Irrasjonale likninger

Irrasjonale ligninger

Innledning

Dersom den ukjente i en ligning befinner seg under ett eller flere rottegn, sies ligningen å være irrasjonal.

Man må være fortrolig med bruk av kvadratsetningene og løsning av 2.gradsligninger før man arbeider med slike ligninger.

Falsk løsning

Irrasjonale ligninger løses vanligvis ved å kvadrere på begge sider av likhetstegnet.

Dette kan generere falske løsninger.

Du må derfor alltid sette prøve på svaret.

<math> x = -2

x^2 = (-2)^2

x^2 = 4 </math>

Løser man <math>x^2 = 4</math>, får man både <math>x = -2</math> og <math>x = 2</math>. Kvadreringen genererer altså en falsk løsning.

Eksempel 1

Før man kvadrerer skal rottegnet (og uttrykket under) stå alene på én side.

<math> \sqrt{x-2} = 4

(\sqrt{x-2})^2 = 4^2

x - 2 = 16

x = 18 </math>

Ved å sette prøve ser vi at <math>x = 18</math> er en løsning.

Eksempel 2

<math> \sqrt{x-2} = 3 - \sqrt{x+3}

\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = 3

(\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3})^2 = 9

x - 2 + 2\sqrt{x-2}\sqrt{x+3} + x + 3 = 9

2x + 1 + 2\sqrt{x-2}\sqrt{x+3} = 9

2\sqrt{x-2}\sqrt{x+3} = 8 - 2x

\sqrt{x-2}\sqrt{x+3} = 4 - x

(\sqrt{x-2}\sqrt{x+3})^2 = (4-x)^2

9x = 22

x = \frac{22}{9} </math>

Setter vi prøve, får vi lik verdi på begge sider. Dermed er <math>x = \frac{22}{9}</math> en løsning.

Eksempel 3

<math> x - \sqrt{3x+7} + 1 = 0

(-\sqrt{3x+7})^2 = (-x - 1)^2

3x + 7 = x^2 + 2x + 1

x^2 - x - 6 = 0

x = -2 \vee x = 3 </math>

Setter vi prøve, ser vi at <math>x = -2</math> ikke er løsning.

Løsningen er derfor:

<math>x = 3</math>

Eksempel 4

<math> \sqrt{2x + 10 + \sqrt{x+3}} = 5

2x + 10 + \sqrt{x+3} = 25

\sqrt{x+3} = 15 - 2x

x + 3 = 225 - 60x + 4x^2

4x^2 - 61x + 222 = 0

x = 6 \vee x = 9,25 </math>

Setter vi prøve, ser vi at kun <math>x = 6</math> er en løsning.