Forskjell mellom versjoner av «Løsning del 1 og del 2 utrinn Vår 16»
(→b) |
|||
(92 mellomliggende revisjoner av 3 brukere er ikke vist) | |||
Linje 21: | Linje 21: | ||
==Oppgave 2== | ==Oppgave 2== | ||
===a=== | ===a=== | ||
− | $4550 mm = 455,0 cm = 45,50 dm = 4, | + | $4550$ mm = $455,0$ cm = $45,50$ dm = $4,550$ m |
===b=== | ===b=== | ||
Linje 28: | Linje 28: | ||
==Oppgave 3== | ==Oppgave 3== | ||
+ | |||
+ | $(-3)^2 =9 \\ \frac{20}{2+3} = 4 \\ 2+2^2 = 6 \\ -2^2 + 6 = -4+6 =2$ | ||
+ | |||
+ | Det siste uttrykket har den laveste verdien. | ||
==Oppgave 4== | ==Oppgave 4== | ||
===a=== | ===a=== | ||
+ | |||
+ | $\frac 16 + \frac 26 = \frac 36 = \frac 12$ | ||
+ | |||
===b=== | ===b=== | ||
+ | |||
+ | $ \frac 45 - 0,4 = \frac 45 - \frac 25 = \frac 25$ | ||
==Oppgave 5== | ==Oppgave 5== | ||
+ | |||
+ | Det tallet som har det høyeste sifferet på tidelsplassen er størst, altså 0,9. | ||
==Oppgave 6== | ==Oppgave 6== | ||
+ | |||
+ | $ 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 91 kg = 9,1 \cdot 10^{-31} kg$ | ||
==Oppgave 7== | ==Oppgave 7== | ||
+ | |||
+ | f skjærer y-aksen i -1 og stiger med 1: f(x) = x - 1 | ||
+ | |||
+ | g skjærer y-aksen i 2 og synker med en halv: $g(x) = - \frac 12 x +2$ | ||
==Oppgave 8== | ==Oppgave 8== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $3500 kr \cdot 0,8 = 2800 kr$ | ||
+ | |||
+ | Alternativt: $3500 kr - \frac{3500 \cdot 20}{100} kr = 2800 kr$ | ||
+ | |||
+ | Sykkelen koster 2800 kroner når rabatten er trukket fra. | ||
==Oppgave 9== | ==Oppgave 9== | ||
+ | |||
+ | Det er to gunstige av seks, altså $\frac 26$ som forkortes til $\frac 13$ | ||
==Oppgave 10== | ==Oppgave 10== | ||
+ | |||
+ | 6 + 4 = 10 | ||
+ | |||
+ | 5 + 5 = 10 | ||
+ | |||
+ | 4 + 6 = 10 | ||
+ | |||
+ | 3 av 36 utfall gir sum 10, altså $\frac{3}{36} = \frac {1}{12}$ | ||
==Oppgave 11== | ==Oppgave 11== | ||
===a=== | ===a=== | ||
+ | |||
+ | $4x - 3 = x \\ 4x - x= 3 \\ 3x =3 \\ x = 1$ | ||
+ | |||
===b=== | ===b=== | ||
+ | $\frac{x-1}{2} -x = 3 \\ x-1-2x = 6 \\ -x = 7 \\ x= -7$ | ||
==Oppgave 12== | ==Oppgave 12== | ||
===a=== | ===a=== | ||
+ | |||
+ | -a + 2a + 3a = 4a | ||
+ | |||
===b=== | ===b=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $ \frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} = \frac{(a+1)-(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{2}{a^2-1}$ | ||
==Oppgave 13== | ==Oppgave 13== | ||
+ | |||
+ | $\frac{6}{0,2}$ er det samme som $\frac{60}{2} = 30$. | ||
+ | |||
+ | Posen varer 30 dager, eller ca en måned. | ||
==Oppgave 14== | ==Oppgave 14== | ||
+ | |||
+ | Trekantene er formlike fordi vinklene i trekantene er parvis like store. | ||
==Oppgave 15== | ==Oppgave 15== | ||
+ | |||
+ | Toget bruker 6:34 etter midnatt. Før midnatt bruker toget 1:14. Den totale tiden blir da 7 h 48 min. | ||
==Oppgave 16== | ==Oppgave 16== | ||
+ | |||
+ | [[File:utrinn-2016-116.png]] | ||
+ | |||
+ | Avsetter AB lik 6 cm. | ||
+ | |||
+ | Konstruerer 90 grader i B | ||
+ | |||
+ | Avsetter 9,5 cm i passeren, setter spissen i A og finner punkt D. | ||
+ | |||
+ | Konstruerer 45 grader i B og D, i forhold til linjestykket BD, og finner C. Vinkel ABC er 135 grader, altså 90 + 45 og det er oppgitt at lengden av BC er lik lengden av CD, da må også vinkel BDC være 45 grader. | ||
==Oppgave 17== | ==Oppgave 17== | ||
+ | |||
+ | $A = \frac{g \cdot h}{2} \\ 2A = g \cdot h \\ h = \frac{2A}{g}$ | ||
==Oppgave 18== | ==Oppgave 18== | ||
===a=== | ===a=== | ||
+ | |||
+ | Pytagoras : BC = $\sqrt{40^2 + 30^2} = 50$ | ||
+ | |||
+ | BC er altså 50 meter. | ||
+ | |||
===b=== | ===b=== | ||
+ | Løpefart: $v_l = \frac{100m}{20s} = 5 m/s$ | ||
+ | |||
+ | Svømmefart: $v_s = \frac{50m}{60s} = \frac 56 m/s$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Forholdet løpefart delt på svømmefart blir: | ||
+ | |||
+ | $\frac{v_l}{v_s} = \frac{5}{\frac 56} = 6$ | ||
+ | |||
+ | Han løper seks ganger raskere enn han svømmer, forholdet er 6:1. | ||
==Oppgave 19== | ==Oppgave 19== | ||
===a=== | ===a=== | ||
+ | |||
+ | Typetallet er den verdien det er mest av, karakter 4. | ||
+ | |||
===b=== | ===b=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Fra karakter 1 ser vi at én elev utgjør 20 grader. Vi får: | ||
+ | |||
+ | $1: 40^{\circ}\\2: 60^{\circ} \\3:60^{\circ} \\4: 100^{\circ}\\ 5: 80^{\circ}\\ 6: 20^{\circ}$[[File:utrinn-2016-119b.png]] | ||
+ | |||
===c=== | ===c=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Karaktersum: (1*2 + 2*3 + 3*3 + 4*5 + 5*4 + 6*1) = 63 | ||
+ | |||
+ | Gjennomsnittskarakter: 63 : 18 = 3,5 | ||
==Oppgave 20== | ==Oppgave 20== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | 300 km = 300 000 m = 30 000 000 cm | ||
+ | |||
+ | Siden 2 cm på kartet tilsvarer 30 millioner cm i virkeligheten er målestokken 2 : 30 000 000 som er 1 : 15 000 000. | ||
==Oppgave 21== | ==Oppgave 21== | ||
+ | |||
+ | Husk at areal av sirkel er $\pi r^2$ og overflaten av en sylinder (uten topp og bunn) er $h \cdot 2 \pi r$ | ||
+ | |||
+ | Overflate av sylinderen: | ||
+ | |||
+ | $O = 2 \pi r^2 + h \cdot 2\pi r \\ O \approx 2 \cdot 3 \cdot 10^2 + 24 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 10 \\ O \approx 600 + 1440 \\ O \approx 2040$ | ||
+ | |||
+ | Alle mål i cm, så overflaten blir ca $2040 cm^2$. (I virkeligheten er den noe større). | ||
=Del 2= | =Del 2= | ||
Linje 83: | Linje 189: | ||
==Oppgave 1== | ==Oppgave 1== | ||
===a=== | ===a=== | ||
+ | |||
+ | De kjøper 880 euro til en stykkpris av 9,3165 NOK. | ||
+ | |||
+ | De betaler: $880 \cdot 9,3165 NOK =8198,52 NOK$ | ||
+ | |||
===b=== | ===b=== | ||
+ | Beløpet i norske kroner delt på antall euro gir oss kursen: | ||
+ | |||
+ | $\frac{13000 \text{ NOK}}{1389,78\: €} = 9,3540 \text{ NOK}/€$. | ||
==Oppgave 2== | ==Oppgave 2== | ||
===a=== | ===a=== | ||
+ | |||
+ | Hvert hjul har 10 siffer, du har altså 10 muligheter for hvert hjul: | ||
+ | |||
+ | $10^4 = 10000$ | ||
+ | |||
+ | Det er 10 000 kombinasjoner. | ||
+ | |||
===b=== | ===b=== | ||
+ | 3377, 3737, 3773, 7337, 7373 og 7733. | ||
+ | |||
===c=== | ===c=== | ||
+ | |||
+ | Volum $V = l \cdot h \cdot b$ | ||
+ | |||
+ | Dagens: $V = l \cdot h \cdot b = 56 cm \cdot 45cm \cdot 25 cm = 63000 cm^3 = 63 dm^3 = 63 liter $ | ||
+ | |||
+ | Fremtidens: $V = l \cdot h \cdot b = 55 cm \cdot 35cm \cdot 20 cm = 38500 cm^3 = 38,5 dm^3 = 38,5 liter $ | ||
+ | |||
===d=== | ===d=== | ||
+ | Fremtidens mål delt på dagens mål er 0,6111, det betyr at fremtidens volum er ca 61% av dagens, altså en reduksjon på ca 39%. | ||
==Oppgave 3== | ==Oppgave 3== | ||
===a=== | ===a=== | ||
+ | |||
+ | Kjørelengde: 287km + 83km + 371km = 741km = 74,1 mil | ||
+ | |||
+ | Bensinforbruk: $74,1 mil \cdot 0,45 liter/mil = 33,35 liter$ | ||
+ | |||
+ | Bensinkostnad: $33,35 \cdot 1,65 = 55,02$ Euro. | ||
+ | |||
===b=== | ===b=== | ||
+ | 640€ er en fast utgift uavhengig av kjørelengde. Den variable kostnaden er 948€ - 640€ = 308€ | ||
+ | |||
+ | De betaler 0,35€ per kilometer, altså | ||
+ | |||
+ | $308 = 0,35x \\ \frac{308}{0,35} = x \\ x = 880$ | ||
+ | |||
+ | De kjørte 880 km | ||
==Oppgave 4== | ==Oppgave 4== | ||
===a=== | ===a=== | ||
+ | [[File:utrinn-v16-2a1.png]] | ||
+ | |||
+ | Pris og lønn i Euro. | ||
+ | |||
+ | [[File:utrinn-v16-2-4a2.png]] | ||
+ | |||
+ | |||
===b=== | ===b=== | ||
+ | [[File:utrinn-v16-2-4b.png]] | ||
==Oppgave 5== | ==Oppgave 5== | ||
===a=== | ===a=== | ||
+ | [[File:vaar16vedlegg1.png]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Forsvinningspunktet er i hodet på personen midt i bildet, trolig Jesus. | ||
+ | |||
===b=== | ===b=== | ||
+ | [[File:utrinn-2016-25b.png]] | ||
+ | Måler med linjal og finner: | ||
+ | |||
+ | 1. Høyde mann: 14cm - lengde fra fingertupp til fingertupp: 14cm. Påstanden er riktig. | ||
+ | |||
+ | 2. Lengde av hånd delt på lengde av mann er 1/10. Målt: 1,5 cm og 14 cm, som gir 0,107 $\approx$0,11, altså ikke helt riktig. (størst usikkerhet i måling av hånd, desto kortere lengde, desto større prosentvis feil). | ||
+ | |||
+ | 3. Høyde er 14 cm, og lengde albu - fingertupp er 3,6 cm. Det gir et forhold på 0,26, altså er påstanden feil. | ||
+ | |||
+ | 4. Lengde fot er 2 cm, det gir et forhold 1/7 og påstanden er riktig. | ||
==Oppgave 6== | ==Oppgave 6== | ||
===a=== | ===a=== | ||
+ | |||
+ | h = 44,4m | ||
+ | |||
+ | $h= 4,9t^2 \\ t= \sqrt{\frac{44,4}{4,9} } = 3,01 \approx 3$ | ||
+ | |||
+ | Fallet tar ca. 3 sekunder. | ||
+ | |||
===b=== | ===b=== | ||
+ | Vi finner ut hvor kulen befinner seg etter to sekunder: | ||
+ | |||
+ | $h=4,9 t^2 = 4,9 \cdot 2^2 = 19,6 $ meter under slippstedet. | ||
+ | |||
+ | 44,4 meter - 19,6 meter = 24,8 meter. | ||
+ | |||
+ | Kulen faller altså ca. 25 meter det siste sekundet. | ||
==Oppgave 7== | ==Oppgave 7== | ||
===a=== | ===a=== | ||
+ | [[File:utrinn2016-24b.png]] | ||
+ | |||
+ | Skriver inn $h(x) = $ Funksjon[$-0.01x ^2 + x + 20, 0, 120$] for å tegne grafen på et gitt intervall. | ||
+ | |||
===b=== | ===b=== | ||
+ | Bruker kommandoen "Ekstremalpunkt" i Geogebra og finner at maksimumshøyden er 45 meter når kula er 50 meter fra kanonen, i x - retning . | ||
==Oppgave 8== | ==Oppgave 8== | ||
===a=== | ===a=== | ||
+ | |||
+ | Fibonaccitall nr ni, ti elleve og tolv: | ||
+ | |||
+ | 34, 55, 89 og 144. | ||
+ | |||
===b=== | ===b=== | ||
+ | De fire neste: 5a + 8b, 8a + 13b, 13a + 21b, 21a + 34b. | ||
==Oppgave 9== | ==Oppgave 9== | ||
+ | |||
+ | Her er trikset å bruke Pytagoras på trekanten. Vi ser at den korteste kateten er $40$ cm, den lengste kateten kan vi skrive som $80-r$ og hypotenusen kan vi skrive som $40 + r$. Nå får vi: | ||
+ | |||
+ | $(40+r)^2 = 40^2 + (80-r)^2 \\ 1600 + 80r + r^2 = 1600 + 6400 -160r + r^2 \\ 80r + 160r = 6400 \\ r = \frac {80}{3}$ | ||
+ | |||
+ | Radius r i sirkelen er $\frac{80}{3}$ cm. |
Nåværende revisjon fra 13. jun. 2017 kl. 20:03
Del 1
Oppgave 1
a
$856 + 173 = 1029$
b
$701 - 129 = 572$
c
$102 \cdot 98 = 9996$
d
$624 : 3 = 208$
Oppgave 2
a
$4550$ mm = $455,0$ cm = $45,50$ dm = $4,550$ m
b
$0,8 kg = 8,0 hg = 800 g$
Oppgave 3
$(-3)^2 =9 \\ \frac{20}{2+3} = 4 \\ 2+2^2 = 6 \\ -2^2 + 6 = -4+6 =2$
Det siste uttrykket har den laveste verdien.
Oppgave 4
a
$\frac 16 + \frac 26 = \frac 36 = \frac 12$
b
$ \frac 45 - 0,4 = \frac 45 - \frac 25 = \frac 25$
Oppgave 5
Det tallet som har det høyeste sifferet på tidelsplassen er størst, altså 0,9.
Oppgave 6
$ 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 91 kg = 9,1 \cdot 10^{-31} kg$
Oppgave 7
f skjærer y-aksen i -1 og stiger med 1: f(x) = x - 1
g skjærer y-aksen i 2 og synker med en halv: $g(x) = - \frac 12 x +2$
Oppgave 8
$3500 kr \cdot 0,8 = 2800 kr$
Alternativt: $3500 kr - \frac{3500 \cdot 20}{100} kr = 2800 kr$
Sykkelen koster 2800 kroner når rabatten er trukket fra.
Oppgave 9
Det er to gunstige av seks, altså $\frac 26$ som forkortes til $\frac 13$
Oppgave 10
6 + 4 = 10
5 + 5 = 10
4 + 6 = 10
3 av 36 utfall gir sum 10, altså $\frac{3}{36} = \frac {1}{12}$
Oppgave 11
a
$4x - 3 = x \\ 4x - x= 3 \\ 3x =3 \\ x = 1$
b
$\frac{x-1}{2} -x = 3 \\ x-1-2x = 6 \\ -x = 7 \\ x= -7$
Oppgave 12
a
-a + 2a + 3a = 4a
b
$ \frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} = \frac{(a+1)-(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{2}{a^2-1}$
Oppgave 13
$\frac{6}{0,2}$ er det samme som $\frac{60}{2} = 30$.
Posen varer 30 dager, eller ca en måned.
Oppgave 14
Trekantene er formlike fordi vinklene i trekantene er parvis like store.
Oppgave 15
Toget bruker 6:34 etter midnatt. Før midnatt bruker toget 1:14. Den totale tiden blir da 7 h 48 min.
Oppgave 16
Avsetter AB lik 6 cm.
Konstruerer 90 grader i B
Avsetter 9,5 cm i passeren, setter spissen i A og finner punkt D.
Konstruerer 45 grader i B og D, i forhold til linjestykket BD, og finner C. Vinkel ABC er 135 grader, altså 90 + 45 og det er oppgitt at lengden av BC er lik lengden av CD, da må også vinkel BDC være 45 grader.
Oppgave 17
$A = \frac{g \cdot h}{2} \\ 2A = g \cdot h \\ h = \frac{2A}{g}$
Oppgave 18
a
Pytagoras : BC = $\sqrt{40^2 + 30^2} = 50$
BC er altså 50 meter.
b
Løpefart: $v_l = \frac{100m}{20s} = 5 m/s$
Svømmefart: $v_s = \frac{50m}{60s} = \frac 56 m/s$
Forholdet løpefart delt på svømmefart blir:
$\frac{v_l}{v_s} = \frac{5}{\frac 56} = 6$
Han løper seks ganger raskere enn han svømmer, forholdet er 6:1.
Oppgave 19
a
Typetallet er den verdien det er mest av, karakter 4.
b
Fra karakter 1 ser vi at én elev utgjør 20 grader. Vi får:
$1: 40^{\circ}\\2: 60^{\circ} \\3:60^{\circ} \\4: 100^{\circ}\\ 5: 80^{\circ}\\ 6: 20^{\circ}$
c
Karaktersum: (1*2 + 2*3 + 3*3 + 4*5 + 5*4 + 6*1) = 63
Gjennomsnittskarakter: 63 : 18 = 3,5
Oppgave 20
300 km = 300 000 m = 30 000 000 cm
Siden 2 cm på kartet tilsvarer 30 millioner cm i virkeligheten er målestokken 2 : 30 000 000 som er 1 : 15 000 000.
Oppgave 21
Husk at areal av sirkel er $\pi r^2$ og overflaten av en sylinder (uten topp og bunn) er $h \cdot 2 \pi r$
Overflate av sylinderen:
$O = 2 \pi r^2 + h \cdot 2\pi r \\ O \approx 2 \cdot 3 \cdot 10^2 + 24 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 10 \\ O \approx 600 + 1440 \\ O \approx 2040$
Alle mål i cm, så overflaten blir ca $2040 cm^2$. (I virkeligheten er den noe større).
Del 2
Oppgave 1
a
De kjøper 880 euro til en stykkpris av 9,3165 NOK.
De betaler: $880 \cdot 9,3165 NOK =8198,52 NOK$
b
Beløpet i norske kroner delt på antall euro gir oss kursen:
$\frac{13000 \text{ NOK}}{1389,78\: €} = 9,3540 \text{ NOK}/€$.
Oppgave 2
a
Hvert hjul har 10 siffer, du har altså 10 muligheter for hvert hjul:
$10^4 = 10000$
Det er 10 000 kombinasjoner.
b
3377, 3737, 3773, 7337, 7373 og 7733.
c
Volum $V = l \cdot h \cdot b$
Dagens: $V = l \cdot h \cdot b = 56 cm \cdot 45cm \cdot 25 cm = 63000 cm^3 = 63 dm^3 = 63 liter $
Fremtidens: $V = l \cdot h \cdot b = 55 cm \cdot 35cm \cdot 20 cm = 38500 cm^3 = 38,5 dm^3 = 38,5 liter $
d
Fremtidens mål delt på dagens mål er 0,6111, det betyr at fremtidens volum er ca 61% av dagens, altså en reduksjon på ca 39%.
Oppgave 3
a
Kjørelengde: 287km + 83km + 371km = 741km = 74,1 mil
Bensinforbruk: $74,1 mil \cdot 0,45 liter/mil = 33,35 liter$
Bensinkostnad: $33,35 \cdot 1,65 = 55,02$ Euro.
b
640€ er en fast utgift uavhengig av kjørelengde. Den variable kostnaden er 948€ - 640€ = 308€
De betaler 0,35€ per kilometer, altså
$308 = 0,35x \\ \frac{308}{0,35} = x \\ x = 880$
De kjørte 880 km
Oppgave 4
a
Pris og lønn i Euro.
b
Oppgave 5
a
Forsvinningspunktet er i hodet på personen midt i bildet, trolig Jesus.
b
Måler med linjal og finner:
1. Høyde mann: 14cm - lengde fra fingertupp til fingertupp: 14cm. Påstanden er riktig.
2. Lengde av hånd delt på lengde av mann er 1/10. Målt: 1,5 cm og 14 cm, som gir 0,107 $\approx$0,11, altså ikke helt riktig. (størst usikkerhet i måling av hånd, desto kortere lengde, desto større prosentvis feil).
3. Høyde er 14 cm, og lengde albu - fingertupp er 3,6 cm. Det gir et forhold på 0,26, altså er påstanden feil.
4. Lengde fot er 2 cm, det gir et forhold 1/7 og påstanden er riktig.
Oppgave 6
a
h = 44,4m
$h= 4,9t^2 \\ t= \sqrt{\frac{44,4}{4,9} } = 3,01 \approx 3$
Fallet tar ca. 3 sekunder.
b
Vi finner ut hvor kulen befinner seg etter to sekunder:
$h=4,9 t^2 = 4,9 \cdot 2^2 = 19,6 $ meter under slippstedet.
44,4 meter - 19,6 meter = 24,8 meter.
Kulen faller altså ca. 25 meter det siste sekundet.
Oppgave 7
a
Skriver inn $h(x) = $ Funksjon[$-0.01x ^2 + x + 20, 0, 120$] for å tegne grafen på et gitt intervall.
b
Bruker kommandoen "Ekstremalpunkt" i Geogebra og finner at maksimumshøyden er 45 meter når kula er 50 meter fra kanonen, i x - retning .
Oppgave 8
a
Fibonaccitall nr ni, ti elleve og tolv:
34, 55, 89 og 144.
b
De fire neste: 5a + 8b, 8a + 13b, 13a + 21b, 21a + 34b.
Oppgave 9
Her er trikset å bruke Pytagoras på trekanten. Vi ser at den korteste kateten er $40$ cm, den lengste kateten kan vi skrive som $80-r$ og hypotenusen kan vi skrive som $40 + r$. Nå får vi:
$(40+r)^2 = 40^2 + (80-r)^2 \\ 1600 + 80r + r^2 = 1600 + 6400 -160r + r^2 \\ 80r + 160r = 6400 \\ r = \frac {80}{3}$
Radius r i sirkelen er $\frac{80}{3}$ cm.