Plan i rommet

Et plan i rommet er beskrevet av ligningen

$ax+by+cz=d$

Dvs. at hver kvadruppel (a,b,c,d) svarer til et bestemt plan, og alle punkter (x,y,z) som tilfredsstiller ligningen vil være et punkt i dette planet.

Utledning av ligningen for planet

Lar vi vektoren $\overrightarrow{n}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}(a,b,c)$ være enhetsnormalvektoren til planet og vektoren $\overrightarrow{r}=(x,y,z)$ være et punkt i planet, ser vi at skalarproduktet

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{r}=l$

der $l$ er avstanden fra origo til planet. Skriver vi ut denne ligninga og kaller $\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot l\equiv d$ får vi

$ax+by+cz=\sqrt{a^2+b^2+c^2}l=d$.

Parameterfremstilling av plan i rommet

Hvordan vi parametriserer avhenger litt av orienteringen til planet. La oss se på et plan som ikke står normalt på xy-planet, dvs. at $c\ne 0$ i den generelle ligningen. Da kan vi skrive om ligningen for det generelle planet slik at z blir en funksjon av x og y. Ved å la $x=x(s)=s$ og $y=y(t)=t$ kan vi uttrykke z som en funksjon av parametrene. Parameterfremstillingen blir dermed:

$z=z(s,t)=\frac{-a}{c}s-\frac{b}{c}t+\frac{d}{c}$

På vektorform blir dette $\overrightarrow{r}=(s,t,z(s,t))=(s,t,\frac{-a}{c}s-\frac{b}{c}t+\frac{d}{c})$

Beregning av enhetsnormalvektoren til et plan

Dersom vi kjenner koordinatene til tre punkter som definerer planet (dvs. tre punkter i planet som ikke ligger på en linje) kan vi finne normalvektoren ved å bruke vektorproduktet. Dersom punktene i planet er gitt ved $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$ og $(x_3,y_3,z_3)$ regner vi først ut to vektorer som ligger i planet, f.eks.

$\overrightarrow{v_1}=(x_2,y_2,z_2)-(x_1,y_1,z_1)$, $\overrightarrow{v_2}=(x_3,y_3,z_3)-(x_1,y_1,z_1)$

Tar vi vektorproduktet $\overrightarrow{v_1}\times \overrightarrow{v_2}$ vet vi at dette vil være en vektor som står normalt på de to (ikke-parallelle) vektorene i planet, altså vil vektorproduktet stå normalt på planet. Normaliserer vi kryssproduktet finner vi enhetsnormalvektoren. Merk at denne vil peke i én av to mulige retninger avhengig av rekkefølgen på vektorene i kryssproduktet.

Ligningen til planet gjennom tre gitte punkt

La oss si at vi har fått oppgitt tre punkter $\overrightarrow{r_1}$, $\overrightarrow{r_2}$ og $\overrightarrow{r_3}$ i rommet, som ikke ligger på en linje. Da vil disse definere et plan (dvs. at det fins et unikt plan gjennom de tre punktene). Hvordan kan vi finne ligninen for dette planet?

Vi starter med å beregne enhetsnormalvektoren $\overrightarrow{n}$ som beskrevet over. Deretter beregner vi skalarproduktet $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{r_1}$. Da vil ligningen bli

$\overrightarrow{n}\cdot (x,y,z)=\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{r_1}$

Parallelle plan

Å sjekke om to gitte plan er parallelle er ekvivalent med å sjekk om de tilhørende normalvektorene er parallelle, f.eks. kan man beregne vektorproduktet av normalvektorene. Dersom vektorproduktet er nullvektoren er planene parallelle.

Skjæringen av ikke-parallelle plan

Har vi gitt to ikke-parallelle plan vil disse skjære hverandre i en rett linje. Hvordan kan vi finne ligningen for denne linja?

Dersom planene har normalvektorer $\overrightarrow{n_1}$ og $\overrightarrow{n_2}$ vil vektorproduktet $\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}$ være parallell med skjæringslinja. Kjenner vi ett punkt på denne linja, si $\overrightarrow{r_0}$, kan vi enkelt finne en parameterfremstilling av linja:

$\overrightarrow{r}(t)=(\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2})t+\overrightarrow{r_o}$,

der $\overrightarrow{r}(t)$ altså er koordinater til punkter på skjæringslinja.

Vinkelen mellom to plan

Vi definerer vinkelen mellom to plan som vinkelen mellom normalvektorene til planene. Ved å bruke definisjonen av skalarproduktet,

$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|\cos (\theta )$

kan vi finne vinkelen $\theta$ mellom planene. Her er $\overrightarrow{n_i}$ normalvektoren til plan $i$.

---