Kvotient regel derivasjon-bevis: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Ingen redigeringsforklaring
Ingen redigeringsforklaring
 
(19 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke)
Linje 1: Linje 1:


$$
Ved hjelp av definisjonen for den deriverte:


f(x)=limΔx0u(x+Δx)v(x+Δx)u(x)v(x)ΔxlimΔx0u(x+Δx)v(x)u(x)v(x+ΔxΔxv(x+Δx)v(x)
Vi har:
 
f(x)=u(x)v(x),f´(x)=u´(x)v(x)u(x)v´(x)(v(x))2,f´(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx
 
Bevis: 
 
$f'(x)= \lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+ \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} \ = \lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{u(x+\Delta x) \cdot v(x) - {u(x) \cdot v(x+ \Delta x)}}{\Delta x \cdot v(x+ \Delta x) \cdot v(x)} \= \lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{u(x+\Delta x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v(x) - {u(x) \cdot v(x+ \Delta x) + u(x) \cdot v(x)}}{\Delta x \cdot v(x+ \Delta x) \cdot v(x)}  \ = \lim_{\Delta x \rightarrow0} ( \frac{u(x+\Delta x)- u(x)}{\Delta x} \cdot \frac{v(x)}{v(x+\Delta x) \cdot v(x)} - \frac{v(x+\Delta x)- v(x)}{\Delta x} \cdot \frac{u(x)}{v(x+\Delta x) \cdot v(x)} ) \ = u´(x) \cdot \frac{v(x)}{v(x) \cdot v(x)} - v´(x) \cdot  \frac{u(x)}{v(x) \cdot v(x)} \ = \frac{u´(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v´(x)}{(v(x))^2}$
 
Eller ved hjelp av logaritmeregler:
 
$f(x)= \frac uv \quad \quad u>0, \quad v>0 \  (\ln f(x))´ = \frac 1u \cdot u´- \frac 1v \cdot v´= \frac{u´v-vú}{uv}$
 
 
 
$( \frac uv)´ = (e^{\ln \frac uv})´ = e^{\ln \frac uv} \cdot  \frac{u´v-vú}{uv} =\frac uv  \cdot  \frac{u´v-v`u}{uv} = \frac{uv´- v`u}{v^2}$
 
 
[[ Derivasjonsregler]]

Siste sideversjon per 7. okt. 2017 kl. 11:23

Ved hjelp av definisjonen for den deriverte:

Vi har:

f(x)=u(x)v(x),f´(x)=u´(x)v(x)u(x)v´(x)(v(x))2,f´(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx

Bevis:

f(x)=limΔx0u(x+Δx)v(x+Δx)u(x)v(x)Δx=limΔx0u(x+Δx)v(x)u(x)v(x+Δx)Δxv(x+Δx)v(x)=limΔx0u(x+Δx)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x+Δx)+u(x)v(x)Δxv(x+Δx)v(x)=limΔx0(u(x+Δx)u(x)Δxv(x)v(x+Δx)v(x)v(x+Δx)v(x)Δxu(x)v(x+Δx)v(x))=u´(x)v(x)v(x)v(x)v´(x)u(x)v(x)v(x)=u´(x)v(x)u(x)v´(x)(v(x))2

Eller ved hjelp av logaritmeregler:

f(x)=uvu>0,v>0(lnf(x))´=1uu´1vv´=u´vvúuv


(uv)´=(elnuv)´=elnuvu´vvúuv=uvu´vvuuv=uv´vuv2


Derivasjonsregler