1T 2014 høst LØSNING

• Diskusjon av denne oppgaven

• Løsning av del 1

• Matteprat spørsmål om oppgave 6 del 2

Oppgave 1

$25000000000\cdot 0,0005=2,5\cdot {10}^{10}\cdot 5\cdot {10}^{-4}=12,5\cdot {10}^6=1,25\cdot {10}^7$

Oppgave 2

$$\begin{gathered} 2^{2+\frac{x}{2}}=16 \\ {2}^{2+\frac{x}{2}}=2^4 \\ 2+\frac{x}{2}=4 \\ 4+x=8 \\ x=4 \end{gathered}$$

Oppgave 3

$$\begin{gathered} lg(2x-3)=0 \\ {10}^{lg(2x-3)}={10}^0 \\ 2x-3=1 \\ x=2 \end{gathered}$$

Oppgave 4

$$\begin{gathered} x^2+x>2 \\ {x}^2+x-2>0 \end{gathered}$$

Løser likningen:

$$\begin{gathered} x^2+x-2=0 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2} \\ x=-2\vee x=1 \end{gathered}$$

$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$

$x\in <\leftarrow ,-2>\cup <1,\to >$

Oppgave 5

Det er to muligheter, gutt - jente og jente - gutt:

$P(enavhver)=\frac{6}{10}\cdot \frac{4}{9}+\frac{4}{10}\cdot \frac{6}{9}=\frac{8}{15}$

Oppgave 6

a)

$x\in [0]\cup [3,\to >$

f er lik null for x lik 0 og 3. For x verdier større enn tre er f positiv.

Den deriverte til f er negativ fra x = 0 til x = 2. f avtar i dette området.

b)

Gjennomsnittlig vekstfart:

$\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }y}=\frac{-8-0}{2}=-4$

Oppgave 7

$$\begin{gathered} \frac{3x}{x+3}-\frac{3}{x-3}-\frac{x^2-12x+9}{x^2-9}= \\ \frac{3x(x-3)}{x+3}-\frac{3(x+3)}{(x-3)(x+3)}-\frac{x^2-12x+9}{(x+3)(x-3)}= \\ \frac{3x^2-9x-3x-9-x^2+12x-9}{(x+3)(x-3)}= \\ \frac{2x^2-18}{(x+3)(x-3)}= \\ \frac{2(x+3)(x-3)}{(x+3)(x-3)}=2 \end{gathered}$$

Oppgave 8

a)

$(\frac{2}{5}{)}^{-1}=\frac{1}{\frac{2}{5}}=\frac{5}{2}$ som er større enn 2.

b)

I en rettvinklet trekant er tangens definert som forholdet mellom motstående og hosliggende katet. Dersom to vinkler i trekanten er 45 grader er begge katetene like lange, og forholdet mellom dem blir en.

c)

log 100 = 2, derfor er log 200 større enn to. log 1000 = 3, så log 200 er et sted mellom 2 og 3.

Oppgave 9)

Trekantene ABC og ADE er formlike. De har en felles vinkel, to felles sider og linjestykkene DE og BC er parallelle.

a)

AC: $$\begin{gathered} A=\frac{g\cdot h}{2}\Rightarrow 16=\frac{AC\cdot 8}{2} \\ AC=\frac{16\cdot 2}{8} \\ AC=4 \end{gathered}$$

AD: $$\begin{gathered} \frac{AD}{8}=\frac{3}{4} \\ AD=\frac{3\cdot 8}{4} \\ AD=6 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} BC-DE=\sqrt{8^2+4^2}-\sqrt{6^2+3^2} \\ BC-DE=\sqrt{80}-\sqrt{45} \\ BC-DE=\sqrt{16\cdot 5}-\sqrt{9\cdot 5} \\ BC-DE=4\sqrt{5}-3\sqrt{5} \\ BC-DE=\sqrt{5} \end{gathered}$$

Oppgave 10

a)

$f´(x)=-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}-1}=-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}-\frac{2}{2}}=-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=\frac{1}{x^2}=x^{-2} \\ g´(x)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} h(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \\ h´(x)=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{gathered}$$

Oppgave 1

Den lineære sammenhengen er sånn ca: y = 94,56x + 200,25.

Oppgave2

a)

b)

Toppunkt er (31,32 , 297870), hvilket betyr at bakteriekulturen når sitt maksimum etter ca. 31 timer, med et antall på ca. 300000.

Skjæring med y-akse betyr at det er antallet bakterier ved tiden null. Dette antallet er 200000. Skjæringspunktet er (0, 200000).

Grafens skjæring med x-aksen betyr at alle bakteriene er døde. Sannsynligvis matmangel, eller for mye giftstoffer. Dette skjer etter ca, 57 timer. Punktet der grafen sklærer x-aksen er (56,67, 0).

c)

Det er svart på i delspørsmål b.

d)

Den momentane veksten i time 40 er det samme som f `(40):

$$\begin{gathered} f(x)=-0,1x^4+5,5x^3-150x^2+5500x+200000 \\ {f}^{\prime }(x)=-0,4x^3+16,5x^2-300x+5500 \\ {f}^{\prime }(40)=-0,4\cdot {40}^3+16,5\cdot {40}^2-300\cdot 40+5500 \\ {f}^{\prime }(40)=-5700 \end{gathered}$$

Oppgave 3

For å beholde oversikten er det lurt med en systematisk oversikt. Jeg velger en krysstabell:

	GUTT	JENTE	Total
Trafikalt	8	9	17
Ikke trafikalt	5	8	13
Total	13	17	30

a)

Vi vet at eleven ikke har trafikalt grunnkurs:

P(jente | ikke trafikalt grunnkurs) = $\frac{P(jenteogikketrafikaltgrunnkurs)}{P(ikketrafikaltgrunnkurs)}=\frac{8}{13}$

b)

Velger to. "Minst en" er da den ene, eller den andre, eller begge:

P(Av to valgte har minst en trafikalt grunnkurs) = $\frac{17}{30}\cdot \frac{16}{29}+\frac{17}{30}\cdot \frac{13}{29}+\frac{13}{30}\cdot \frac{17}{29}=\frac{714}{870}\approx 0,82=82$ %

Oppgave 4

Vi trekker diagonalen BD. Lengden av denne finner vi ved å bruke pytagoras i trekanten ABD. Vi har to trekanter der alle sider er kjente. Bruker cosinussetningen til å finne en vinkel i trekanten BCD. Bruker så arealsetningen på hver av rekantene og legger disse sammen.

BD: $$\begin{gathered} (BD{)}^2=(70m{)}^2+(80m{)}^2 \\ (BD{)}^2=11300m^2 \\ BD=106,3m \end{gathered}$$

Finner vinkel C (kunne valgt de to andre også):

$$\begin{gathered} 106,3^2={100}^2+{70}^2-2\cdot 100\cdot 70\cdot cosC \\ cosC=\frac{106,3^2-{100}^2-{70}^2}{-2\cdot 100\cdot 70} \\ cosC=0,257 \\ C=co{s}^{-1}(0,257) \\ C=75,1^{\circ } \end{gathered}$$

Arealet av firkanten er summen av arealene til de to trekantene:

ABD: $A=\frac{70m\cdot 80m}{2}=2800m^2$

BCD: $A=\frac{1}{2}\cdot 70m\cdot 100m\cdot sin75,1=3382,3m^2$

Areale av firkanten ABCD blir da $2800m^2+3382,3m^2=6182,3m^2$

Oppgave 5

a)

b)

$$\begin{gathered} (BC{)}^2=(AB{)}^2+(AC{)}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot CosA \\ (AB{)}^2+81-18CosA\cdot (AB)-36=0 \\ (AB{)}^2-13,79(AB)+45=0 \end{gathered}$$

Det gir AB = 5,3 cm, eller AB = 8,5cm.

Oppgave 6

a)

$f(x)=ax+4$

Dersom a = -2 tangerer grafen til f grafen til g i ett punkt (1,2), dvs. en løsning. Dersom a <- 2 har likningen f(x) = g(x) ingen løsning. Dersom a > - 2 har likningen to løsninger, bortsett fra a = 0, som gir en løsning.

b)

$$\begin{gathered} a\ne 0: \\ f(x)=g(x) \\ ax+4=\frac{2}{x} \\ a{x}^2+4x-2=0 \end{gathered}$$

Bruker abc- formelen og får 16 + 8a under rottegnet. Når uttrykket er negativt har likningen ingen løsning. Når uttrykket er null har det en løsning. Når uttrykket er positivt har det to løsninger.

$$\begin{gathered} 16+8a=0 \\ a=-2 \\ a=-2\to enløsning \\ a<-2\to ingenløsning \\ a>-2\to toløsninger(a\ne 0) \end{gathered}$$

a lik null gir: $$\begin{gathered} \frac{2}{x}=4 \\ x=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

f er parallell med x-aksen og det er en skjæring, i punktet $(\frac{1}{2},4)$

Oppgave 7

a)

Koordinatene til P er (x,y). P ligger på linjen. Linjen har konstantledd lik 4 og stigningstall $-\frac{4}{5}$, dvs. $y=-\frac{4}{5}x+4$ som da blir y koordinaten til P.

b)

Arealet av trekanten ABP skal være halvparten av arealet til trekanten ABC. Arealet av trekanten ABC er 10. Grunnlinjen AB er den samme, 5 i begge trekanter. Høyden i trekant ABP er y.

$$\begin{gathered} A=\frac{g\cdot h}{2} \\ 5=\frac{5(-\frac{4}{5}x+4)}{2} \\ 5=-2+10 \\ x=\frac{5}{2} \end{gathered}$$

som gir y = 2. $P(\frac{5}{2},2)$, for at arealet av trekanten ABP skal være halvparten av ABC.

Dette kan sjekkes i Geogebra, ved å dra P litt oppover, og måle arealet av skravert trekant. Slik det er tegnet har P en litt for stor x verdi, med tilhørende for liten y verdi,

Oppgave 8

Når Per er halvveis opp, har Kari tilbakelagt x trinn. Per er alltid 52 trinn høyere.

$\frac{y}{2}=x+52$

y - antall trinn i tårnet.

x - Karis trinn når Per er halvveis.

Når Per er oppe er Karis posisjon $x+\frac{y}{2}$. I følge Per er hun da tre ganger høyere enn hun var når Per var halvveis.

$3x=x+\frac{y}{2}$

Vi har nå to likninger med to ukjente. Det er y vi er interessert i:

$\left[\begin{array}{r}\frac{y}{2}=x+52\\ 3x=x+\frac{y}{2}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{r}\frac{y}{2}=x+52\\ y=4x]\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{r}\frac{4x}{2}=x+52\\ x=52\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{r}y=4x=208\end{array}\right]$

Det er 208 trappetrinn i tårnet.

Oppgave 9

a)

Arealet av et kvadrat med sider x, er $x^2$

Arealet av et rektangel med sider x og b er xb.

Siden figuren i oppgaven består av to slike figurer og har areal c må

$x^2+bx=c$

x vil da være en positiv løsning av andregradslikningen $x^2+bx-c=0$

b)

Kvadratet ABCD: $(x+\frac{b}{2})(x+\frac{b}{2})=x^2+\frac{xb}{2}+\frac{xb}{2}+\frac{b^2}{4}=x^2+xb+\frac{b^2}{4}=c+\frac{b^2}{4}$

De to første leddene i svaret, tilsvarer c i oppgave a. Sees også fra figur tre.

c)

x er en del av sidene $(x+\frac{b}{2})$ som utspenner kvadratet ABCD. Dette er en lengde, og man snakker normalt ikke om negative lengder. c er arealet av rektangelet i a.

d)

$$\begin{gathered} (x+\frac{b}{2}{)}^2=c+\frac{b^2}{4} \\ x+\frac{b}{2}=\sqrt{\frac{4c+b^2}{4}} \\ x=-\frac{b}{2}+\frac{\sqrt{b^2+4c}}{2} \\ x=\frac{-b+\sqrt{b^2+4c}}{2} \end{gathered}$$