Siste sideversjon per 5. feb. 2013 kl. 20:59

Del 1

Oppgave 1

a)

1) $f (x) = x^{3} \ln (x) f^{'} (x) = (x^{3})^{'} \ln (x) + x^{3} (\ln (x))^{'} = 3 x^{2} \ln (x) + x^{3} \frac{1}{x} = x^{2} (3 \ln (x) + 1)$

2) $g (x) = 4 e^{x^{2} - 3 x} g^{'} (x) = 4 (2 x - 3) e^{x^{2} - 3 x}$

b)

1) La $P (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ . Da er $P (2) = 2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 16 = 8 - 16 - 8 + 16 = 0$ , og $x - 2$ er en faktor i $P (x)$ .

Polynomdivisjon gir at $x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16 : x - 2 = x^{2} - 2 x - 8$ .

Vi ser videre at $- 2$ er en rot i polynomet $x^{2} - 2 x - 8$ , så $x + 2$ er en faktor. Polynomdivisjon gir dermed at $x^{2} - 2 x - 8 : x + 2 = x - 4$ , så

$P (x) = (x - 2) (x + 2) (x - 4)$

2) $P (x) \leq 0 \Rightarrow (x - 2) (x + 2) (x - 4) \leq 0$ . P(x) har nullpunkter i $x = - 2$ , $x = 2$ og $x = 4$ , og skifter fortegn i disse punktene. Dersom $x < - 2$ er hver av de tre faktorene i $P (x)$ negativ, og $P (x) < 0$ . Dersom $- 2 < x < 2$ er to av faktorene negative og $P (x) > 0$ . Dersom $2 < x < 4$ er nøyaktig én faktor negativ, og $P (x) < 0$ . Dersom $x > 4$ er alle faktorene positive, og $P (x) > 0$ . Ulikheten $P (x) \leq 0$ er følgelig tilfredsstilt for $x \leq - 2$ og $2 \leq x \leq 4$ .

c)

Per er fra Bergen $\Rightarrow$ Per er fra Norge. (At Per er fra Norge behøver ikke bety at han er fra Bergen.)

d)

1) La $\vec{a} = [3, 5]$ . Vi dobler vektoren ved å multiplisere med $2$ , og snur retningen ved å multiplisere med $- 1$ . Det følger at $\vec{b} = - 2 \cdot [3, 5] = [- 6, - 10]$

2) For at $\vec{c} = [x, y]$ skal stå normalt på $\vec{a}$ , må $\vec{c} \cdot \vec{a} = [x, y] \cdot [3, 5] = 3 x + 5 y = 0$ . Et naturlig valg er $x = 5$ , $y = - 3$ , så $\vec{c} = [5, - 3]$ .

e)

$4 \cdot {(1 + \frac{x}{100})}^{4} = 64 \Rightarrow {(1 + \frac{x}{100})}^{4} = 16 = 2^{4} \Rightarrow 1 + \frac{x}{100} = \pm 2$ . Altså er $x = 100$ eller $x = - 300$ .

f)

Slår sirkelperiferien med passer. Halver radius og fører lengden 3/2 radius ned på periferien, B. Konstruererer 45 grader i B og trekker opp trekanten.

Oppgave 2

a)

Vi har at $f^{'} (x) = 2 (x + 1) (x - 3)$ , så $f^{'} (x)$ har nullpunkt i $x = - 1$ og $x = 3$ . Dersom $x < - 1$ er $f^{'} (x) > 0$ og $f (x)$ vokser, dersom $- 1 < x < 3$ er $f^{'} (x) < 0$ og $f (x)$ avtar, og dersom $x > 3$ er $f^{'} (x) > 0$ og $f (x)$ vokser. $f (x)$ har derfor toppunkt i $x = - 1$ og bunnpunkt i $x = 3$ .

b)

<math>f'(x)=2(x+1)(x-3)\Rightarrow f(x)=2(x-3)+2(x+1)=4x-4</math>. $f (x)$ har vendepunkt der <math>f(x)=0</math>, altså i $x = 1$

c)

Nullstiller vi den andrederiverte til $g (x)$ får vi en lineær ligning som følgelig bare kan ha én løsning. Derfor kan funksjonen maksimalt ha ett vendepunkt. Vi har at <math>g(x)=a(x-c)+a(x-b)=a(2x-b-c)</math>. Førstekoordinaten til vendepunktet er løsning på ligningen <math>g(x)=a(2x-b-c)=0</math>, som er gitt ved $x = \frac{b + c}{2}$ , altså midt mellom $b$ og $c$ , som også er midt mellom $x_{m a k s}$ og $x_{m i n}$ (siden $g (x)$ har topp- og bunnpunkt i $x = b$ og $x = c$ , der den deriverte er $0$ ).

Del 2

Oppgave 3

a)

$(\binom{12}{5}) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792$

b)

For hver av de sju resterende kampene er det to muligheter, altså blir det totalt $2^{7} = 128$ måter å fylle ut kupongen.

c)

Sannsynligheten for nøyaktig fem hjemmeseire blir $792 \cdot (\frac{1}{3})^{5} \cdot (\frac{2}{3})^{7} \approx 0.19$

Oppgave 4

a)

b)

$\vec{v} = {\vec{r}}^{'} = [3 t^{2}, 1]$ og $\vec{a} = {\vec{v}}^{'} = [6 t, 0]$

c)

$\vec{v} (t)$ er parallell med y-aksen der x-komponenten er $0$ , altså der $3 t^{2} = 0$ . Da er $t = 0$ , så punktet på kurven der hastighetsvektoren er parallell med y-aksen er i $(3, 1)$

Oppgave 5

Alternativ I

a)

Tangenten har ligning $y = a x + b$ . Siden den går gjennom punktet $(1, 1)$ må ligningen tilfredsstille $1 = a + b$ . Stigningstallet $a$ må være det samme som stigningstallet til grafen til $f (x) = x^{3}$ i $(1, 1)$ . $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , så $f^{'} (1) = 3$ , og $a = f^{'} (1) = 3$ . Videre er $1 = a + b = 3 + b$ , så $b = 1 - 3 = - 2$ . Ligningen til tangenten $T_{1}$ er derfor $y = 3 x - 2$ .

b)

Punktet Q må tilfredsstille $y = f (x)$ , altså $3 x - 2 = x^{3}$ som vi kan skrive $x^{3} - 3 x + 2 = 0$ . Siden vi kjenner én løsning fra før, $x = 1$ , må $x - 1$ være en faktor i polynomet $x^{3} - 3 x + 2$ . Polynomdivisjon gir at $x^{3} - 3 x + 2 : x - 1 = x^{2} + x - 2$ . Vi ser nå at $1$ er en rot i $x^{2} + x - 2$ , så $x - 1$ er en faktor i $x^{2} + x - 2$ . Polynomdivisjon gir igjen at $x^{2} + x - 2 : x - 1 = x + 2$ . Altså er ligningen $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2) = 0$ , med løsninger $x = - 2$ og $x = 1$

c)

Siden $T_{1}$ og $T_{2}$ er parallelle må de ha samme stigningstall. Altså må $f^{'} (x) = 3 x^{2} = 3$ i tangeringspunktet, som har løsninger $x = \pm 1$ . Tangeringspunktet mellom $T_{2}$ og $f (x)$ må derfor være i $(x, y) = (- 1, - 1)$

Alternativ II

a)

Siden $x$ meter av ledningen brukes på trekanten, er det $10 - x$ tilovers til kvadratet. Siden alle sidene i kvadratet er like lange er hver side $\frac{10 - x}{4}$ , så arealet er $F_{1} (x) = (\frac{10 - x}{4})^{2} = \frac{1}{16} (10 - x)^{2}$

b)

Vi trekker en normal ned fra toppen av trekanten ned på grunnlinja, som blir høyden $h$ . Pytagoras gir at $h^{2} + (\frac{x}{6})^{2} = (\frac{x}{3})^{2}$ , så $h = \sqrt{\frac{1}{9} x^{2} - \frac{1}{36} x^{2}} = \sqrt{\frac{3}{36} x^{2}} = \frac{\sqrt{3} x}{6}$ . Arealet av trekanten blir dermed $F_{2} (x) = \frac{h x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{36} x^{2}$

c)

La $F (x) = F_{1} (x) + F_{2} (x) = \frac{1}{16} (10 - x)^{2} + \frac{\sqrt{3}}{36} x^{2}$ , der $0 \leq x \leq 10$ . $F^{'} (x) = - \frac{1}{8} (10 - x) + \frac{\sqrt{3} x}{18} = 0$ gir at $x = \frac{5}{\frac{1}{2} + \frac{2 \sqrt{3}}{9}} \approx 5.65$ . Siden den andrederiverte er positiv, må dette være et bunnpunkt, så ledningen må kuttes slik at $x \approx 5.65$

Oppgave 6

a)

Siden $△ A S D$ er likebeint, er $∠ S A D = ∠ A S D = x$

b)

$S D = S C = r$ så $△ S D C$ er likebeint og $∠ S D C = ∠ S C D$ . $∠ S D A = π - 2 x$ og $∠ S D C = π - ∠ S D A = π - (π - 2 x) = 2 x$

c)

$∠ C S D = π - 4 x = π - (x + y)$ , så $x + y = 4 x \Leftrightarrow y = 3 x$

Oppgave 7

a)

$n = 1 :$ $4^{1} - 1 = 3$

$n = 2 :$ $4^{2} - 1 = 15 = 3 \cdot 5$

$n = 3 :$ $4^{3} - 1 = 63 = 3 \cdot 21$

$n = 4 :$ $4^{4} - 1 = 255 = 3 \cdot 85$

b)

$(2^{n} - 1) (2^{n} + 1) = (2^{n})^{2} + 2^{n} - 2^{n} - 1 = (2^{2})^{n} - 1 = 4^{n} - 1$

c)

Dersom $n$ er et naturlig tall er $2^{n}$ et heltall, og $2^{n} - 1$ og $2^{n} + 1$ er de nærmeste heltallene. Blant tre påfølgende heltall vil det alltid være ett som er delelig med $3$ : Tallene som er delelig med $3$ er på formen ${3 k | k \in N} = {0, 3, 6, 9, 12, 15, . . .}$ .

$2^{n}$ er aldri delelig med $3$ siden eneste primfaktor er $2$ .

d)

Fra c) må enten $2^{n} - 1$ eller $2^{n} + 1$ være delelig med $3$ for alle naturlige tall. Siden $4^{n} - 1 = (2^{n} - 1) (2^{n} + 1)$ må $4^{n} - 1$ alltid være delelig med 3.

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
-== Del 1 ==
+= Del 1 =
-=== Oppgave 1a) ===
+== Oppgave 1 ==
+=== a) ===
-'''1)''' <tex>f(x)=x^3\ln(x)\Rightarrow f'(x)=(x^3)'\ln(x)+x^3(\ln(x))'=3x^2\ln(x)+x^3\frac{1}{x}=x^2(3\ln(x)+1)</tex>
+'''1)''' <math>f(x)=x^3\ln(x) \\ f'(x)=(x^3)'\ln(x)+x^3(\ln(x))'=3x^2\ln(x)+x^3\frac{1}{x}=x^2(3\ln(x)+1)</math>
-'''2)''' <tex>g(x)=4e^{x^2-3x}\Rightarrow g'(x)=4(2x-3)e^{x^2-3x}</tex>
+'''2)''' <math>g(x)=4e^{x^2-3x}\\ g'(x)=4(2x-3)e^{x^2-3x}</math>
-=== Oppgave 1b) ===
+=== b) ===
-'''1)''' La <tex>P(x)=x^3-4x^2-4x+16</tex>. Da er <tex>P(2)=2^3-4\cdot 2^2-4\cdot 2+16=8-16-8+16=0</tex>, og <tex>x-2</tex> er en faktor i <tex>P(x)</tex>. Polynomdivisjon gir at <tex>x^3-4x^2-4x+16\,:\,x-2=x^2-2x-8
+'''1)''' La <math>P(x)=x^3-4x^2-4x+16</math>. Da er <math>P(2)=2^3-4\cdot 2^2-4\cdot 2+16=8-16-8+16=0</math>, og <math>x-2</math> er en faktor i <math>P(x)</math>.
-</tex>. Vi ser videre at <tex>-2</tex> er en rot i polynomet <tex>x^2-2x-8</tex>, så <tex>x+2</tex> er en faktor. Polynomdivisjon gir dermed at <tex>x^2-2x-8\,:\, x+2=x-4</tex>, så <tex>P(x)=(x-2)(x+2)(x-4)</tex>
+<p></p>
+Polynomdivisjon gir at <math>x^3-4x^2-4x+16\,:\,x-2=x^2-2x-8
+</math>.
+<p></p>
+Vi ser videre at <math>-2</math> er en rot i polynomet <math>x^2-2x-8</math>, så <math>x+2</math> er en faktor. Polynomdivisjon gir dermed at <math>x^2-2x-8\,:\, x+2=x-4</math>, så<p></p>
+<math>P(x)=(x-2)(x+2)(x-4)</math>
-'''2)''' <tex>P(x)\leq 0\Rightarrow (x-2)(x+2)(x-4)\leq 0</tex>. P(x) har nullpunkter i <tex>x=-2</tex>, <tex>x=2</tex> og <tex>x=4</tex>, og skifter fortegn i disse punktene. Dersom <tex>x<-2</tex> er hver av de tre faktorene i <tex>P(x)</tex> negativ, og <tex>P(x)<0</tex>. Dersom <tex>-2<x<2</tex> er to av faktorene negative og <tex>P(x)>0</tex>. Dersom <tex>2<x<4</tex> er nøyaktig én faktor negativ, og <tex>P(x)<0</tex>. Dersom <tex>x>4</tex> er alle faktorene positive, og <tex>P(x)>0</tex>. Ulikheten <tex>P(x)\leq 0</tex> er følgelig tilfredsstilt for <tex>x\leq -2</tex> og <tex>2\leq x\leq 4</tex>.
+'''2)''' <math>P(x)\leq 0\Rightarrow (x-2)(x+2)(x-4)\leq 0</math>. P(x) har nullpunkter i <math>x=-2</math>, <math>x=2</math> og <math>x=4</math>, og skifter fortegn i disse punktene. Dersom <math>x<-2</math> er hver av de tre faktorene i <math>P(x)</math> negativ, og <math>P(x)<0</math>. Dersom <math>-2<x<2</math> er to av faktorene negative og <math>P(x)>0</math>. Dersom <math>2<x<4</math> er nøyaktig én faktor negativ, og <math>P(x)<0</math>. Dersom <math>x>4</math> er alle faktorene positive, og <math>P(x)>0</math>. Ulikheten <math>P(x)\leq 0</math> er følgelig tilfredsstilt for <math>x\leq -2</math> og <math>2\leq x\leq 4</math>.
-=== Oppgave 1c) ===
+=== c) ===
-<tex>\text{Per er fra Bergen}\Rightarrow \text{Per er fra Norge}</tex>. (At Per er fra Norge behøver ikke bety at han er fra Bergen.)
+Per er fra Bergen <math>\Rightarrow</math> Per er fra Norge. (At Per er fra Norge behøver ikke bety at han er fra Bergen.)
-=== Oppgave 1d) ===
+=== d) ===
-'''1)''' La <tex>\vec{a}=[3,5]</tex>. Vi dobler vektoren ved å multiplisere med <tex>2</tex>, og snur retningen ved å multiplisere med <tex>-1</tex>. Det følger at <tex>\vec{b}=-2\cdot [3,5]=[-6,-10]</tex>
+'''1)''' La <math>\vec{a}=[3,5]</math>. Vi dobler vektoren ved å multiplisere med <math>2</math>, og snur retningen ved å multiplisere med <math>-1</math>. Det følger at <math>\vec{b}=-2\cdot [3,5]=[-6,-10]</math>
-'''2)''' For at <tex>\vec{c}=[x,y]</tex> skal stå normalt på <tex>\vec{a}</tex>, må <tex>\vec{c}\cdot \vec{a}=[x,y]\cdot[3,5]=3x+5y=0</tex>. Et naturlig valg er <tex>x=5</tex>, <tex>y=-3</tex>, så <tex>\vec{c}=[5,-3]</tex>.
+'''2)''' For at <math>\vec{c}=[x,y]</math> skal stå normalt på <math>\vec{a}</math>, må <math>\vec{c}\cdot \vec{a}=[x,y]\cdot[3,5]=3x+5y=0</math>. Et naturlig valg er <math>x=5</math>, <math>y=-3</math>, så <math>\vec{c}=[5,-3]</math>.
-=== Oppgave 1e) ===
+=== e) ===
-<tex>4\cdot \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=64\Rightarrow \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=16=2^4\Rightarrow 1+\frac{x}{100}=2\Rightarrow x=100</tex>
+<math>4\cdot \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=64\Rightarrow \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=16=2^4\Rightarrow 1+\frac{x}{100}=\pm 2</math>. Altså er <math>x=100</math> eller <math>x=-300</math>.
+=== f) ===
+[[Fil:R1-vår10 sirk.png]]
+<p></p>
+Slår sirkelperiferien med passer. Halver radius og fører lengden 3/2 radius ned på periferien, B. Konstruererer 45 grader i B og trekker opp trekanten.
-=== Oppgave 2a) ===
+== Oppgave 2 ==
+=== a) ===
-Vi har at <tex>f'(x)=2(x+1)(x-3)</tex>, så <tex>f'(x)</tex> har nullpunkt i <tex>x=-1</tex> og <tex>x=3</tex>. Dersom <tex>x<-1</tex> er <tex>f'(x)>0</tex> og <tex>f(x)</tex> vokser, dersom <tex>-1<x<3</tex> er <tex>f'(x)<0</tex> og <tex>f(x)</tex> avtar, og dersom <tex>x>3</tex> er <tex>f'(x)>0</tex> og <tex>f(x)</tex> vokser. <tex>f(x)</tex> har derfor toppunkt i <tex>x=-1</tex> og bunnpunkt i <tex>x=3</tex>.
+Vi har at <math>f'(x)=2(x+1)(x-3)</math>, så <math>f'(x)</math> har nullpunkt i <math>x=-1</math> og <math>x=3</math>. Dersom <math>x<-1</math> er <math>f'(x)>0</math> og <math>f(x)</math> vokser, dersom <math>-1<x<3</math> er <math>f'(x)<0</math> og <math>f(x)</math> avtar, og dersom <math>x>3</math> er <math>f'(x)>0</math> og <math>f(x)</math> vokser. <math>f(x)</math> har derfor toppunkt i <math>x=-1</math> og bunnpunkt i <math>x=3</math>.
-=== Oppgave 2b) ===
+=== b) ===
-<tex>f'(x)=2(x+1)(x-3)\Rightarrow f''(x)=2(x-3)+2(x+1)=4x-4</tex>. <tex>f(x)</tex> har vendepunkt der <tex>f''(x)=0</tex>, altså i <tex>x=1</tex>
+<math>f'(x)=2(x+1)(x-3)\Rightarrow f''(x)=2(x-3)+2(x+1)=4x-4</math>. <math>f(x)</math> har vendepunkt der <math>f''(x)=0</math>, altså i <math>x=1</math>
-=== Oppgave 2c) ===
+=== c) ===
-Nullstiller vi den andrederiverte til <tex>g(x)</tex> får vi en lineær ligning som følgelig bare kan ha én løsning. Derfor kan funksjonen maksimalt ha ett vendepunkt. Vi har at <tex>g''(x)=a(x-c)+a(x-b)=a(2x-b-c)</tex>. Førstekoordinaten til vendepunktet er løsning på ligningen <tex>g''(x)=a(2x-b-c)=0</tex>, som er gitt ved <tex>x=\frac{b+c}{2}</tex>, altså midt mellom <tex>b</tex> og <tex>c</tex>, som også er midt mellom <tex>x_{maks}</tex> og <tex>x_{min}</tex> (siden <tex>g(x)</tex> har topp- og bunnpunkt i <tex>x=b</tex> og <tex>x=c</tex>, der den deriverte er <tex>0</tex>).
+Nullstiller vi den andrederiverte til <math>g(x)</math> får vi en lineær ligning som følgelig bare kan ha én løsning. Derfor kan funksjonen maksimalt ha ett vendepunkt. Vi har at <math>g''(x)=a(x-c)+a(x-b)=a(2x-b-c)</math>. Førstekoordinaten til vendepunktet er løsning på ligningen <math>g''(x)=a(2x-b-c)=0</math>, som er gitt ved <math>x=\frac{b+c}{2}</math>, altså midt mellom <math>b</math> og <math>c</math>, som også er midt mellom <math>x_{maks}</math> og <math>x_{min}</math> (siden <math>g(x)</math> har topp- og bunnpunkt i <math>x=b</math> og <math>x=c</math>, der den deriverte er <math>0</math>).
-== Del 2 ==
+= Del 2 =
-=== Oppgave 3a) ===
+== Oppgave 3 ==
-<tex>{12\choose 5}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=792</tex>
+=== a) ===
+ $(\binom{12}{5}) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792$
-=== Oppgave 3b) ===
-For hver av de sju resterende kampene er det to muligheter, altså blir det totalt <tex>2^7=128</tex> måter å fylle ut kupongen.
+=== b) ===
-=== Oppgave 3c) ===
+For hver av de sju resterende kampene er det to muligheter, altså blir det totalt <math>2^7=128</math> måter å fylle ut kupongen.
-Sannsynligheten for nøyaktig fem hjemmeseire blir <tex>792\cdot (\frac{1}{3})^{5}\cdot (\frac{2}{3})^7\approx 0.19
+=== c) ===
-</tex>
-=== Oppgave 4a) ===
+Sannsynligheten for nøyaktig fem hjemmeseire blir <math>792\cdot (\frac{1}{3})^{5}\cdot (\frac{2}{3})^7\approx 0.19
+</math>
+== Oppgave 4 ==
+=== a) ===
@@ Linje 89: / Linje 107: @@
-=== Oppgave 4b) ===
+=== b) ===
+ $\vec{v} = {\vec{r}}^{'} = [3 t^{2}, 1]$  og  $\vec{a} = {\vec{v}}^{'} = [6 t, 0]$
+=== c) ===
+ $\vec{v} (t)$  er parallell med y-aksen der x-komponenten er  $0$ , altså der  $3 t^{2} = 0$ . Da er  $t = 0$ , så punktet på kurven der hastighetsvektoren er parallell med y-aksen er i  $(3, 1)$
+== Oppgave 5 ==
+=== Alternativ I ===
+==== a) ====
+Tangenten har ligning  $y = a x + b$ . Siden den går gjennom punktet  $(1, 1)$  må ligningen tilfredsstille  $1 = a + b$ . Stigningstallet  $a$  må være det samme som stigningstallet til grafen til  $f (x) = x^{3}$  i  $(1, 1)$ .  $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , så  $f^{'} (1) = 3$ , og  $a = f^{'} (1) = 3$ . Videre er  $1 = a + b = 3 + b$ , så  $b = 1 - 3 = - 2$ . Ligningen til tangenten  $T_{1}$  er derfor  $y = 3 x - 2$ .
+==== b) ====
+Punktet Q må tilfredsstille  $y = f (x)$ , altså  $3 x - 2 = x^{3}$  som vi kan skrive  $x^{3} - 3 x + 2 = 0$ . Siden vi kjenner én løsning fra før,  $x = 1$ , må  $x - 1$  være en faktor i polynomet  $x^{3} - 3 x + 2$ . Polynomdivisjon gir at  $x^{3} - 3 x + 2 : x - 1 = x^{2} + x - 2$ . Vi ser nå at  $1$  er en rot i  $x^{2} + x - 2$ , så  $x - 1$  er en faktor i  $x^{2} + x - 2$ . Polynomdivisjon gir igjen at  $x^{2} + x - 2 : x - 1 = x + 2$ . Altså er ligningen  $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2) = 0$ , med løsninger  $x = - 2$  og  $x = 1$
+==== c) ====
+Siden  $T_{1}$  og  $T_{2}$  er parallelle må de ha samme stigningstall. Altså må  $f^{'} (x) = 3 x^{2} = 3$  i tangeringspunktet, som har løsninger  $x = \pm 1$ . Tangeringspunktet mellom  $T_{2}$  og  $f (x)$  må derfor være i  $(x, y) = (- 1, - 1)$
+=== Alternativ II ===
+==== a) ====
+Siden  $x$  meter av ledningen brukes på trekanten, er det  $10 - x$  tilovers til kvadratet. Siden alle sidene i kvadratet er like lange er hver side  $\frac{10 - x}{4}$ , så arealet er  $F_{1} (x) = (\frac{10 - x}{4})^{2} = \frac{1}{16} (10 - x)^{2}$
+==== b) ====
+Vi trekker en normal ned fra toppen av trekanten ned på grunnlinja, som blir høyden  $h$ . Pytagoras gir at  $h^{2} + (\frac{x}{6})^{2} = (\frac{x}{3})^{2}$ , så  $h = \sqrt{\frac{1}{9} x^{2} - \frac{1}{36} x^{2}} = \sqrt{\frac{3}{36} x^{2}} = \frac{\sqrt{3} x}{6}$ . Arealet av trekanten blir dermed  $F_{2} (x) = \frac{h x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{36} x^{2}$
+==== c) ====
+La  $F (x) = F_{1} (x) + F_{2} (x) = \frac{1}{16} (10 - x)^{2} + \frac{\sqrt{3}}{36} x^{2}$ , der  $0 \leq x \leq 10$ .  $F^{'} (x) = - \frac{1}{8} (10 - x) + \frac{\sqrt{3} x}{18} = 0$  gir at  $x = \frac{5}{\frac{1}{2} + \frac{2 \sqrt{3}}{9}} \approx 5.65$ . Siden den andrederiverte er positiv, må dette være et bunnpunkt, så ledningen må kuttes slik at  $x \approx 5.65$
+== Oppgave 6 ==
+=== a) ===
+Siden  $△ A S D$  er likebeint, er  $∠ S A D = ∠ A S D = x$
+=== b) ===
+ $S D = S C = r$  så  $△ S D C$  er likebeint og  $∠ S D C = ∠ S C D$ .  $∠ S D A = π - 2 x$  og  $∠ S D C = π - ∠ S D A = π - (π - 2 x) = 2 x$
+=== c) ===
+ $∠ C S D = π - 4 x = π - (x + y)$ , så  $x + y = 4 x \Leftrightarrow y = 3 x$
+== Oppgave 7 ==
+=== a) ===
+ $n = 1 :$   $4^{1} - 1 = 3$
+ $n = 2 :$   $4^{2} - 1 = 15 = 3 \cdot 5$
+ $n = 3 :$   $4^{3} - 1 = 63 = 3 \cdot 21$
-<tex>\vec{v}=\vec{r}'=[3t^2,1]</tex> og <tex>\vec{a}=\vec{v}'=[6t,0]</tex>
+<math>n=4:</math> <math>4^4-1=255=3\cdot 85</math>
+=== b) ===
-=== Oppgave 4c) ===
+<math>(2^n-1)(2^n+1)=(2^n)^2+2^n-2^n-1=(2^2)^n-1=4^n-1</math>
-<tex>\vec{v}(t)</tex> er parallell med y-aksen der x-komponenten er <tex>0</tex>, altså der <tex>3t^2=0</tex>. Da er <tex>t=0</tex>, så punktet på kurven der hastighetsvektoren er parallell med y-aksen er i <tex>(3,1)</tex>
+=== c) ===
+Dersom  $n$  er et naturlig tall er  $2^{n}$  et heltall, og  $2^{n} - 1$  og  $2^{n} + 1$  er de nærmeste heltallene. Blant tre påfølgende heltall vil det alltid være ett som er delelig med  $3$ : Tallene som er delelig med  $3$  er på formen  ${3 k | k \in N} = {0, 3, 6, 9, 12, 15, . . .}$ .
-=== Oppgave 5a) ===
+ $2^{n}$  er aldri delelig med  $3$  siden eneste primfaktor er  $2$ .
+=== d) ===
-Tangenten har ligning <tex>y=ax+b</tex>. Siden den går gjennom punktet <tex>(1,1)</tex> må ligningen tilfredsstille <tex>1=a+b</tex>. Stigningstallet <tex>a</tex> må være det samme som stigningstallet til grafen til <tex>f(x)=x^3</tex> i <tex>(1,1)</tex>. <tex>f'(x)=3x^2</tex>, så <tex>f'(1)=3</tex>, og <tex>a=f'(1)=3</tex>. Videre er <tex>1=a+b=3+b</tex>, så <tex>b=1-3=-2</tex>. Ligningen til tangenten <tex>T_1</tex> er derfor <tex>y=3x-2</tex>.
+Fra '''c)''' må enten <math>2^n-1</math> eller <math>2^n+1</math> være delelig med <math>3</math> for alle naturlige tall. Siden <math>4^n-1=(2^n-1)(2^n+1)</math> må <math>4^n-1</math> alltid være delelig med 3.

R1 2010 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner