Bevis for cosinussetningen: Forskjell mellom sideversjoner
Fra Matematikk.net
Ingen redigeringsforklaring |
Ingen redigeringsforklaring |
||
(6 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
Linje 1: | Linje 1: | ||
{{Reklame}} | |||
Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.<p></p> | Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.<p></p> | ||
'''Spissvinklede:'''<p></p> | '''Spissvinklede:'''<p></p> | ||
Linje 4: | Linje 7: | ||
Bruker pytagoras på trekanten ADC:<p></p> | Bruker pytagoras på trekanten ADC:<p></p> | ||
Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p> | Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p> | ||
Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre: | Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre: | ||
a^2 = b^2 + c^2 -2cx | |||
$b^2 - x^2 + c^2 - 2cx + x^2 =a^2$ | |||
$a^2 = b^2 + c^2 -2cx$ | |||
Finner cosA: | Finner cosA: | ||
<math>a^2 = b^2 + c^2 - | |||
og får: | |||
<math>a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot b \cdot c \cdot cosA</math> | |||
'''Stompvinklede:'''<p></p> | '''Stompvinklede:'''<p></p> |
Siste sideversjon per 22. jan. 2025 kl. 05:03
Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.
Spissvinklede:
Bruker pytagoras på trekanten ADC:
Bruker pytagoras på trekanten DBC:
Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre:
Finner cosA:
og får:
Stompvinklede:
Bruker pytagoras på trekanten DBC:
Bruker pytagoras på trekanten DAC:
Kombinere resultatene og får:
Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man: