R1 2012 vår LØSNING

Oppgave 1:

a)

1)

$$\begin{gathered} f(x)=5x^3+x-4 \\ {f}^{\prime }(x)=3\cdot 5x^2+1 \\ {f}^{\prime }(x)=15x^2+1 \end{gathered}$$

2)

$$\begin{gathered} g(x)=5e^{3x} \\ u=3x\wedge u^{\prime }=3 \\ {g}^{\prime }(x)=5e^u\cdot u^{\prime } \\ {g}^{\prime }(x)=15e^{3x} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} 2\ln (\frac{a^2}{b})+\ln (a\cdot b)-3\ln a= \\ 2\ln a^2-2\ln b+\ln a+\ln b-3\ln a= \\ 4\ln a-2\ln b+\ln a+\ln b-3\ln a= \\ 2\ln a-\ln b \end{gathered}$$

c)

$f(x)=x^3-3x$

1)

Nullpunkter:

$$\begin{gathered} x^3-3x=0 \\ x(x^2-3)=0 \\ x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0 \\ x=-\sqrt{3}\vee x=0\vee x=\sqrt{3} \end{gathered}$$

2)

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=3x^2-3 \\ {f}^{\prime }(x)=0 \\ 3(x^2-1)=0 \\ x=-1\vee x=1 \\ f(-1)=2\vee f(1)=-2 \end{gathered}$$

Toppunkt (-1,2)

Bunnpunkt (1,-2)

3)

d)

$$\begin{gathered} P(x)=x^3-3x^2-x+3 \\ P(3)=27-27-3+3=0 \\ P(x):(x-3) \\ (x^3-3x^2-x+3):(x-3)=x^2-1 \\ -(x^3-3x^2) \\ -(-x+3) \\ 0 \end{gathered}$$

Dette gir følgende løsninger:

x = - 1 eller x = 1 eller x = 3.

e)

$$\begin{gathered} \overrightarrow{r}(t)=[3,0t,-4,9t^2] \\ \overrightarrow{v}(t)={\overrightarrow{r}}^{\prime }(t)=[3,0,-9,8t] \\ \overrightarrow{a}(t)={\overrightarrow{v}}^{\prime }(t)={\overrightarrow{r}}^{\prime \prime }(t)=[0,-9,8] \end{gathered}$$

Oppgave 2:

a)

y = ax + b

a er linjens stigningstall. Dersom man befinner seg et sted på linjen og går en enhetsvektor i x rettning, må man gå a enhetsvektorer i y rettning for å treffe linjen igjen. Rettningsvektor for linjen blir derfor [1,a].

b)

Skalarprodukt:

$$\begin{gathered} [1,a_1]\cdot [1,a_2]=0 \\ 1+a_1\cdot a_2=0 \\ {a}_1\cdot a_2=-1 \end{gathered}$$

c)

Resultatet i b gir den nye linjen stigningstall minus en halv. b, der linjen skjærer y aksen er fem. Man får da:

$y=-\frac{1}{2}x+5$

d)

Oppgave 3:

a)

$$\begin{gathered} f(x)=\frac{1}{x} \\ {f}^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2} \\ {f}^{\prime }(a)=-\frac{1}{a^2} \\ Rettlinje:y=ax+b \\ y=-\frac{1}{a^2}x+b \end{gathered}$$

Finner b ved å bruke punktet (a, f(a)):

$$\begin{gathered} y=-\frac{1}{a^2}x+b \\ \frac{1}{a}=-\frac{1}{a^2}a+b \\ b=\frac{2}{a} \end{gathered}$$

Som gir likningen

$y=-\frac{1}{a^2}x+\frac{2}{a}$

b)

$y=-\frac{1}{a^2}x+\frac{2}{a}$

A:

$$\begin{gathered} y=0 \\ 0=-\frac{1}{a^2}x+\frac{2}{a} \\ \frac{x}{a^2}=\frac{2}{a} \\ x=2a \end{gathered}$$

Koordinater A: (2a,0)

B:

I B er x = 0

$y=\frac{2}{a}$

Koordinater B:$(0,\frac{2}{a})$

c)

Arealet av trekanten avgrenset av tangenten og aksene er:

$A=\frac{2a\cdot \frac{2}{a}}{2}=2$

Man observerer at arealet er uavhengig av x, eller a om man vil.

a)

Skalarprodukt: $$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot cos\mathrm{\angle }BAC \\ [9,5]\cdot [5,6]=\sqrt{9^2+5^2}\cdot \sqrt{5^2+6^2}\cdot cos\mathrm{\angle }BAC \\ 45+30=\sqrt{106}\cdot \sqrt{61}cos\mathrm{\angle }BAC \\ \mathrm{\angle }BAC=co{s}^{-1}(\frac{75}{\sqrt{6466}}) \\ \mathrm{\angle }BAC=21,1^{\circ } \end{gathered}$$

b)

Firkanten ABCD er et parallellogram dersom $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$ D har koordinatene (x,y). Vi får

$$\begin{gathered} [9,5]=[2-x,4-y] \\ 9=2-x\wedge 5=4-y \\ x=-7\wedge y=-1 \end{gathered}$$

Oppgave 5:

$\overrightarrow{AB}=[2,-2]$

Lengde av radius:

$r=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{2}\sqrt{8}=\sqrt{2}$

Sentrum S, av sirkel: $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=[2,4]+\frac{1}{2}[2,-2]=[3,3]$

Sentrum er i punktet (3,3). Et vilkårlig punkt på sirkelperiferien er (x,y). Vi får:

$$\begin{gathered} (x-3{)}^2+(y-3{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2 \\ (x-3{)}^2+(y-3{)}^2=2 \end{gathered}$$

Oppgave 6:

a)

$\overrightarrow{EF}=[5,-5]$

Bruker [1, -1] som rettningsvektor. Parameterfremmstilling:

$l:\left[\begin{array}{c}x=2+t\\ y=4-t\end{array}\right]$

b)

Skjæring med x- akse: y = 0 gir t = 4 som gir x = 6. Skjæring i (6,0)

Skjæring med y- akse: x = 0 gir t = -2 som gir y = 6. skjæring i (0, 6)

c)

$$\begin{gathered} [2+t-6,4-t-3]\cdot [1,-1]=0 \\ [t-4,1-t]\cdot [1,-1]=0 \\ t-4-1+t=0 \\ t=\frac{5}{2} \\ x=\frac{9}{2}\wedge y=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Avstand mello G og l:

$\sqrt{(\frac{12}{2}-\frac{9}{2}{)}^2+(\frac{6}{2}-\frac{3}{2}{)}^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Oppgave 7:

a)

$$\begin{gathered} f(x)=\frac{5}{2}{e}^{-\frac{x}{2}} \\ A=g(x)=\frac{f(x)\cdot x}{2}=\frac{\frac{5}{2}{e}^{-\frac{x}{2}}\cdot x}{2}=\frac{5}{4}x{e}^{-\frac{x}{2}} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g^{\prime }(x)=\frac{5}{4}{e}^{-\frac{x}{2}}+\frac{5}{4}x{e}^{-\frac{x}{2}}\cdot (-\frac{1}{2})=e^{-\frac{x}{2}}(\frac{5}{4}-\frac{5x}{8}) \\ {g}^{\prime }(x)=0 \\ x=2 \end{gathered}$$

Inspeksjon viser at g har et maksimum for x=2.

$g(2)=\frac{5\cdot 2}{4}{e}^{-1}=\frac{5}{2e}$

c)

Når x = 1,3 er arealet på sitt største, A = 0,85.

Oppgave 8:

a)

Når en periferivinkel og en sentralvinkel i en sirkel spenner over samme sirkelbue, så er periferivinkelen halvparten så stor som sentralvinkelen. En sentralvinkel har samme gradetall som sirkelbuen den spenner over.

Vinkelen alfa er periferivinkel og spenne over samme bue som sentralvinkelen x. Av det følger:

$\alpha =\frac{x}{2}$

b)

Periferivinkelen 180 grader minus beta, spenner over sirkelbuen DAB. Den sentralvinkel som spenner over samme bue er 360 grader minus x. Fra setningen over får man da:

${180}^{\circ }-\beta =\frac{1}{2}({360}^{\circ }-x)$

c)

$$\begin{gathered} {180}^{\circ }-\beta =\frac{1}{2}({360}^{\circ }-x) \\ {360}^{\circ }-2\beta ={360}^{\circ }-x \\ x=2\beta \end{gathered}$$

Fra a har man at x er lik to alfa, hvilket betyr at alfa er lik beta.

$$\begin{gathered} x=2\beta \wedge \alpha =\frac{x}{2} \\ 2\alpha =2\beta \\ \alpha =\beta \end{gathered}$$

Oppgave 9:

a)

b)

g(x)= 2(x + 2)(x - 1)(x-3)

c)

$h(x)=0,5(x+2)(x-2)(x-2)=0,5(x+2)(x-2{)}^2$

Oppgave 10:

a)

AC = OB = 3

b)

Areal av kvadrat er $A=\sqrt{\frac{9}{2}}\cdot \sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{9}{2}$

Skravert areale:

$\frac{1}{4}\pi r^2-\frac{9}{2}=\frac{9}{4}\pi -\frac{18}{4}=\frac{9}{4}(\pi -2)$

Oppgave 11:

a)

A = det regner

B = det er meldt regn

$$\begin{gathered} P(A)=0,08 \\ P(\bar{A})=1-P(A)=0,92 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} P(B|A)=0,90 \\ P(B|\bar{A})=0,10 \\ P(B)=P(A)\cdot P(B|A)+P(\bar{A})\cdot P(B|\bar{A})=0,08\cdot 0,90+0,92\cdot 0,10=0,164 \end{gathered}$$

c)

$P(\bar{A}|B)=\frac{P(\bar{A})\cdot P(B|\bar{A})}{P(B)}=\frac{0,92\cdot 0,10}{0,164}=0,56$