisk at dette er likt arealet av parallellogrammet. For spesialtilfellet <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> vil vektorene utspenne et rektangel, og da ser vi enkelt at arealtolkningen stemmer siden <math>\sin(\frac{\pi}{2})=1</math>.
 ==Eksempler==
@@ Linje 59: / Linje 84: @@
-Gitt vektorene <tex>\vec{p}=(1,4,2)</tex> og <tex>\vec{q}=(9,7,1)</tex> beregner vi vektorproduktet som følger:
+Gitt vektorene <math>\vec{p}=(1,4,2)</math> og <math>\vec{q}=(9,7,1)</math> beregner vi vektorproduktet som følger:
-:<tex> \vec{p}\times\vec{q}=(1,4,2)\times (9,7,1)=(4\cdot 1-7\cdot 2, -(1\cdot 1-9\cdot 2),1\cdot 7-9\cdot 4)=(-10,17,-29)</tex>
-Kladd:
+: $\vec{p} \times \vec{q} = (1, 4, 2) \times (9, 7, 1) = (4 \cdot 1 - 7 \cdot 2, - (1 \cdot 1 - 9 \cdot 2), 1 \cdot 7 - 9 \cdot 4) = (- 10, 17, - 29)$
 == Høyrehåndsregelen ==
-Vi har vektoren v1 og vektoren v2. Vektorproduktet av de to vektorene vil være en vektor v3 som står vinkelrett på planet som inneholder vektoren v1og vektoren v2.
+Vi har vektoren  $\vec{v_{1}}$  og vektoren  $\vec{v_{2}}$ . Vektorproduktet av de to vektorene vil være en vektor  $\vec{v_{3}}$  som står vinkelrett på planet som inneholder vektoren  $\vec{v_{1}}$  og vektoren  $\vec{v_{2}}$ .
-Dersom du bruker høyre hånd og holder pekefingren parallell med v1, bøy langfingren slik at den er parallell med v2 og la tommelfingren stå rett ut fra hånden. Tommelen peker nå i samme retning som v3. Regelen kalles høyrehåndsregelen.
+Dersom du bruker høyre hånd og holder pekefingren parallell med  $\vec{v_{1}}$ , bøy langfingren slik at den er parallell med  $\vec{v_{2}}$  og la tommelfingren stå rett ut fra hånden. Tommelen peker nå i samme retning som  $\vec{v_{3}}$ . Regelen kalles høyrehåndsregelen.
+[[Bilde:Haand.gif]]
+== Regneregler ==
-Vektorproduktet skrives v1x v2 og kalles derfor ofte for kryssproduktet. Operasjoner er ikke kommutativ eller assosiativ. Følgende regneregler gjelder:
+Vektorproduktet skrives  $\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}$  og kalles derfor ofte for kryssproduktet. Operasjoner er ikke kommutativ eller assosiativ. Følgende regneregler gjelder:
-• v1 x v2 = -(v2 x v1)
+<math>\vec{v_1}\times \vec{v_1} = -( \vec{v_2} \times \vec{v_1}) \ \
-•(v1 + v2) x v3 = (v1 x v3) + (v2 x v3)
+(\vec{v_1} + \vec{v_2}) \times \vec{v_3} = (\vec{v_1} \times \vec{v_3}) + (\vec{v_2} \times \vec{v_3})\  \
-•(kv1) x v2 = v1 x (kv2)= k(v1 x v2)
+(k\vec{v_1}) \times \vec{v_2} = \vec{v_1} \times (k\vec{v_2})= k(\vec{v_1} \times \vec{v_2})</math> <p></p>
 Når man tar skalarproduktet av to vektorer blir resultatet en skalar, eller et tall. Når man tar vektorproduktet blir resultatet en ny vektor. Lengden av denne vektoren er gitt ved:
-|v1x v2| = |v1|· |v1|· sin γ, γ Є [0º,180º].
+<math>|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = |\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|\cdot \sin \phi, \quad \phi \in [0^{\circ},180^{\circ}]</math>.
-Dersom to vektorer i rommet har koordinatene: [x1,y1,z1] og [x2,y2,z2] er vektorproduktet
-[x1,y1,z1] x [x2,y2,z2] = [y1z2- z1y2, z1x2- x1z2, x1y2-y1x2]
 == Bruksområder ==
@@ Linje 104: / Linje 114: @@
 Vektorproduktet brukes til å beskrive fenomener i fysikken og det kan også brukes til å regne ut arealer og volumer, samt til å bestemme et plans normalvektor. Eksempelvis har vi at:
+=== Arealet at parallellogram ===
+utspent av vektorene  $\vec{v_{1}}$  og  $\vec{v_{2}}$  er gitt ved
+ $A = | \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} |$
+[[Bilde:vektor013.png]]  [[Bilde:vektor012.png]]
-•Volumet av en trekantet pyramide bestemt av vektorene v1, v2 og v3 er gitt ved
-/6 ·|(v1x v2)·v3|
+Vektorene[-1, 4,0] og[2,2,0] ligger begge i xy planet og utspenner et parallellogram med areal 10, se figur til venstre. Ved å ta kryssproduktet får man vektoren [0, 0, 10] som jo er parallel med Z aksen, normalt på de to vektorene i xy planet. Denne vektoren har lengde 10, som jo er sammenfallende med arealet av parallellogrammet.
+=== Arealet av en trekant ===
+utspent av vektorene  $\vec{v_{1}}$  og  $\vec{v_{2}}$  er gitt ved
+ $A = \frac{1}{2} \cdot | \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} |$
-•Volumet av en firkantet pyramide bestemt av vektorene v1, v2 og v3 er gitt ved
+[[Bilde:vektor005.png]]
-/3 ·|(v1x v2)·v3|
-•Volumet av en parallellepiped bestemt av vektorene v1, v2 og v3 er gitt ved
-|(v1x v2)·v3|
+=== Volumet av en trekantet pyramide ===
+bestemt av vektorene  $\vec{v_{1}}$ ,  $\vec{v_{2}}$  og  $\vec{v_{3}}$  er gitt ved
+ $V = \frac{1}{6} \cdot | (\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}) \cdot \vec{v_{3}} |$
+[[Bilde:vektor007.png]]
-•Et parallellogram utspent av vektorene v1 og v2 har et areal gitt ved
+=== Volumet av en firkantet pyramide ===
-|v1 x v2|
+bestemt av vektorene  $\vec{v_{1}}$ ,  $\vec{v_{2}}$  og  $\vec{v_{3}}$  er gitt ved
+<math>V= \frac 13 \cdot |(\vec{v_1} \times \vec{ v_2})\cdot \vec{v_3}|</math>
-•En trekant utspent av vektorene v1 og v2 har et areal gitt ved
+[[Bilde:vektor009.png]] [[Bilde:vektor010.png]]
-/2·|v1 x v2|
+=== Volumet av et parallellepiped ===
+bestemt av vektorene  $\vec{v_{1}}$ ,  $\vec{v_{2}}$  og  $\vec{v_{3}}$  er gitt ved
+ $V = | (\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}) \cdot \vec{v_{3}} |$
-----
 [[kategori:lex]]