Periodiske funksjoner

En periodisk funksjon $f(x)$ på et intervall $I$ med periode $d$ er kjennetegnet ved at $f(x+d)=f(x)\mathrm{\forall }x\in I$ (gitt at $x+d\in I$). Da vil også $f(x+nd)=f(x)\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}$.

Eksempel

$f(x)=\sin (x)$ på $\mathbb{R}$ med periode $d=2\pi$. Det er evident at $\sin (x)=\sin (x+2\pi )\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$. Vi sier gjerne at $\sin (x)$ er $2\pi$ -periodisk eller at bølgelengden er $2\pi$.

Enhver sum av funksjoner med lik periode er selv periodisk med samme periode.

Bevis

La $f(x)$ og $g(x)$ være to funksjoner med periode $d$ definert på den reelle tallinja. Da er $f(x+d)=f(x)$ og $g(x+d)=g(x)$ for alle reelle $x$. Hvis vi legger sammen funksjonene og definerer $h(x)=f(x)+g(x)$, ser vi at $h(x+d)=f(x+d)+g(x+d)=f(x)+g(x)=h(x)$, så $h(x)$ har egenskapen til en periodisk funksjon.

Perioden til en gitt funksjon $f(x)$ er den minste verdien av $d$ slik at $f(x+d)=f(x)\mathrm{\forall }x$.

Eksempel

Ser vi på produktet $f(x)=\sin (x)\cos (x)$ vil $f(x+2\pi )=f(x)$, men funksjonen vil også oppfylle $f(x+\pi )=f(x)$, så perioden til funksjonen vil være $d=\pi$. Dette er altså en liten fallgrube siden det kanskje kan være fristende å konkludere med at perioden til produktet av to $2\pi$ -periodiske funksjoner har periode $2\pi$.

Periodisk utvidelse

Periodisk utvidelse av f(x)=x

Vi kan konstruere periodiske funksjoner på f.eks. $\mathbb{R}$ ved å utvide en funksjon definert på et begrenset intervall.

Eksempel

Ser vi på restriksjonen av $f(x)=x$ på intervallet $⟨0,1]$ kan vi utvide denne til en periodisk funksjon på hele $\mathbb{R}$ gjennom å kreve at $f(x+1)=f(x)\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$. Det vi har gjort er å utvide domenet til funksjonen fra det halvåpne intervallet $⟨0,1]$ til hele den reelle tallinja på en slik måte at $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ blir periodisk.