1T 2021 vår K06 LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

← Forrige endring

Siste sideversjon per 4. nov. 2021 kl. 04:36

26.05.2021 MAT1013 Matematikk 1T Kunnskapsløftet K06

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Videoløsningsforslag del 1 av Lektor Lainz

DEL EN

Oppgave 1

$[\begin{array}{r} 2 x - y = 4 \\ x - 2 y = 5 \end{array}]$

$[\begin{array}{r} 2 x - y = 4 \\ x = 2 y + 5 \end{array}]$

$[\begin{array}{r} 2 (2 y + 5) - y = 4 \\ x = 2 y + 5 \end{array}]$

$[\begin{array}{r} 3 y = - 6 \\ x = 2 y + 5 \end{array}]$

$[\begin{array}{r} y = - 2 \\ x = 1 \end{array}]$

Oppgave 2

Sin(60)

$(\frac{3}{4})^{- 1} = \frac{4}{3}$

$S i n (160^{\circ}) = s i n (20^{\circ})$

lg(1) = 0

Sinus avleses på y aksen i enhetssirkelen og er positiv i første og andre kvadrant. Sin(60) > Sin(20).

Vi får i stigende rekkefølge

lg (1) , $s i n (160^{\circ})$ , $s i n (60^{\circ})$ , $(\frac{3}{4})^{- 1}$

Oppgave 3

$\frac{x}{x - 3} + \frac{x - 6}{x + 3} - \frac{18}{x^{2} - 9} = \frac{x (x + 3) + (x - 6) (x - 3) - 18}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - 9 x + 18 - 18}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{2 x^{2} - 6 x}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{2 x (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{2 x}{x + 3}$

Oppgave 4

$f (x) = (x + 4) (x - 2) = x^{2} + 2 x - 8$

En ulikhet som har løsningsmengde $x \in [- 4, 2]$ er: $f (x) \leq 0$

Oppgave 5

Grafen er symmetrisk om y aksen og er -2 når x= 0:

$f (x) = a x^{2} - 2$

f(2)= 2 betyr at a = 1. Altså er funksjonsuttrykket $f (x) = x^{2} - 2$

Oppgave 6

$f (x) = - 2 x + 9$

g er parallell med f, dvs den har stigningstall -2.

g(x) = -2x +b

g går gjennom punktet (20, -72):

$- 72 = - 2 \cdot 20 + b b = - 32$

g(x) = -2x - 32

Oppgave 7

$3^{- 2} \frac{a^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{a^{3}}}{(a^{\frac{3}{4}})^{3} \cdot a^{0}} = \frac{1}{9} \cdot a^{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - \frac{9}{4} - 0} = \frac{1}{9} a^{- \frac{1}{2}}$

Oppgave 8

a)

$3^{2 x + 2} = 81 3^{2 x + 2} = 9^{2} 3^{2 x + 2} = 3^{4} 2 x + 2 = 4 x = 1$

b)

$l g (\frac{1}{2 x + 2}) = - 2 10^{l g (\frac{1}{2 x + 2})} = 10^{- 2} \frac{1}{2 x + 2} = \frac{1}{100} 2 x + 2 = 100 x = 49$

Oppgave 9

a)

	Fornøyd	Ikke Fornøyd	Sum
VG 1	$48$	$72$	$120$
VG 3	$90$	$60$	$150$
Sum	$138$	$132$	$270$

b)

Tilfeldig elev fornøyd. $P (F) = \frac{138}{270} = 0, 5$

Oppgave 10

Bruker arealsetningen: $A = \frac{1}{2} a b \cdot s i n (v)$

$15 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 15 \cdot s i n (v) 30 = 60 \cdot s i n (v) s i n (v) = \frac{1}{2} v = 30^{\circ}$

Oppgave 11

Posen er 1 kg. Vekt sjokolade = x. Vekt marsipan = y.

$x + y = 1$

Det koster 116 kroner å lage en pose ( 166 kr gir 50 kroner i forteneste.:

$100 x + 140 y = 116 100 x + 140 (1 - x) = 116 - 40 x = - 24 x = 0, 6$

Det er 600 gram marsipan, og 400 gram sjokolade i posen.

Oppgave 12

Setter sidekanten i kvadratene lik 1.

Finner cos(v) ved å bruke Pytagoras og definisjon av cosinus: $c o s (v) = \frac{3}{\sqrt{10}}$

Finner cos(u) ved å bruke cosinussetningen og Pytagoras:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot c o s (A) c o s (u) = \frac{1 - (\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{8})^{2}}{- 2 \cdot \sqrt{5} \sqrt{8}} = \frac{1 - 5 - 8}{- 4 \sqrt{5} \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

Oppgave 13

Momentan vekst i (3, f(3))

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8 f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 f^{'} (3) = 27 - 12 - 4 = 11$

Gjennomsnittlig vekst i [-3, 0]: $\frac{f (0) - f (- 3)}{3} = \frac{8 - (- 27 - 18 + 12 + 8)}{3} = \frac{33}{3} = 11$

Oppgave 14

$f (x) = x^{2} + 21$

Høyden i rektangelet er f(x). Bredden av rektangelet er (12 - x).

Arealet av rektangelet er $A (x) = f (x) (12 - x) = (x^{2} + 21) (12 - x) = 12 x^{2} - x^{3} + 252 - 21 x = - x^{3} + 12 x^{2} - 21 x + 252$

Deriverer:

$(A (x))^{'} = - 3 x^{2} + 24 x - 21$

Finner den x verdi hvor A er størst, ved å sette den deriverte lik null: $- 3 x^{2} + 24 x - 21 = 0 - 3 (x^{2} - 8 x + 7) = 0 - 3 x (x - 1) (x - 7) = 0 x = 1 \lor x = 7$

Den deriverte vender sin hule side ned, maksimumspunktet vil derfor være for x=7.

$A (7) = - (7^{3}) + 12 \cdot 7^{2} - 21 \cdot 7 + 252 = 350$

DEL TO

Oppgave 1

a)

b)

Stigningstallet er 194,5. Det betyr at antall cruiseturister i perioden 2010-2019 økte i gjennomsnitt med ca. 194 500 per år.

c)

Nedgangen var på nesten 97%.

Oppgave 2

Ut fra gitt informasjon er det naturlig å prøve seg med arealsetningen. Innsatt i CAS:

Vinkelen mellom sidene i trekanten er 60 grader. Da vet vi også at en vinkel på 180 - 60 = 120 grader også tilfredsstiller betingelsene.

Oppgave 3

Dersom han trekker uten tilbakelegging:

P(to av samme farge:) = P(to hvite) + P( to røde) = $\frac{6}{16} \cdot \frac{5}{15} + \frac{10}{16} \cdot \frac{9}{15} = \frac{24}{48} = 0, 5$ = 50%

Vel dersom det er 50% sannsynlig at man trekker to drops med lik farge, må resten av mulighetene være ulik farge, altså 50% for det også.

Trekning med tilbakeligging:

P(to av samme farge:) = P(to hvite) + P( to røde) = $\frac{6}{16} \cdot \frac{6}{16} + \frac{10}{16} \cdot \frac{10}{16} = \frac{36 + 100}{256} = 0, 53$ = 53%

Med tilbakelegging er ikke sannsynligheten for to like farger den samme som for to ulike farger. Detter er en svakhet med oppgaven og trekningsmetode burde vært presisert.

Oppgave 4

a)

Et rektangel som har en bredde på n enheter og en lengde på (n+1) enheter vil bestå av n(n+1) enheter. Deler man rektangelet diagonalt i to like store trekanter får man:

$T_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$

b)

$T_{n + 1} = \frac{(n + 1) ((n + 1) + 1)}{2} = \frac{n^{2} + 2 n + n + 1}{2} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n + \frac{1}{2}$

c)

Forutsetter trekning uten tilbakelegging:

Sannsynligheten for to like farger er 0,5, eller 50%. Da er den også 50% for to ulike farger, ved to trekninger uten tilbakelegging

@@ Linje 6: / Linje 6: @@
 [https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3661 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]
+[https://youtu.be/GczhXzdMKeA Videoløsningsforslag del 1 av Lektor Lainz]
@@ Linje 11: / Linje 13: @@
 ===Oppgave 1===
+ $[\begin{array}{r} 2 x - y = 4 \\ x - 2 y = 5 \end{array}]$
+ $[\begin{array}{r} 2 x - y = 4 \\ x = 2 y + 5 \end{array}]$
+ $[\begin{array}{r} 2 (2 y + 5) - y = 4 \\ x = 2 y + 5 \end{array}]$
+ $[\begin{array}{r} 3 y = - 6 \\ x = 2 y + 5 \end{array}]$
+ $[\begin{array}{r} y = - 2 \\ x = 1 \end{array}]$
 ===Oppgave 2===
+Sin(60)
+ $(\frac{3}{4})^{- 1} = \frac{4}{3}$
+ $S i n (160^{\circ}) = s i n (20^{\circ})$
+lg(1) = 0
+Sinus avleses på y aksen i enhetssirkelen og er positiv i første og andre kvadrant. Sin(60) > Sin(20).
+Vi får i stigende rekkefølge
+lg (1) ,  $s i n (160^{\circ})$  ,  $s i n (60^{\circ})$  ,  $(\frac{3}{4})^{- 1}$
 ===Oppgave 3===
@@ Linje 28: / Linje 55: @@
 ===Oppgave 5===
+Grafen er symmetrisk om y aksen og er -2 når x= 0:
+ $f (x) = a x^{2} - 2$
+f(2)= 2 betyr at a = 1. Altså er funksjonsuttrykket  $f (x) = x^{2} - 2$
 === Oppgave 6===
+ $f (x) = - 2 x + 9$
+g er parallell med f, dvs den har stigningstall -2.
+g(x) = -2x +b
+g går gjennom punktet (20, -72):
+ $- 72 = - 2 \cdot 20 + b b = - 32$
+g(x) = -2x - 32
 === Oppgave 7 ===
- $3^{- 2} \frac{a^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{a^{3}}}{(a^{\frac{3}{4}})^{3} \cdot a^{0}}$
+$3^{-2} \frac{a^{\frac 14} \cdot \sqrt{a^3}}{(a^{\frac 34})^3 \cdot a^0}  =\frac 19 \cdot a^{ \frac 14 + \frac 32 -\frac 94 - 0} = \frac 19 a^{ - \frac 12}$
 ===Oppgave 8 ===
@@ Linje 45: / Linje 89: @@
 ==b)==
+ $l g (\frac{1}{2 x + 2}) = - 2 10^{l g (\frac{1}{2 x + 2})} = 10^{- 2} \frac{1}{2 x + 2} = \frac{1}{100} 2 x + 2 = 100 x = 49$
 ===Oppgave 9 ===
+===a)===
+{| width="auto"
+|
+|Fornøyd
+|Ikke Fornøyd
+|Sum
+|-
+|VG 1
+|  $48$
+|  $72$
+|  $120$
+|-
+|VG 3
+| $90$
+| $60$
+| $150$
+|-
+|Sum
+| $138$
+| $132$
+| $270$
+|}
+===b)===
+Tilfeldig elev fornøyd.  $P (F) = \frac{138}{270} = 0, 5$
 ===Oppgave 10===
+Bruker arealsetningen:  $A = \frac{1}{2} a b \cdot s i n (v)$
+ $15 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 15 \cdot s i n (v) 30 = 60 \cdot s i n (v) s i n (v) = \frac{1}{2} v = 30^{\circ}$
 ===Oppgave 11===
+Posen er 1 kg. Vekt sjokolade = x. Vekt marsipan = y.
+ $x + y = 1$
+Det koster 116 kroner å lage en pose ( 166 kr gir 50 kroner i forteneste.:
+ $100 x + 140 y = 116 100 x + 140 (1 - x) = 116 - 40 x = - 24 x = 0, 6$
+Det er 600 gram marsipan, og 400 gram sjokolade i posen.
 ===Oppgave 12===
+Setter sidekanten i kvadratene lik 1.
+Finner cos(v) ved å bruke Pytagoras og definisjon av cosinus:  $c o s (v) = \frac{3}{\sqrt{10}}$
+Finner cos(u) ved å bruke cosinussetningen og Pytagoras:
+ $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot c o s (A) c o s (u) = \frac{1 - (\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{8})^{2}}{- 2 \cdot \sqrt{5} \sqrt{8}} = \frac{1 - 5 - 8}{- 4 \sqrt{5} \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$
 ===Oppgave 13===
+Momentan vekst i (3, f(3))
+ $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8 f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 f^{'} (3) = 27 - 12 - 4 = 11$
+Gjennomsnittlig vekst i [-3, 0]:   $\frac{f (0) - f (- 3)}{3} = \frac{8 - (- 27 - 18 + 12 + 8)}{3} = \frac{33}{3} = 11$
 ===Oppgave 14===
+ $f (x) = x^{2} + 21$
+Høyden i rektangelet er f(x). Bredden av rektangelet er (12 - x).
+Arealet av rektangelet er  $A (x) = f (x) (12 - x) = (x^{2} + 21) (12 - x) = 12 x^{2} - x^{3} + 252 - 21 x = - x^{3} + 12 x^{2} - 21 x + 252$
+Deriverer:
+ $(A (x))^{'} = - 3 x^{2} + 24 x - 21$
+Finner den x verdi hvor A er størst, ved å sette den deriverte lik null:
+ $- 3 x^{2} + 24 x - 21 = 0 - 3 (x^{2} - 8 x + 7) = 0 - 3 x (x - 1) (x - 7) = 0 x = 1 \lor x = 7$
+Den deriverte vender sin hule side ned, maksimumspunktet vil derfor være for x=7.
+ $A (7) = - (7^{3}) + 12 \cdot 7^{2} - 21 \cdot 7 + 252 = 350$
 ===DEL TO===
+==Oppgave 1==
+===a)===
+[[File:221021-03.png ]]
+===b)===
+[[File:221021-04.png]]
+Stigningstallet er 194,5. Det betyr at antall cruiseturister i perioden 2010-2019 økte i gjennomsnitt med ca. 194 500 per år.
+===c)===
+[[File:221021-05.png]]
+Nedgangen var på nesten 97%.
+===Oppgave 2===
+Ut fra gitt informasjon er det naturlig å prøve seg med arealsetningen. Innsatt i CAS:
+[[File:311021-02.png]]
+Vinkelen mellom sidene i trekanten er 60 grader. Da vet vi også at en vinkel på 180 - 60 = 120 grader også tilfredsstiller betingelsene.
+==Oppgave 3==
+Dersom han trekker uten tilbakelegging:
+P(to av samme farge:) = P(to hvite) + P( to røde) = $\frac{6}{16} \cdot \frac{5}{15} + \frac{10}{16} \cdot \frac{9}{15} = \frac{24}{48} = 0, 5$  = 50%
+Vel dersom det er 50% sannsynlig at man trekker to drops med lik farge, må resten av mulighetene være ulik farge, altså 50% for det også.
+Trekning med tilbakeligging:
+P(to av samme farge:) = P(to hvite) + P( to røde) = $\frac{6}{16} \cdot \frac{6}{16} + \frac{10}{16} \cdot \frac{10}{16} = \frac{36 + 100}{256} = 0, 53$  = 53%
+Med tilbakelegging er ikke sannsynligheten for to like farger den samme som for to ulike farger. Detter er en svakhet med oppgaven og trekningsmetode burde vært presisert.
+==Oppgave 4==
+===a)===
+Et rektangel som har en bredde på n enheter og en lengde på (n+1) enheter vil bestå av n(n+1) enheter. Deler man rektangelet diagonalt i to like store trekanter får man:
+ $T_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$
+===b)===
+ $T_{n + 1} = \frac{(n + 1) ((n + 1) + 1)}{2} = \frac{n^{2} + 2 n + n + 1}{2} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n + \frac{1}{2}$
+===c)===
+Forutsetter trekning uten tilbakelegging:
+[[File:041121-01.png]]
+Sannsynligheten for to like farger er 0,5, eller 50%. Da er den også 50% for to ulike farger, ved to trekninger uten tilbakelegging
+==Oppgave 5==
+===a)===
+===b)===
+===c)===