Transformasjon

Hvorfor bruker vi transformasjoner?

Transformasjoner som Laplace og Fourier brukes fordi de gjør komplekse problemer enklere å løse, spesielt:

• Løsning av differensialligninger → omgjøres til algebraiske ligninger.
• Analyse av systemer → f.eks. hvordan et elektrisk krets reagerer på forskjellige innganger.
• Frekvensanalyse → finne hvilke frekvenser som er tilstede i et signal (som lyd, strøm, vibrasjoner).
• Forståelse av stabilitet og respons i kontrollsystemer og mekaniske systemer.

Hva er en transformasjon?

En transformasjon i matematikk er en metode som endrer formen på et problem slik at det blir lettere å analysere eller løse. I konteksten av ingeniørfag og anvendt matematikk brukes transformasjoner ofte til å:

• Omgjøre funksjoner fra ett domene til et annet (f.eks. fra tid → frekvens).
• Forenkle komplekse operasjoner (som derivasjon og konvolusjon).
• Identifisere egenskaper som ikke er åpenbare i det opprinnelige domenet.

Eksempel:

Differensialligninger i tidsdomenet kan være vanskelige å løse direkte, men ved å transformere problemet til et annet domene (f.eks. frekvensdomenet), kan de reduseres til algebraiske ligninger.

Transformasjonene er ofte reversible: vi kan løse problemet i transformert domene, og deretter gå tilbake (invers transformasjon) for å finne løsningen i opprinnelig domene.

---

Konvolusjon

( == Hva er konvolusjon? ==

'Konvolusjon er en matematisk operasjon som kombinerer to funksjoner til én ny funksjon. I teknisk sammenheng beskriver det typisk hvordan et system responderer på et inputsignal.

Intuisjon

Konvolusjon svarer på spørsmålet:

"Hva skjer når dette signalet går gjennom dette systemet?"

Eksempel:

• Signalet $x(t)$ representerer lyd inn i et rom.
• Systemets impulsrespons $h(t)$ beskriver hvordan rommet reagerer på en kort lyd.
• Da er det faktiske lydsignalet vi hører:

$y(t)=x(t)\ast h(t)$

---

Matematisk definisjon

Kontinuerlig konvolusjon

$(f\ast g)(t)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

• $\tau$ er en "løpevariabel" – vi integrerer over alle tidligere tidspunkt.
• Dette regner summen av "forsinkede kopier" av funksjonen $g\text{<}/math>,vektetav<math>f(\tau )$.

Diskret konvolusjon

I digitale systemer brukes summen:

$(x\ast h)[n]=\sum _{k=0}^{n}x[k]h[n-k]$

---

Visuell tolkning

Konvolusjon innebærer:

1. Snu den ene funksjonen (f.eks. $h(t)\to h(-\tau )$)
2. Skyv den langs tidsaksen
3. Multipliser punkt for punkt med den andre funksjonen
4. Integrer (eller summer) produktet

---

Eksempel: Kontinuerlig konvolusjon

La:

• $x(t)=u(t)$ (enhetstrinn)
• $h(t)=e^{-t}u(t)$

Beregn:

$y(t)=x(t)\ast h(t)={\int }_0^{t}u(\tau )e^{-(t-\tau )}d\tau ={\int }_0^t{e}^{-(t-\tau )}d\tau$

Bytt variabel:

$y(t)={\int }_0^t{e}^{-(t-\tau )}d\tau ={[-e^{-(t-\tau )}]}_0^t=1-e^{-t}$

Tolkning

Et system med eksponentielt dempet impulsrespons reagerer gradvis på en plutselig inngang.

---

Konvolusjon i Laplace og Fourier

Konvolusjon i tid tilsvarer multiplikasjon i frekvens (og omvendt):

Domene	Operasjon
Tid	$y(t)=x(t)\ast h(t)$
Laplace	$Y(s)=X(s)\cdot H(s)$
Fourier	$Y(\omega )=X(\omega )\cdot H(\omega )$

Derfor er transformasjoner så nyttige: De gjør konvolusjon (som kan være tungvint) til enkel multiplikasjon.

---

Bruksområder

• Signalbehandling: Lyd- og bildeeffekter, filtre, støyreduksjon.
• Elektronikk: Systemers respons på signaler.
• Kontrollteori: Bestemme hvordan system reagerer på styringssignaler.
• Maskinlæring: Konvolusjonsnevrale nettverk (CNN) bruker 2D-konvolusjon for å gjenkjenne mønstre i bilder.

---

Eksempel: Diskret konvolusjon i digital filterdesign

La:

• $x[n]=\{1,2,3\}$ – et kort signal
• $h[n]=\{1,-1\}$ – et enkelt filter

Beregn:

$y[n]=x[n]\ast h[n]=\{1,1,1,-3\}$

Hvordan?

n	Beregning	y[n]
0	$1\cdot 1$	1
1	$2\cdot 1+1\cdot (-1)$	1
2	$3\cdot 1+2\cdot (-1)$	1
3	$3\cdot (-1)$	-3

Tolkning

Filteret fremhever endringer mellom verdier – typisk for kantdeteksjon i bilder.

---

Oppsummering

Konvolusjon er en kjerneoperasjon i systemanalyse og signalbehandling, og:

• Modellering av systemrespons
• Kombinasjon av signal og impulsrespons
• Sentralt i både kontinuerlig og diskret tid
• Forenkles gjennom Laplace- og Fourier-transformasjoner

Den sier rett og slett: "Gitt at jeg vet hvordan systemet reagerer på en liten impuls – hvordan reagerer det da på et helt signal?" )

Laplace-transformasjonen: En dypere forklaring

Hva er Laplace-transformasjonen?

Laplace-transformasjonen er en teknikk for å analysere systemer og løse differensialligninger ved å transformere en funksjon av tid $f(t)$ til en funksjon av en kompleks variabel $s=\sigma +j\omega$.

Definisjon:

$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt$

Her:

• $t\ge 0$ (transformasjonen er ensidig).
• $s$ er en kompleks variabel: $s=\sigma +j\omega$.

Intuisjon:

Laplace-transformen:

• Bryter ned $f(t)$ i eksponentielle komponenter.
• Måler hvor mye av "modifiserte eksponentialer" $e^{st}$ som finnes i signalet.
• Inkluderer en eksponentiell vekst/demping (via $\sigma$) → derfor mer generell enn Fourier.

Bruksområder

• Løse lineære differensialligninger (initialverdiproblemer).
• Analyse av elektriske og mekaniske systemer.
• Modellering og simulering av dynamiske systemer.
• Kontrollsystemer og overføringsfunksjoner.

---

Eksempel: Løse en differensialligning

Problem: Løs:

<math> y(t) + 3y'(t) + 2y(t) = \delta(t) </math>, med $y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$

Trinn 1: Ta Laplace-transformen

Bruk kjente transformpar:

• $\mathcal{L}\{y^{\prime }(t)\}=sY(s)-y(0)$
• <math> \mathcal{L}\{y(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) </math>
• $\mathcal{L}\{\delta (t)\}=1$

Setter inn:

$s^{2}Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=1$

Trinn 2: Faktoriser og løs

$Y(s)(s^2+3s+2)=1$

$Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}$

Trinn 3: Delbrøkoppspalting

$\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}$

Finn A og B:

• $A=1,B=-1$

Trinn 4: Invers Laplace

Bruk tabell:

• ${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}\cdot u(t)$

Resultat:

$y(t)=(e^{-t}-e^{-2t})\cdot u(t)$

Tolkning

Dette er et system (f.eks. en elektrisk krets) som reagerer på et "støt" (Diracs delta), og deretter roer seg ned eksponentielt.

---

Viktige egenskaper

• Lineæritet:

 <math> \mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s) </math>

• Derivasjon:

 <math> \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0) </math>

• Konvolusjon:

 <math> \mathcal{L}\{f * g\} = F(s)G(s) </math>

• Forskyvning i tid:

 <math> \mathcal{L}\{f(t - a)u(t - a)\} = e^{-as}F(s) </math>

---

Region of Convergence (ROC)

Laplace-transformen er bare definert for de verdier av $s$ der integralet konvergerer. Dette området kalles konvergensregionen og bestemmer stabilitet og kausalitet for systemet.

---

Oppsummering

Laplace-transformasjonen er en kraftig metode som:

• Generaliserer Fourier-transformasjonen.
• Gjør det enklere å løse differensialligninger.
• Gir både tids- og frekvensinformasjon.
• Er standardverktøy i analyse av kontrollsystemer, signalbehandling og elektronikk.

Den er spesielt nyttig når systemet starter på et tidspunkt (t = 0) og man ønsker å modellere dets respons fra det punktet og utover.

Eksempel: Lydsignal med fire frekvenser

Signal i tidsdomenet

La oss definere et lydsignal $x(t)$ som en sum av fire sinuskomponenter med ulike frekvenser og amplituder: <math> x(t) = \cos(2\pi \cdot 100\,t)

    + 0{,}8\,\cos(2\pi \cdot 300\,t)
    + 0{,}6\,\cos(2\pi \cdot 500\,t)
    + 0{,}4\,\cos(2\pi \cdot 800\,t)

\end{math}

Her er:

• $f_1=100$\,Hz, amplitude $A_1=1$
• $f_2=300$\,Hz, amplitude $A_2=0,8$
• $f_3=500$\,Hz, amplitude $A_3=0,6$
• $f_4=800$\,Hz, amplitude $A_4=0,4$

Fouriertransformasjon

Vi bruker definisjonen <math> \displaystyle X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-\,j2\pi f t}\,dt \end{math> og kjenner at $\mathcal{F}\{\cos (2\pi f_{k}t)\}(f)=\frac{1}{2}[\delta (f-f_k)+\delta (f+f_k)].$

Dermed blir totaltransformen $\begin{array}{rl}X(f)& =\frac{1}{2}[\delta (f-100)+\delta (f+100)]\\ & +0,4[\delta (f-300)+\delta (f+300)]\\ & +0,3[\delta (f-500)+\delta (f+500)]\\ & +0,2[\delta (f-800)+\delta (f+800)].\end{array}$

Tolkning

• I frekvensdomenet ser vi åtte impulser (delta-funksjoner): to for hver frekvens ($\pm f_k$).
• Høyden på hver impuls er halvparten av amplituden i tidsdomenet ($A_k/2$).
• Dette viser tydelig at signalet kun inneholder de fire harmoniske komponentene 100 Hz, 300 Hz, 500 Hz og 800 Hz.

Diskret eksempel (valgfritt)

Hvis vi i stedet tar en kort prøvetaking av $x(t)$ ved samplingsfrekvens $f_s=4000$\,Hz og N = eight samples, kan vi bruke DFT og se tilsvarende piksler i frekvensaksen ved indeksene $k=f_k\cdot N/f_s$. Dette bekrefter at fire distinkte frekvenskomponenter dominerer spekteret.

Eksempel 1: Laplacetransformasjon

Problem: Finn responsen i en elektrisk RC-krets (motstand + kondensator) med inngangsspenning:

$u(t)=5\cdot \text{Heaviside}(t)$ (dvs. 5V skrus på ved t = 0)

Kretsen har:

• R = 1 kΩ
• C = 1 μF

Trinn 1: Modell

Differensialligning fra Kirchhoffs lover:

$RC\frac{dv(t)}{dt}+v(t)=u(t)$

Trinn 2: Laplacetransformer

$RC(sV(s)-v(0))+V(s)=\frac{5}{s}$

Antar $v(0)=0$:

$(RCs+1)V(s)=\frac{5}{s}$

$V(s)=\frac{5}{s(RCs+1)}=\frac{5}{s(0.001s+1)}$

Trinn 3: Invers Laplace

Standard form gir:

$v(t)=5(1-e^{-t/RC})=5(1-e^{-1000t})[\text{Volt}]$

Tolkning

Dette er spenningen over kondensatoren. Den øker eksponentielt mot 5V når bryteren slås på.

---

Eksempel 2: Fouriertransformasjon

Problem: Analyser frekvensinnholdet i et signal:

$f(t)=\sin (2\pi \cdot 50t)+0.5\sin (2\pi \cdot 120t)$

Dette kan representere et elektrisk signal med to sinuskomponenter (50 Hz og 120 Hz).

Trinn 1: Bruk Fourier-transformen

Bruk kjente transformpar:

$\mathcal{F}\{\sin (2\pi ft)\}=\frac{j\pi }{j}[\delta (\omega -2\pi f)-\delta (\omega +2\pi f)]$

Resultat:

<math> F(\omega) = \frac{j\pi}{j}[\delta(\omega - 2\pi \cdot 50) - \delta(\omega + 2\pi \cdot 50)] +

\frac{0.5j\pi}{j}[\delta(\omega - 2\pi \cdot 120) - \delta(\omega + 2\pi \cdot 120)] </math>

Tolkning

Signalet inneholder to frekvenser:

• 50 Hz (amplitude 1)
• 120 Hz (amplitude 0.5)

Praktisk betydning

• I Laplace-eksemplet så vi hvordan man kan modellere tidssvar og transienter i et elektrisk system.
• I Fourier-eksemplet fant vi hvilke frekvenser et signal består av – nyttig i støyfiltrering og lydbehandling.

Andre typer transformasjoner

1. Z-transformasjonen

Bruk

• Brukes i analyse av diskrete/digitale systemer (f.eks. digitale filtre, DSP).
• Diskret motstykke til Laplace-transformen.
• Gjør det enklere å løse lineære differanseligninger.

Definisjon

$\mathcal{Z}\{x[n]\}=X(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$

Eksempel

Gitt et system med forskjellsligning:

$y[n]-0.5y[n-1]=x[n]$

Anta $x[n]=\delta [n]$ (enhetsimpuls), og $y[-1]=0$.

Z-transform:

$Y(z)-0.5z^{-1}Y(z)=1$

Løs:

$Y(z)(1-0.5z^{-1})=1\Rightarrow Y(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}=\frac{z}{z-0.5}$

Invers Z-transform:

$y[n]={0.5}^n\cdot u[n]$

Tolkning

Systemet gir en eksponentielt avtagende respons – typisk for stabile digitale filtre.

---

2. Fourierrekker

Bruk

• Brukes til å representere periodiske signaler.
• Viktig i elektriske nettanalyser, musikk-teknologi, vibrasjonsanalyse.

Definisjon

For en periodisk funksjon $f(t)$ med periode $T$:

$f(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)]$

Eksempel

La $f(t)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<t<\pi \\ -1,& \pi <t<2\pi \end{array}$ (periodisk firkantpuls, T = 2π)

Dette er en odde funksjon → kun sinuskomponenter (bₙ):

$b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt=\frac{4}{n\pi },n\text{oddetall}$

Fourierrekke:

$f(t)=\frac{4}{\pi }(\sin (t)+\frac{1}{3}\sin (3t)+\frac{1}{5}\sin (5t)+\dots )$

Tolkning

Et firkantbølge kan uttrykkes som en uendelig sum av sinusformede bølger – viktig for signalrekonstruksjon og spektralanalyse.

---

3. Wavelet-transformasjonen

Bruk

• Brukes i tids-frekvensanalyse, f.eks. bildekomprimering (JPEG2000), hjernesignalanalyse (EEG), seismologi.
• Til forskjell fra Fourier gir den god oppløsning både i tid og frekvens.

Hovedidé

I stedet for å bruke sinusbølger bruker man korte "bølger" (wavelets) som er skalert og forskjøvet.

Kontinuerlig wavelet-transform:

$W(a,b)=\frac{1}{\sqrt{|a|}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t){\psi }^{\ast }\left(\frac{t-b}{a}\right)dt$

Eksempel

La $f(t)=e^{-t^2}$ (Gauss-funksjon), og bruk en "Morlet wavelet".

Wavelet-transformen gir en detaljert representasjon av hvor energien i signalet er konsentrert i tid og skala.

Tolkning

Mens Fouriertransformen viser hvilke frekvenser som er tilstede, viser wavelet også *når* disse frekvensene oppstår – perfekt for analyse av ikke-stasjonære signaler.

---

4. Hilbert-transformasjon (kort)

• Brukes for å lage den analytiske representasjonen av et signal.
• Vanlig i signalbehandling for å beregne innhylning og fase.

---

5. Mellin-transformasjon (kort)

• Brukes i skala-invariant bildeanalyse og fraktalanalyse.
• Koblet til Laplace-transformen via endring av variabler.

Sammenligningstabell

Transformasjon	Bruksområde	Kontinuerlig / Diskret	Tidsinfo	Frekvensinfo
Laplace	Elektriske kretser, kontrollsystemer	Kontinuerlig	Ja	Ja
Fourier	Signalprosessering, lyd, bilde	Kontinuerlig	Nei	Ja
Z-transform	Digitale systemer, DSP	Diskret	Ja	Ja
Fourierrekker	Periodiske signaler	Kontinuerlig	Nei	Ja (diskret)
Wavelet	Ikke-stasjonære signaler, komprimering	Begge	Ja	Ja (multioppløsning)