S1 2024 Høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Siste sideversjon per 1. jan. 2025 kl. 08:14

DEL EN

Oppgave 1

$f (x) = \frac{e^{2 x}}{x}$

Deriverer f: $f^{'} (x) = \frac{(e^{2 x})^{'} \cdot x + x^{'} \cdot e^{2 x}}{x^{2}} = \frac{2 x e^{2 x} + e^{2 x}}{x^{2}} = \frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{x^{2}}$

Oppgave 2

Programmet leter etter toppunktet til funksjonen $O (x) = - 0, 1 x^{2} + 2000 x - 50000$ .

Programmet løper gjennom en while løkke og sjekker funksjonsverdien O(x+1) i forhold til O(x). Så lenge O(x+1)> O(x) fortsetter løkken. Når det ikke lenger er tilfellet, skriver det ut x- verdien.

Vi deriver O og setter uttrykket lik null.

$- 0, 2 x + 2000 = 0$

$x = \frac{- 2000}{- 0, 2} = 10000$

Programmet skriver ut 10000, som er x verdien som gir størst funksjonsverdi.

Oppgave 3

$100^{x} - 3 \cdot 10^{x} = 4$

$(10^{2})^{x} - 3 \cdot 10^{x} - 4 = 0$

$(10^{x})^{2} - 3 \cdot 10^{x} - 4 = 0$

$10^{x} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

$10^{x} = \frac{3 \pm 5}{2}$

Vi er bare interessert i den positive verdien fordi vi ikke kan opphøye 10 i noe som gir en negativ verdi.

$10^{x} = 4$

$x = l g (4)$

Oppgave 4

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + x - 12}{2 x^{2} - 18}$

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} - \frac{12}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} - \frac{18}{x^{2}}}$

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}{2 - \frac{18}{x^{2}}} = \frac{1}{2}$

Oppgave 5

a)

To kuler med samme farge:

P(to i samme farge) = P(to røde) + P(to blå) + P( to gule)

$\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} + \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{8} = \frac{12 + 6 + 2}{72} = \frac{5}{18}$

b)

Nøyaktig en gul

$P (e n g u l) = P (g u l) \cdot P (a n n e n f a r g e) + P (a n n e n f a r g e) \cdot P (g u l)$

$P (e n g u l) = \frac{2}{9} \cdot \frac{7}{8} + \frac{7}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{28}{72} = \frac{7}{18}$

Oppgave 6

Både g og f tilfredsstiller kravet om gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [0,4]. g har derivert lik 0,5 for alle x, så det er kun f som tilfredsstiller kravene.

DEL TO

Oppgave 1

a)

Forskjellige antrekk (multiplikasjonsprinsippet):

FA = $10 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 5 = 225000$

Det er mulig å lage 225 000 antrekk.

b)

Han trekker 3 tilfeldige sko ut fra 5 par, 10 sko.

Sannsynligheten for at han får et par er jo lik 1 minus sannsynligheten for tre forskjellige:

$P (p a r) = 1 - P (3 u l i k e) = 1 - 1 \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{6}{8} = \frac{1}{3}$

Tankegang for P(3 ulike): Vi har ingen sko, sannsynligheten for å trekke en ulik sko er 1. Vi har en sko og det er 9 igjen. 8 av disse er forskjellige fra den vi har. Vi multipliserer derfor med 8/9. Vi har to ulike sko og det er 8 igjen i mengden vi trekker fra. To av disse vil gi oss par. Vi ekskluderer disse og multipliserer med 6/8.

c)

For at antall antrekk skal overstige 542000 må antallet litt mer enn dobles. Det minste antallet er det som krever det minste antall enheter for å dobles. I figuren nedenfor er x antall par sko. Vi ser at ved å øke antall par med 8 vil antall antrekk bli større enn antall innbyggere.

Oppgave 2

a)

Gjennomsnittlig vekstfart: $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (4) - f (1)}{4 - 1} = \frac{18 - 3}{3} = 5$

Påstanden er riktig.

b)

Begge går mot samme grenseverdi når x går mot pluss eller minus uendelig. Påstanden er feil.

c)

Påstanden er feil for $a \in R$

$a \in R ∖ {- 1, 0, 1}$ så er x = y.

a= - 1 gir løsninger når både x og y er partall, eller når begge er oddetall

$a = 0 \lor a = 1$ er $x \neq y$ løsninger, såvel som $x = y$

Oppgave 3

Logaritmen til basisen for logaritmen er 1. Eksempelvis er $l g_{10} (10) = 1$ og $l n (e) = 1$ . Derfor er basis her 5.

Oppgave 4

a)

Binomisk forsøk fordi:

Sannsynlighet lik i alle forsøk
To mulige utfall: vinn eller ikke
Uavhengig tidligere forsøk

Kan bruke sannsynlighetskalkulator i Geogebra, og prøve seg fram:

Det er antallet n vi her prøver oss fram med.

Man må regne med at det tar ca 223 dager (ca 7,5 måneder) før sannsynligheter er 20% for å vinne minst en reise.

Dersom du foretrekker å regne for hånd:

$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0)$

$P (X = 0) = (1 - p)^{n}$

$1 - (1 - p)^{n} \geq 0, 2$

$(1 - 0, 001)^{n} \geq 0, 8$

$n \ln (0, 999) \geq \ln (0, 8)$

$n \geq 223$

b)

Overskudd knekkebrød : $O (x) = 40 x - 10 x - 5 x = 25 x$

x er antall solgte pakker. -5x er kostnaden ved gavekort, 5000kr per 1000 pakke.

Deriverer vi O ser man at overskuddet er 25 kr /pakke.

Vi kaller utsalgsprisen på Gullknekk for k. og finner overskuddet:

$O_{G u l l k n e k k} (x) = k x - 60 x = (k - 60) x$

$k - 60 = 25$ $k = 85$

Dersom overskuddet skal være likt må utsalgsprisen være 85 kroner.

c)

Gjennomsnittlig sannsynlighet for å vinne minst en gang i løpet av året er 0,36%, basert på 1 000 000 simmuleringer (tar lang tid).

Oppgave 5

a)

Antall parkeringsplasser nå er x

Inntekter nå er 1000x per måned

Dersom prisen øker med 500 kr. vil hun miste 10 kunder, men leieinntektene forblir de samme:

$1000 x = 1500 (x - 10)$

$1000 x = 1500 x - 15000$

$- 500 x = - 15000$

$x = \frac{- 15000}{- 500} = 30$

b)

Antall utleide plasser: $x = 30 - \frac{p - 1000}{50}$ , der p er pris

Inntekt: $I (p) = p \cdot x = p (30 - \frac{p - 1000}{50})$ $I (p) = 30 p - \frac{p^{2} - 1000 p}{50} = 30 p - \frac{p^{2}}{50} + \frac{1000 p}{50}$

$I (p) = 50 p - \frac{p^{2}}{50}$

Finner hvilken pris som gir maksimal inntekt ved å sette den deriverte av inntektsfunksjonen lik null:

$I^{'} (p) = 50 - \frac{p}{25}$

$I^{'} (p) = 0$

$50 - \frac{p}{25} = 0$

$p = 50 \cdot 25 = 1250$

Den maksimale inntekten blir da:

$I (1250) = 50 \cdot 1250 - \frac{1250^{2}}{50} = 31250$

Den månedlige maksimalinntekten er på 31250 kr.

Oppgave 6

a)

Den deriverte av I når x er 15 gir oss inntektsendringen ved salg av enhet 15. Man øker inntekten med 235 000 kroner ved salg av motor nr. 15.

b)

Overskuddet er størst når det selges 180 enheter. Da er overskuddet 15 600 000kr.

c)

Overskuddet når maksimum på 172 enheter. Da er overskuddet ca. 12,75 millioner kroner.

Oppgave 7

$S$ - Smittet

$\bar{S}$ - ikke smittet

$P$ - test positiv ( du er smittet i følge test)

$\bar{P}$ - test negativ

Sannsynlighet for positiv test:

$P (P) = P (P | S) \cdot P (S) + P (P | \bar{S}) \cdot P (\bar{S}) = 0, 99 \cdot 0, 01 + 0, 02 \cdot 0, 99 = 0, 0099 + 0, 0198 = 0, 0297$

$P (S | P) = \frac{P (P | S) \cdot P (S)}{P (P)} = \frac{0, 99 \cdot 0, 01}{0, 0297} \approx 33, 3$ %

Sannsynligheten for at personen er smittet gitt positiv test er litt i overkant av 33%

Selv om testen har høy sensitivitet (99%) og spesifisitet (98%), fører den lave grunnsannsynligheten for å være smittet (P(S)=1%) til at sannsynligheten for å være smittet selv etter en positiv test fortsatt er relativt lav. Dette er et eksempel på hvordan grunnsannsynligheten påvirker tolkningen av testresultater, en problemstilling som ofte oppstår i medisinsk diagnostikk.

@@ Linje 92: / Linje 92: @@
 FA =  $10 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 5 = 225000$
+Det er mulig å lage 225 000 antrekk.
 =====b)=====
+Han trekker 3 tilfeldige sko ut fra 5 par, 10 sko.
+Sannsynligheten for at han får et par er jo lik 1 minus sannsynligheten for tre forskjellige:
+ $P (p a r) = 1 - P (3 u l i k e) = 1 - 1 \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{6}{8} = \frac{1}{3}$
+Tankegang for P(3 ulike): Vi har ingen sko, sannsynligheten for å trekke en ulik sko er 1. Vi har en sko og det er 9 igjen. 8 av disse er forskjellige fra den vi har. Vi multipliserer derfor med 8/9. Vi har to ulike sko og det er 8 igjen i mengden vi trekker fra. To av disse vil gi oss par. Vi ekskluderer disse og multipliserer med 6/8.
 =====c)=====
+For at antall antrekk skal overstige 542000 må antallet litt mer enn dobles. Det minste antallet er det som krever det minste antall enheter for å dobles. I figuren nedenfor er x antall par sko. Vi ser at ved å øke antall par med 8 vil antall antrekk bli større enn antall innbyggere.
+[[File:29122024-01.png|400px]]
 ====Oppgave 2====
@@ Linje 113: / Linje 126: @@
 =====c)=====
-Dersom to like grunntall skal være like når de er opphøyet i en eller annen eksponent, må også eksponentene være like. Påstanden er riktig.
+Påstanden er feil for  $a \in R$
+ $a \in R ∖ {- 1, 0, 1}$  så er x = y.
+a= - 1 gir løsninger når både x og y er partall, eller når begge er oddetall
+ $a = 0 \lor a = 1$  er  $x \neq y$  løsninger, såvel som  $x = y$
 ====Oppgave 3====
-Logaritmen til basisen for logaritmen er 1. Derfor er basis her 5.
+Logaritmen til basisen for logaritmen er 1. Eksempelvis er  $l g_{10} (10) = 1$  og  $l n (e) = 1$ .  Derfor er basis her 5.
 ====Oppgave 4 ====
+=====a)=====
+Binomisk forsøk fordi:
+*Sannsynlighet lik i alle forsøk
+*To mulige utfall: vinn eller ikke
+*Uavhengig tidligere forsøk
+Kan bruke sannsynlighetskalkulator i Geogebra, og prøve seg fram:
+[[File: 29122024-02.png|300px]]
+Det er antallet n vi her prøver oss fram med.
+Man må regne med at det tar ca 223 dager (ca 7,5 måneder) før sannsynligheter er 20% for å vinne minst en reise.
+Dersom du foretrekker å regne for hånd:
+ $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0)$
+ $P (X = 0) = (1 - p)^{n}$
+ $1 - (1 - p)^{n} \geq 0, 2$
+ $(1 - 0, 001)^{n} \geq 0, 8$
+ $n \ln (0, 999) \geq \ln (0, 8)$
+ $n \geq 223$
+=====b)=====
+Overskudd knekkebrød :   $O (x) = 40 x - 10 x - 5 x = 25 x$
+x er antall solgte pakker. -5x er kostnaden ved gavekort, 5000kr per 1000 pakke.
+Deriverer vi O ser man at overskuddet er 25 kr /pakke.
+Vi kaller utsalgsprisen på Gullknekk for k. og finner overskuddet:
+ $O_{G u l l k n e k k} (x) = k x - 60 x = (k - 60) x$
+ $k - 60 = 25$
+ $k = 85$
+Dersom overskuddet skal være likt må utsalgsprisen være 85 kroner.
+=====c)=====
+[[File:01012025-01.png|500px]]
+Gjennomsnittlig sannsynlighet for å vinne minst en gang i løpet av året er 0,36%, basert på 1 000 000 simmuleringer (tar lang tid).
 ====Oppgave 5====
+=====a)=====
+Antall parkeringsplasser nå er x
+Inntekter nå er 1000x per måned
+Dersom prisen øker med 500 kr. vil hun miste 10 kunder, men leieinntektene forblir de samme:
+ $1000 x = 1500 (x - 10)$
+ $1000 x = 1500 x - 15000$
+ $- 500 x = - 15000$
+ $x = \frac{- 15000}{- 500} = 30$
+=====b)=====
+Antall utleide plasser:  $x = 30 - \frac{p - 1000}{50}$  , der p er pris
+Inntekt:  $I (p) = p \cdot x = p (30 - \frac{p - 1000}{50})$
+ $I (p) = 30 p - \frac{p^{2} - 1000 p}{50} = 30 p - \frac{p^{2}}{50} + \frac{1000 p}{50}$
+ $I (p) = 50 p - \frac{p^{2}}{50}$
+Finner hvilken pris som gir maksimal inntekt ved å sette den deriverte av inntektsfunksjonen lik null:
+ $I^{'} (p) = 50 - \frac{p}{25}$
+ $I^{'} (p) = 0$
+ $50 - \frac{p}{25} = 0$
+ $p = 50 \cdot 25 = 1250$
+Den maksimale inntekten blir da:
+ $I (1250) = 50 \cdot 1250 - \frac{1250^{2}}{50} = 31250$
+Den månedlige maksimalinntekten er på 31250 kr.
 ====Oppgave 6====
@@ Linje 150: / Linje 264: @@
 =====c)=====
+[[File: 30122024-01.png|300px]]
+Overskuddet når maksimum på 172 enheter. Da er overskuddet ca. 12,75 millioner kroner.
 ====Oppgave 7====
-${A}$ -  Smittet
+${S}$ -  Smittet
+ $\bar{S}$  - ikke smittet
+ $P$  - test positiv ( du er smittet i følge test)
+ $\bar{P}$  - test negativ
+Sannsynlighet for positiv test:
+ $P (P) = P (P | S) \cdot P (S) + P (P | \bar{S}) \cdot P (\bar{S}) = 0, 99 \cdot 0, 01 + 0, 02 \cdot 0, 99 = 0, 0099 + 0, 0198 = 0, 0297$
-$\bar{A}$ - ikke smittet
+$ P(S|P) = \frac{P(P|S) \cdot P(S)}{P(P)} = \frac{0,99 \cdot 0,01}{0,0297}  \approx 33,3  $ %
- $B$  - test positiv ( du er smittet i følge test)
+Sannsynligheten for at personen er smittet gitt positiv test er litt i overkant av 33%
- $\bar{B}$  - test negativ
-$P(
-$ P(B|A) = \frac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(A)}  $
+Selv om testen har høy sensitivitet (99%) og spesifisitet (98%), fører den lave grunnsannsynligheten for å være smittet (P(S)=1%) til at sannsynligheten for å være smittet selv etter en positiv test fortsatt er relativt lav. Dette er et eksempel på hvordan grunnsannsynligheten påvirker tolkningen av testresultater, en problemstilling som ofte oppstår i medisinsk diagnostikk.