Aritmetriske rekker: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Plutarco (diskusjon | bidrag)
Ingen redigeringsforklaring
Quiz (diskusjon | bidrag)
 
(19 mellomliggende versjoner av 4 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
== Aritmetisk progresjon ==
== Aritmetisk progresjon ==
En aritmetisk følge er en tallfølge, <tex>(x_i)_{i\in\mathbb{N}}</tex>, slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <tex>x_{i+1}-x_i=k</tex>.
En aritmetisk følge er en tallfølge, $\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}(\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <math>a_{i+1}-a_i=d</math>.
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
'''Eksempel'''
 
:Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at <math>a_{i+1}-a_i=2</math>. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. <math>a_1=3</math>. Følgen {ai}iN er nå entydig bestemt siden formlene over gir at a2a1=a23=2. Dette gir at a2=2+3=5. Videre er a3a2=a35=2, så a3=2+5=7 osv.
</blockquote>
 
 
 
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=9F6%2B9F7%2B9F8%2B9F9%2B9FA%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


== Aritmetisk rekke (sum) ==
== Aritmetisk rekke (sum) ==
En aritmetisk rekke er summen av leddene i en aritmetisk progresjon; Den n-te partialsummen er <tex>S_n=\sum_{i=1}^{n}x_i</tex>.
En aritmetisk rekke er summen av leddene ai i en aritmetisk progresjon {ai}iN med et endelig antall ledd N. Den <math>n</math>-te partialsummen(delsummen) er summen av de nN første leddene i rekken og kan defineres ved at <math>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i</math>. Siden ai+1=d+ai for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av n ledd:
 
Sn=i=1nai=a1+(a1+d)+(a1+2d)+...+(a1+(n1)d)=na1+i=1n(i1)d=na1+di=0n1i=na1+n(n1)2d
 
Merk at formelen kun avhenger av startverdien a1 og den konstante differansen <math>d</math>.


For en aritmetisk rekke er <tex>S=\sum_{i=1}^n a_i =\frac{a_1+a_n}{2}n</tex>
Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <math>S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</math>. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt a1+an2. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på a1+an2, blir summen <math>\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n</math>.


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
Linje 11: Linje 26:
'''Eksempel'''
'''Eksempel'''


:La oss se på den endelige følgen <tex>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</tex>. Da blir summen <tex>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{11\cdot 10}{2}=55</tex>
:La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</math> Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{1+10}{2}\cdot 10 = 55</math>
</blockquote>
</blockquote>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=984%2B985%2B986%2B987%2B988%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
----
[[R2 Hovedside|Tilbake til R2 Hovedside]]
[[Kategori:Algebra]]
[[Kategori:R2]]
[[Kategori:S2]]
[[Kategori:Ped]]

Siste sideversjon per 5. jul. 2020 kl. 10:00

Aritmetisk progresjon

En aritmetisk følge er en tallfølge, {ai}iN (N={1,2,3,...}), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; ai+1ai=d.

Eksempel

Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at ai+1ai=2. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. a1=3. Følgen {ai}iN er nå entydig bestemt siden formlene over gir at a2a1=a23=2. Dette gir at a2=2+3=5. Videre er a3a2=a35=2, så a3=2+5=7 osv.


Test deg selv

Aritmetisk rekke (sum)

En aritmetisk rekke er summen av leddene ai i en aritmetisk progresjon {ai}iN med et endelig antall ledd N. Den n-te partialsummen(delsummen) er summen av de nN første leddene i rekken og kan defineres ved at Sn=i=1nai. Siden ai+1=d+ai for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av n ledd:

Sn=i=1nai=a1+(a1+d)+(a1+2d)+...+(a1+(n1)d)=na1+i=1n(i1)d=na1+di=0n1i=na1+n(n1)2d

Merk at formelen kun avhenger av startverdien a1 og den konstante differansen d.

Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved Sn=i=1nai=a1+an2n. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt a1+an2. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på a1+an2, blir summen a1+an2n.

Eksempel

La oss se på den endelige følgen (ai=i)i[1,10]={1,2,,10} Da blir summen S=i=110i=1+10210=55


Test deg selv


Tilbake til R2 Hovedside