Aritmetriske rekker: Forskjell mellom sideversjoner

Siste sideversjon per 5. jul. 2020 kl. 10:00

Aritmetisk progresjon

En aritmetisk følge er en tallfølge, ${a_{i}}_{i \in N}$ ( $N = {1, 2, 3, . . .}$ ), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; $a_{i + 1} - a_{i} = d$ .

Eksempel

Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at $a_{i + 1} - a_{i} = 2$ . For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. $a_{1} = 3$ . Følgen ${a_{i}}_{i \in N}$ er nå entydig bestemt siden formlene over gir at $a_{2} - a_{1} = a_{2} - 3 = 2$ . Dette gir at $a_{2} = 2 + 3 = 5$ . Videre er $a_{3} - a_{2} = a_{3} - 5 = 2$ , så $a_{3} = 2 + 5 = 7$ osv.

Test deg selv

Aritmetisk rekke (sum)

En aritmetisk rekke er summen av leddene $a_{i}$ i en aritmetisk progresjon ${a_{i}}_{i \in N}$ med et endelig antall ledd $N$ . Den $n$ -te partialsummen(delsummen) er summen av de $n \leq N$ første leddene i rekken og kan defineres ved at $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ . Siden $a_{i + 1} = d + a_{i}$ for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av $n$ ledd:

$S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) + . . . + (a_{1} + (n - 1) d) = n a_{1} + \sum_{i = 1}^{n} (i - 1) d = n a_{1} + d \sum_{i = 0}^{n - 1} i = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d$

Merk at formelen kun avhenger av startverdien $a_{1}$ og den konstante differansen $d$ .

Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} n$ . Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt $\frac{a_{1} + a_{n}}{2}$ . Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på $\frac{a_{1} + a_{n}}{2}$ , blir summen $\frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$ .

Eksempel

La oss se på den endelige følgen $(a_{i} = i)_{i \in [1, 10]} = {1, 2, \dots, 10}$ Da blir summen $S = \sum_{i = 1}^{10} i = \frac{1 + 10}{2} \cdot 10 = 55$

Test deg selv

Tilbake til R2 Hovedside

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
 == Aritmetisk progresjon ==
-En aritmetisk følge er en tallfølge, <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</tex> (<math>\mathbb{N}=\{1,2,3,...}</tex>), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <math>a_{i+1}-a_i=d</tex>.
+En aritmetisk følge er en tallfølge, $\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ ($\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <math>a_{i+1}-a_i=d</math>.
 <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
@@ Linje 6: / Linje 6: @@
 '''Eksempel'''
-: Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at <math>a_{i+1}-a_i=2</tex>. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. <math>a_1=3</tex>. Følgen <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</tex> er nå entydig bestemt siden formlene over gir at <math>a_2-a_1=a_2-3=2</tex>. Dette gir at <math>a_2=2+3=5</tex>. Videre er <math>a_3-a_2=a_3-5=2</tex>, så <math>a_3=2+5=7</tex> osv.
+:Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at <math>a_{i+1}-a_i=2</math>. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. <math>a_1=3</math>. Følgen <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math> er nå entydig bestemt siden formlene over gir at <math>a_2-a_1=a_2-3=2</math>. Dette gir at <math>a_2=2+3=5</math>. Videre er <math>a_3-a_2=a_3-5=2</math>, så <math>a_3=2+5=7</math> osv.
 </blockquote>
@@ Linje 14: / Linje 14: @@
 == Aritmetisk rekke (sum) ==
-En aritmetisk rekke er summen av leddene <math>a_i</tex> i en aritmetisk progresjon <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</tex> med et endelig antall ledd <math>N</tex>. Den <math>n</tex>-te partialsummen(delsummen) er summen av de <math>n\leq N</tex> første leddene i rekken og kan defineres ved at <math>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i</tex>. Siden <math>a_{i+1}=d+a_i</tex> for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av <math>n</tex> ledd:
+En aritmetisk rekke er summen av leddene <math>a_i</math> i en aritmetisk progresjon <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math> med et endelig antall ledd <math>N</math>. Den <math>n</math>-te partialsummen(delsummen) er summen av de <math>n\leq N</math> første leddene i rekken og kan defineres ved at <math>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i</math>. Siden <math>a_{i+1}=d+a_i</math> for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av <math>n</math> ledd:
-<math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=na_1+\sum_{i=1}^n (i-1)d=na_1+d\sum_{i=0}^{n-1} i=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d</tex>
+<math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=na_1+\sum_{i=1}^n (i-1)d=na_1+d\sum_{i=0}^{n-1} i=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d</math>
-Merk at formelen kun avhenger av startverdien <math>a_1</tex> og den konstante differansen <math>d</tex>.
+Merk at formelen kun avhenger av startverdien <math>a_1</math> og den konstante differansen <math>d</math>.
-Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <math>S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</tex>. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt <math>\frac{a_1+a_n}{2}</tex>. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på <math>\frac{a_1+a_n}{2}</tex>, blir summen <math>\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n</tex>.
+Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <math>S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</math>. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt <math>\frac{a_1+a_n}{2}</math>. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på <math>\frac{a_1+a_n}{2}</math>, blir summen <math>\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n</math>.
 <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
@@ Linje 26: / Linje 26: @@
 '''Eksempel'''
-:La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</tex>. Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{11\cdot 10}{2}=55</tex>
+:La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</math> Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{1+10}{2}\cdot 10 = 55</math>
 </blockquote>