Vektorprodukt: Forskjell mellom sideversjoner

Siste sideversjon per 16. jun. 2020 kl. 18:48

Vektorproduktet er en operasjon mellom to 3-dimensjonale vektorer som har nyttige anvendelser i blant annet areal- og volumberegninger og når vi skal finne normalvektorer til flater og plan i rommet. Merk at vektorproduktet slik det er definert ikke gir mening for annet enn 3- og 7-dimensjonale vektorer, der vi kun har fokus på det 3-dimensjonale tilfellet.

Determinanter

$| \begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} \end{matrix} | = a_{1, 1} \cdot a_{2, 2} - a_{2, 1} \cdot a_{1, 2}$

Når man multipliserer diagonalt nedover mot høyre blir fortegnet positivt. Multiplikasjon diagonalt nedover mot venstre gir negativt fortegn.

$| \begin{matrix} 1 & 4 & - 2 \\ 5 & 3 & 6 \\ 2 & 0 & - 1 \end{matrix} |$ = -3 - 0 + 48 +20 + 0 + 12 = 77

Vi kom fram til dette på følgende måte: Vi utvider determinaten med to kolonner, slik at kolonne en og to repeteres etter kolonne tre.

$(1 \cdot 3 \cdot (- 1) - 1 \cdot 6 \cdot 0) + (4 \cdot 6 \cdot 2 - 4 \cdot 5 \cdot (- 1)) + ((- 2) \cdot 5 \cdot 0 - (- 2) \cdot 3 \cdot 2) = - 3 - 0 + 48 + 20 + 0 + 12 = 77$

Definisjon av vektorprodukt (kryssprodukt)

Vi bruker notasjonen $\times$ for vektorprodukt. Lar vi $\vec{v_{1}} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ og $\vec{v_{2}} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ er

\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}), - (x_{1} z_{2} - x_{2} z_{1}), (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})

Definisjonen kan også skrives som en determinant som gjør den lettere å huske,

\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = | \begin{array}{ccc} i & j & k \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} |

Utvikler vi i første rad ser vi at determinanten blir

\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}) i, - (x_{1} z_{2} - x_{2} z_{1}) j, (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) k

.

Her tolker vi $i, j, k$ som enhetsvektorer langs x-,y- og z-aksen, og da ser vi at dette er i overensstemmelse med den første definisjonen.

Eksempel

$[1, 2, 3] x [2, 2, 0] = | \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \end{matrix} | = [0 - 6, 6 - 0, 2 - 4] = [- 6, 6, - 2]$

Merk at kryssproduktet ikke er kommutativt. Bruker vi definisjonen ser vi at

\vec{v_{2}} \times \vec{v_{1}} = - \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}

Geometrisk tolkning

Vektorproduktet $\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}$ er en ny vektor, si $\vec{v_{3}}$ , som står normalt (vinkelrett) på både $\vec{v_{1}}$ og $\vec{v_{2}}$ og har lengde $| \vec{v_{1}} | | \vec{v_{2}} | \sin (θ)$ der $θ$ er den minste vinkelen mellom vektorene. Retningen til $\vec{v_{3}}$ følger høyrehåndsregelen, dvs. at dersom vi tilpasser et slags koordinatsystem slik at $\vec{v_{1}}$ følger x-aksen i positiv retning og $\vec{v_{2}}$ følger y-aksen i positiv retning, vil $\vec{v_{3}}$ peke i positiv retning langs z-aksen.

Absoluttverdien av vektorproduktet

Absoluttverdien

| \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} |

er arealet til parallellogrammet utspent av vektorene. Bruker vi definisjonen kan vi vise at

| \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} | = | \vec{v_{1}} | | \vec{v_{2}} | \sin (θ)

der $θ$ er (den minste) vinkelen mellom vektorene. Da ser vi geometrisk at dette er likt arealet av parallellogrammet. For spesialtilfellet $θ = \frac{π}{2}$ vil vektorene utspenne et rektangel, og da ser vi enkelt at arealtolkningen stemmer siden $\sin (\frac{π}{2}) = 1$ .

Eksempler

Beregning av vektorprodukt

Gitt vektorene $\vec{p} = (1, 4, 2)$ og $\vec{q} = (9, 7, 1)$ beregner vi vektorproduktet som følger:

\vec{p} \times \vec{q} = (1, 4, 2) \times (9, 7, 1) = (4 \cdot 1 - 7 \cdot 2, - (1 \cdot 1 - 9 \cdot 2), 1 \cdot 7 - 9 \cdot 4) = (- 10, 17, - 29)

Høyrehåndsregelen

Vi har vektoren $\vec{v_{1}}$ og vektoren $\vec{v_{2}}$ . Vektorproduktet av de to vektorene vil være en vektor $\vec{v_{3}}$ som står vinkelrett på planet som inneholder vektoren $\vec{v_{1}}$ og vektoren $\vec{v_{2}}$ .

Dersom du bruker høyre hånd og holder pekefingren parallell med $\vec{v_{1}}$ , bøy langfingren slik at den er parallell med $\vec{v_{2}}$ og la tommelfingren stå rett ut fra hånden. Tommelen peker nå i samme retning som $\vec{v_{3}}$ . Regelen kalles høyrehåndsregelen.

Regneregler

Vektorproduktet skrives $\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}$ og kalles derfor ofte for kryssproduktet. Operasjoner er ikke kommutativ eller assosiativ. Følgende regneregler gjelder:

<math>\vec{v_1}\times \vec{v_1} = -( \vec{v_2} \times \vec{v_1}) \ \ (\vec{v_1} + \vec{v_2}) \times \vec{v_3} = (\vec{v_1} \times \vec{v_3}) + (\vec{v_2} \times \vec{v_3})\ \

(k\vec{v_1}) \times \vec{v_2} = \vec{v_1} \times (k\vec{v_2})= k(\vec{v_1} \times \vec{v_2})</math>

Når man tar skalarproduktet av to vektorer blir resultatet en skalar, eller et tall. Når man tar vektorproduktet blir resultatet en ny vektor. Lengden av denne vektoren er gitt ved:

$| \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} | = | \vec{v_{1}} | \cdot | \vec{v_{2}} | \cdot \sin ϕ, ϕ \in [0^{\circ}, 180^{\circ}]$ .

Bruksområder

Vektorproduktet brukes til å beskrive fenomener i fysikken og det kan også brukes til å regne ut arealer og volumer, samt til å bestemme et plans normalvektor. Eksempelvis har vi at:

Arealet at parallellogram

utspent av vektorene $\vec{v_{1}}$ og $\vec{v_{2}}$ er gitt ved $A = | \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} |$

Vektorene[-1, 4,0] og[2,2,0] ligger begge i xy planet og utspenner et parallellogram med areal 10, se figur til venstre. Ved å ta kryssproduktet får man vektoren [0, 0, 10] som jo er parallel med Z aksen, normalt på de to vektorene i xy planet. Denne vektoren har lengde 10, som jo er sammenfallende med arealet av parallellogrammet.

Arealet av en trekant

utspent av vektorene $\vec{v_{1}}$ og $\vec{v_{2}}$ er gitt ved $A = \frac{1}{2} \cdot | \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} |$

Volumet av en trekantet pyramide

bestemt av vektorene $\vec{v_{1}}$ , $\vec{v_{2}}$ og $\vec{v_{3}}$ er gitt ved $V = \frac{1}{6} \cdot | (\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}) \cdot \vec{v_{3}} |$

Volumet av en firkantet pyramide

bestemt av vektorene $\vec{v_{1}}$ , $\vec{v_{2}}$ og $\vec{v_{3}}$ er gitt ved $V = \frac{1}{3} \cdot | (\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}) \cdot \vec{v_{3}} |$

Volumet av et parallellepiped

bestemt av vektorene $\vec{v_{1}}$ , $\vec{v_{2}}$ og $\vec{v_{3}}$ er gitt ved $V = | (\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}) \cdot \vec{v_{3}} |$

@@ Linje 7: / Linje 7: @@
 [[Bilde:vektor004.png]]
+Når man multipliserer diagonalt nedover mot høyre blir fortegnet positivt. Multiplikasjon diagonalt nedover mot venstre gir negativt fortegn.
+ $| \begin{matrix} 1 & 4 & - 2 \\ 5 & 3 & 6 \\ 2 & 0 & - 1 \end{matrix} |$  = -3 - 0 + 48 +20 + 0 + 12 = 77
+Vi kom fram til dette på følgende måte: Vi utvider determinaten med to kolonner, slik at kolonne en og to repeteres etter kolonne tre.
+[[Bilde:vektor011.png]]
+ $(1 \cdot 3 \cdot (- 1) - 1 \cdot 6 \cdot 0) + (4 \cdot 6 \cdot 2 - 4 \cdot 5 \cdot (- 1)) + ((- 2) \cdot 5 \cdot 0 - (- 2) \cdot 3 \cdot 2) = - 3 - 0 + 48 + 20 + 0 + 12 = 77$
 == Definisjon av vektorprodukt (kryssprodukt)==
@@ Linje 12: / Linje 23: @@
-:<math>\vec{v_1}\times \vec{v_2}=\left ( y_1z_2-y_2z_1)-(x_1z_2-x_2z_1)+ (x_1y_2-x_2y_1 \right )</math>
+:<math>\vec{v_1}\times \vec{v_2}=\left ( y_1z_2-y_2z_1), -(x_1z_2-x_2z_1), (x_1y_2-x_2y_1 \right )</math>
@@ Linje 23: / Linje 34: @@
-:<math>\vec{v_1}\times\vec{v_2}= (y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k</math>.
+:<math>\vec{v_1}\times\vec{v_2}= (y_1z_2-y_2z_1)i, -(x_1z_2-x_2z_1)j, (x_1y_2-x_2y_1)k</math>.
 Her tolker vi  $i, j, k$  som enhetsvektorer langs x-,y- og z-aksen, og da ser vi at dette er i overensstemmelse med den første definisjonen.
+==Eksempel==
+<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
+ $[1, 2, 3] x [2, 2, 0] = | \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \end{matrix} | = [0 - 6, 6 - 0, 2 - 4] = [- 6, 6, - 2]$
+[[Bilde:vektor014.png]]
+</div>
@@ Linje 96: / Linje 118: @@
  $A = | \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} |$
-[[Bilde:vektor005.png]]
+[[Bilde:vektor013.png]]  [[Bilde:vektor012.png]]
+Vektorene[-1, 4,0] og[2,2,0] ligger begge i xy planet og utspenner et parallellogram med areal 10, se figur til venstre. Ved å ta kryssproduktet får man vektoren [0, 0, 10] som jo er parallel med Z aksen, normalt på de to vektorene i xy planet. Denne vektoren har lengde 10, som jo er sammenfallende med arealet av parallellogrammet.
 === Arealet av en trekant ===