2MX V2004

Oppgave 1

I hele oppgave 1 skal du på hvert delspørsmål velge mellom alternativ I og alternativ II. Du skal bare regne ett av alternativene, og alternativ II gir om lag dobbelt så stor uttelling som alternativ I.

a) Løs likningene ved regning

1. Enten I: \( e^x = 4 \)
2. eller II: \( 10^{x-1} = 10000 \)

1. Enten I: \( \sqrt{x^2 + 3} = x + 1 \)
2. eller II: \( \sqrt{2x + 17} - x = 1 \)

b) Deriver funksjonene

1. Enten I: \( f(x) = 4x^4 - 2x^3 \)
2. eller II: \( h(x) = \frac{\ln x}{x} \)

1. Enten I: \( g(x) = x \cdot e^x \)
2. eller II: \( k(x) = (x^2 - 1)^3 \)

c) Bestem integralene ved regning

1. Enten I: \( \int_0^1 3x^2 \, dx \)
2. eller II: \( \int_{-2}^{2} (e^{-x} + 4)\, dx \)

d)

Enten I: Undersøk om vektorene \( \vec{p} = 3\vec{a} + 9\vec{b} \) og \( \vec{q} = \vec{a} + 3\vec{b} \) er parallelle.

eller II: Undersøk om det finnes tall \( k \) slik at vektorene \( \vec{p} = (1 - k)\vec{a} + 3\vec{b} \) og \( \vec{q} = -\vec{a} + (k + 1)\vec{b} \) er parallelle.

---

Oppgave 2

Vektorene \( \vec{a} \) og \( \vec{b} \) er gitt på figuren nedenfor.

a)

Tegn vektorene inn på svararket ditt. Tegn også vektorene \( \vec{a} + \vec{b} \) og \( 2\vec{a} - \vec{b} \) på det samme arket.

b)

Vektorene på figuren er tegnet i et koordinatsystem. Forklar at koordinatene til \( \vec{a} \) er \([3, 1]\). Finn koordinatene til \( \vec{b} \).

c)

Regn ut \( \vec{a} \cdot \vec{b} \). Forklar hvordan du ut fra svaret kan avgjøre om \( \vec{a} \perp \vec{b} \).

En linje \( l \) går gjennom punktet \( (1, \frac{3}{2}) \) og er parallell med \( \vec{a} \).

d)

Forklar at en parameterframstilling for linja \( l \) er:

\( l: \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = \frac{3}{2} + t \end{cases} \)

En linje \( m \) går gjennom punktet \( (8, \frac{1}{2}) \) og er parallell med \( \vec{b} \).

e)

Finn en parameterframstilling for linja \( m \). Bestem skjæringspunktet mellom linjene \( l \) og \( m \) ved regning.

Oppgave 3

Innlandsisen på Grønland er en kilde til kunnskap om tidligere tiders klimaforhold. Vi kan måle kjemiske forhold i isen på ulike dybder. Da er det nødvendig å vite alderen til isen.

Danske forskere har kommet fram til en modell som gjør det mulig å bestemme innlandsisens alder \( f(x) \) (målt i år) i forskjellige dybder \( x \) (målt i meter).

For et 3000 meter tykt islag er modellen gitt ved:

\( f(x) = 110000 - 14000 \cdot \ln(3000 - x) \)

når dybden \( x \in (1300, 1700) \).

a)

Hvor gammel er isen på 1400 meters dyp?

b)

Finn ved regning hvor dypt vi må bore for å finne is som er 9000 år gammel.

c)

Vis at \( f'(x) = \frac{14000}{3000 - x} \)

d)

Regn ut \( f'(1500) \), og forklar hvordan du tolker svaret.

---

Oppgave 4

Fra et boligområde går det en bussrute til byen. Etter at en buss har forlatt boligområdet, passerer den tre stoppesteder før den kommer til byen. Busselskapet regner med at det på hvert av de tre stoppestedene er 70 % sjanse for at det står folk som skal med bussen. Ingen går av bussen før den er kommet inn til byen.

La \( X \) være antall ganger en buss stopper på vei til byen. Busselskapet regner med at sannsynligheten for at bussen må stoppe ved nøyaktig \( k \) stoppesteder, er

\( P(X = k) = \binom{3}{k} \cdot 0{,}7^k \cdot 0{,}3^{3-k} \)

a)

Hvilke forutsetninger har busselskapet gjort?

b)

Beregn sannsynligheten for at bussen stopper ved henholdsvis 0, 1, 2 og 3 stoppesteder på turen inn til byen.

I morgenrushet må busselskapet sette opp to busser for å få med alle passasjerene. Buss A kjører først fra boligområdet, med buss B rett bak. Når de kommer til det første stoppestedet hvor det står folk og venter, stopper buss A for å ta opp passasjerene, mens buss B kjører forbi. På neste stopp er det buss B som stopper og tar opp passasjerene, mens buss A kjører forbi osv.

c)

Forklar hvorfor buss A kommer først til byen dersom det står folk og venter ved 0 eller 2 stoppesteder, mens buss B kommer først dersom det står folk og venter ved 1 eller 3 stoppesteder.

d)

Beregn sannsynligheten for at buss B kommer først til byen. Hvilken buss bør man ta fra boligområdet dersom man ønsker å komme først til byen?

Tallene ovenfor gjelder utenom ferietiden. I fellesferien regner busselskapet med at det ved hvert stopp bare er 20 % sjanse for at det står folk som skal med bussen. Anta at busselskapet fortsatt kjører med to busser i morgenrushet.

e)

Hvilken buss lønner det seg nå å ta fra boligområdet dersom man vil komme først til byen?

Oppgave 5

De komplekse tallene kan illustreres i et koordinatsystem.

På figuren har vi tegnet det komplekse tallet \( z = 3 - 2i \).

a)

Vi har gitt de komplekse tallene \( z_1 = 2 + i \) og \( z_2 = -1 + 3i \).

1. Tegn de komplekse tallene \( z_1 \) og \( z_2 \) i et koordinatsystem på svararket ditt.

1. Bestem ved regning \( z_1 + z_2 \) og \( z_1 \cdot z_2 \).
2. Tegn tallene i det samme koordinatsystemet.

1. Finn absoluttverdien \( |z_1| \).
2. Kontroller at \( |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \).

1. Bestem \( \arg(z_1) \), \( \arg(z_2) \) og \( \arg(z_1 \cdot z_2) \).
2. Hvilken sammenheng ser det ut til å være mellom disse vinklene?

1. Skriv \( z_1 = 2 + i \) på den trigonometriske formen

\( z_1 = r(\cos v + i \sin v) \).

b)

Løs likningen \( x^2 + 2x + 2 = 0 \) ved regning.