Bevis for cosinussetningen: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Ingen redigeringsforklaring
Ingen redigeringsforklaring
 
(6 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
{{Reklame}}
Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.<p></p>
Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.<p></p>
'''Spissvinklede:'''<p></p>
'''Spissvinklede:'''<p></p>
Linje 4: Linje 7:
Bruker pytagoras på trekanten ADC:<p></p>
Bruker pytagoras på trekanten ADC:<p></p>
x2+h2=b2h2=b2x2
x2+h2=b2h2=b2x2
<p></p>
 
 
Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p>
Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p>
h2+(cx)2=a2<p></p>
h2+(cx)2=a2<p></p>
Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre:<p></p>
Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre:
<math>b^2 - x^2 + c^2 - 2cx + x^2 =a^2 //
 
a^2 = b^2 + c^2 -2cx</math><p></p>
 
$b^2 - x^2 + c^2 - 2cx + x^2 =a^2$
 
$a^2 = b^2 + c^2 -2cx$
 
 
Finner cosA:
Finner cosA:
<p></p>cosA=xbx=bcosA<p></p>og får:<p></p>
 
<math>a^2 = b^2 + c^2 -2bc cosA</math>
cosA=xbx=bcosA  
 
og får:
 
<math>a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot b \cdot c \cdot cosA</math>


'''Stompvinklede:'''<p></p>
'''Stompvinklede:'''<p></p>

Siste sideversjon per 22. jan. 2025 kl. 05:03

Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.

Spissvinklede:

Bruker pytagoras på trekanten ADC:

x2+h2=b2h2=b2x2


Bruker pytagoras på trekanten DBC:

h2+(cx)2=a2

Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre:


b2x2+c22cx+x2=a2

a2=b2+c22cx


Finner cosA:

cosA=xbx=bcosA

og får:

a2=b2+c22bccosA

Stompvinklede:

Bruker pytagoras på trekanten DBC:

a2=h2+(c+x)2a2=h2+c2+2cx+x2

Bruker pytagoras på trekanten DAC:

b2=x2+h2h2=b2x2

Kombinere resultatene og får:

a2=b2x2+c2+2cx+x2a2=b2+c2+2cx

Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man:

cos(180A)=cosA=xbx=bcosA som gir:

a2=b2+c22bccosA