Linjer i rommet: Forskjell mellom sideversjoner

Siste sideversjon per 5. feb. 2013 kl. 20:58

Linjer som skjæringen mellom to plan

Vi kan beskrive en linje i rommet som skjæringen mellom to ikkeparallelle plan. En linje vil derfor være mengden av punkter x,y,z som tilfredsstiller systemet

a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2}

Her ser vi at vi kan eliminere én av variablene slik at vi får én ligning med to ukjente. F.eks. kan vi eliminere z slik at vi får en ligning på formen g(x,y)=0. Finner vi punkter x og y som tilfredsstiller denne, kan vi substituere x og y inn i en av de to opprinnelige ligningene for å finne den korresponderende z-verdien.

Parameterfremstilling av linjer i rommet

En annen måte å beskrive linjer i rommet på er via parameterfremstillinger. Da trenger vi å vite retningen på linja samt et punkt på linja. En parameterfremstilling vil da generelt være på formen

\vec{r} (t) = (x (t), y (t), z (t)) = \vec{r_{1}} t + \vec{r_{0}}

,

der $\vec{r_{1}}$ er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og $\vec{r_{0}}$ er et punkt på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet $\vec{r_{0}}$ . Deretter legger vi til en vektor $\vec{r_{1}} t$ som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av $t$ varierer vi lengden av den parallelle vektoren, slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
-For å finne et uttrykk for en linje i rommet trenger vi å vite retningen på linja samt et punkt på linja. En parameterfremstilling vil da generelt være på formen
+==Linjer som skjæringen mellom to plan==
+Vi kan beskrive en linje i rommet som skjæringen mellom to ikkeparallelle plan. En linje vil derfor være mengden av punkter x,y,z som tilfredsstiller systemet
-: <tex>\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))= \vec{r_0}t+\vec{r_1}</tex>,
+: $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2}$
-der <tex>\vec{r_0}</tex> er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og <tex>\vec{r_1}</tex> beskriver et eller annet punkt på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet <tex>\vec{r_1}</tex> på linja. Deretter legger vi til en vektor <tex>\vec{r_0}t</tex> som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av <tex>t</tex> varierer vi lengden av den parallelle vektoren, slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.
+Her ser vi at vi kan eliminere én av variablene slik at vi får én ligning med to ukjente. F.eks. kan vi eliminere z slik at vi får en ligning på formen g(x,y)=0. Finner vi punkter x og y som tilfredsstiller denne, kan vi substituere x og y inn i en av de to opprinnelige ligningene for å finne den korresponderende z-verdien.
+==Parameterfremstilling av linjer i rommet==
-== Vinkelen mellom linjer i rommet ==
+En annen måte å beskrive linjer i rommet på er via parameterfremstillinger. Da trenger vi å vite retningen på linja samt et punkt på linja. En parameterfremstilling vil da generelt være på formen
-Vi kan definere vinkelen <tex>\theta</tex> mellom to romlige linjer som vinkelen mellom vektorene som er parallelle med linjene. Merk at to generelle linjer i rommet ikke nødvendigvis skjærer hverandre. Dersom <tex>\vec{p}</tex> er parallell med den ene linja og <tex>\vec{q}</tex> er parallell med den andre, kan vi bruke definisjonen av skalarproduktet
+:  $\vec{r} (t) = (x (t), y (t), z (t)) = \vec{r_{1}} t + \vec{r_{0}}$ ,
-:<tex>\vec{p}\cdot \vec{q} =|\vec{p}||\vec{q}|\cos(\theta)</tex>
+der  $\vec{r_{1}}$  er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og  $\vec{r_{0}}$  er et punkt på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet  $\vec{r_{0}}$ . Deretter legger vi til en vektor  $\vec{r_{1}} t$  som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av  $t$  varierer vi lengden av den parallelle vektoren, slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.
-til å bestemme vinkelen mellom linjene.