Vektorer i rommet: Forskjell mellom sideversjoner

Siste sideversjon per 22. apr. 2019 kl. 10:06

En vektor er det samme som et koordinat, vi tenker oss en pil fra origo til et punkt med koordinat (x,y) i det euklidske planet eller (x,y,z) i rommet $R^{3}$ . Det fins en rekke måter å skrive vektorer på, f.eks. er det vanlig å bruke $\vec{r} = (x, y, z)$ , $\vec{r} = ⟨ x, y, z ⟩$ eller $\vec{r} = [x, y, z]$ . Vi kan også innføre enhetsvektorer langs de tre aksene og skrive vektorene ved hjelp av disse. Da er $\vec{r} = x \vec{e_{x}} + y \vec{e_{y}} + z \vec{e_{z}}$ der $\vec{e_{i}}$ er enhetsvektor langs aksen $i \in [x, y, z]$ . Her holder vi oss for enkelhets skyld til den første konvensjonen.

En vektor i rommet er en generalisering av en vektor i planet der vi har innført én ny koordinat. Mye av teorien for vektorer i planet vil utvides på naturlig måte til vektorer i rommet. F.eks. er definisjonen av lengde, sum, skalarmultiplikasjon og skalarprodukt (prikkprodukt) av 3-dimensjonale vektorer analog med det 2-dimensjonale tilfellet:

Lengden av en vektor i rommet

Lengden av en 3-dimensjonal vektor er angitt med absoluttverditegn. Dersom $\vec{v} = (x, y, z)$ er lengden definert som

| \vec{v} | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

Vektorsum

Addisjon av vektorer foregår på samme måte som i planet, dvs. komponentvis. Vi har at

\vec{v} + \vec{v^{'}} = (x, y, z) + (x^{'}, y^{'}, z^{'}) = (x + x^{'}, y + y^{'}, z + z^{'})

Multiplikasjon med skalar

Vi kan multiplisere en vektor med en skalar på samme måte som i planet:

k (x, y, z) = (k x, k y, k z)

der

k

er en skalar.

Da ser vi at

| k \vec{v} | = | (k x, k y, k z) | = \sqrt{(k x)^{2} + (k y)^{2} + (k z)^{2}} = \sqrt{k^{2} (x^{2} + y^{2} + z^{2})} = | k | \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = | k | | \vec{v} |

Denne formelen kan anvendes for å forenkle utregninger gjennom å faktorisere ut felles faktorer i vektoren vi skal finne lengden av.

Skalarprodukt

La $\vec{v_{1}} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ og $\vec{v_{2}} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ . Da er skalarproduktet definert som

\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}

Dette er ekvivalent med

\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = | \vec{v_{1}} | | \vec{v_{2}} | \cdot \cos (θ)

der

θ

er vinkelen mellom vektorene.

Merk at definisjonen medfører at skalarproduktet er kommutativt, dvs. at $\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = \vec{v_{2}} \cdot \vec{v_{1}}$

En viktig observasjon er at dersom vi tar skalarproduktet med vektoren selv, får vi

\vec{v} \cdot \vec{v} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = | \vec{v} |^{2}

.

Her ser vi at dette stemmer overens med den andre definisjonen av skalarproduktet i og med at vinkelen mellom to like vektorer er $θ = 0$ , og da er $\cos (θ) = \cos (0) = 1$ .

Normalisering

Vi normaliserer en vektor ved å dele den med lengden av seg selv. Lar vi f.eks. $\vec{v} = (x, y, z)$ og deler med lengden får vi

\frac{1}{| \vec{v} |} \vec{v} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} (x, y, z)

.

Vi ser da at $| \frac{1}{| \vec{v} |} \vec{v} | = 1$ .

Enhetsvektorer

En enhetsvektor i rommet er essensielt et koordinat på enhetssfæren (dvs. overflaten av ei kule med radius=1 og sentrum i origo).

Dekomposisjon av romlige vektorer

Vi kan finne komponenten av en vektor i en gitt retning ved å ta skalarproduktet av vektoren og enhetsvektoren langs den ønskelige retningen.

Trekantulikheten

Trekantulikheten sier at for vektorer $\vec{u}$ og $\vec{v}$ gjelder alltid

| \vec{u} + \vec{v} | \leq | \vec{u} | + \vec{v} |

Denne er ofte nyttig til å vise mer kompliserte ulikheter. Likhet oppnås dersom enten en av vektorene er 0-vektor eller dersom vektorene har samme retning. Det kan være lurt å tegne opp noen vektorer for å illustrere prinsippet. Da ser man geometrisk at ulikheten faktisk stemmer.

Vektorrom (avansert, noe utover R2 pensum)

I en mer generell kontekst er de euklidske vektorene et spesialtilfelle av et vektorrom over en kropp (en kropp er f.eks. $R$ eller $C$ ). Et vektorrom $V$ over $F$ er en mengde av elementer (vektorer) som tilfredsstiller et sett aksiomer. For alle $r, s \in F$ og alle $u$ , $v$ og $w$ i $V$ gjelder:

1. Det fins en additiv identitet, $0$ : $u + 0 = u$

2. Det fins en multiplikativ identitet, $1$ : $1 u = u$

3. Vektorrommet er lukket under skalarmultiplikasjon, i.e. $r u$ er med i $V$ og $r (s u) = (r s) u$ .

4. Vektorrommet er lukket under addisjon, i.e. $u + v$ er med i $V$

5. Vektorrommet assosiativt, i.e. $(u + v) + w = u + (v + w)$

6. Vektorrommet er distributivt, i.e. $r (u + v) = r u + r v$

7. $(r + s) u = r u + s u$

8. Vektorrommet er kommutativt, i.e. $u + v = v + u$

9. For alle $u$ fins en $w$ slik at $u + w = 0$

Tilbake til R2 Hovedside

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
-En vektor er det samme som et koordinat, vi tenker oss en pil fra origo til et punkt med koordinat (x,y) i det euklidske planet eller (x,y,z) i rommet <tex>\mathbb{R^3}</tex>. Det fins en rekke måter å skrive vektorer på, f.eks. er det vanlig å bruke <tex>\vec{r}=(x,y,z)</tex>, <tex>\vec{r}=\langle x,y,z\rangle</tex> eller <tex>\vec{r}=[x,y,z]</tex>. Vi kan også innføre enhetsvektorer langs de tre aksene og skrive vektorene ved hjelp av disse. Da er <tex>\vec{r}=x\vec{e_{x}}+y\vec{e_{y}}+z\vec{e_{z}}</tex> der <tex>\vec{e_i}</tex> er enhetsvektor langs aksen <tex>i\in [x,y,z]</tex>. Her holder vi oss for enkelhets skyld til den første konvensjonen. Strengt tatt burde vi skrevet <tex>\vec{r}=(x,y,z)_{\mathcal{B}}</tex>, der <tex>\mathcal{B}</tex> angir hvilken basis vi uttrykker vektoren i, men her mener vi alltid standardbasisen, altså <tex>\mathcal{B}= \left {(1,0,0)\,,(0,1,0)\,,(0,0,1) \right}</tex>
+En vektor er det samme som et koordinat, vi tenker oss en pil fra origo til et punkt med koordinat (x,y) i det euklidske planet eller (x,y,z) i rommet <math>\mathbb{R^3}</math>. Det fins en rekke måter å skrive vektorer på, f.eks. er det vanlig å bruke <math>\vec{r}=(x,y,z)</math>, <math>\vec{r}=\langle x,y,z\rangle</math> eller <math>\vec{r}=[x,y,z]</math>. Vi kan også innføre enhetsvektorer langs de tre aksene og skrive vektorene ved hjelp av disse. Da er <math>\vec{r}=x\vec{e_{x}}+y\vec{e_{y}}+z\vec{e_{z}}</math> der <math>\vec{e_i}</math> er enhetsvektor langs aksen <math>i\in [x,y,z]</math>. Her holder vi oss for enkelhets skyld til den første konvensjonen.
-En vektor i rommet er en generalisering av en vektor i planet der vi har innført én ny koordinat. Mye av teorien for vektorer i planet vil utvides på naturlig måte til vektorer i rommet. F.eks. er definisjonen av sum, skalarmultiplikasjon og skalarprodukt (prikkprodukt) av 3-dimensjonale vektorer analog med det 2-dimensjonale tilfellet:
+En vektor i rommet er en generalisering av en vektor i planet der vi har innført én ny koordinat. Mye av teorien for vektorer i planet vil utvides på naturlig måte til vektorer i rommet. F.eks. er definisjonen av lengde, sum, skalarmultiplikasjon og skalarprodukt (prikkprodukt) av 3-dimensjonale vektorer analog med det 2-dimensjonale tilfellet:
+== Lengden av en vektor i rommet ==
+Lengden av en 3-dimensjonal vektor er angitt med absoluttverditegn. Dersom  $\vec{v} = (x, y, z)$  er lengden definert som
+: $| \vec{v} | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$
 == Vektorsum ==
-:<tex>\vec{v}+\vec{v^\prime}=(x,y,z)+(x^\prime,y^\prime,z^\prime)=(x+x^\prime,y+y^\prime,z+z^\prime)</tex>
+Addisjon av vektorer foregår på samme måte som i planet, dvs. komponentvis. Vi har at
+: $\vec{v} + \vec{v^{'}} = (x, y, z) + (x^{'}, y^{'}, z^{'}) = (x + x^{'}, y + y^{'}, z + z^{'})$
 == Multiplikasjon med skalar ==
+Vi kan multiplisere en vektor med en skalar på samme måte som i planet:
+: $k (x, y, z) = (k x, k y, k z)$  der  $k$  er en skalar.
+Da ser vi at
+: $| k \vec{v} | = | (k x, k y, k z) | = \sqrt{(k x)^{2} + (k y)^{2} + (k z)^{2}} = \sqrt{k^{2} (x^{2} + y^{2} + z^{2})} = | k | \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = | k | | \vec{v} |$
-:<tex>k(x,y,z)=(kx,ky,kz)</tex> der <tex>k</tex> er en skalar.
+Denne formelen kan anvendes for å forenkle utregninger gjennom å faktorisere ut felles faktorer i vektoren vi skal finne lengden av.
 == Skalarprodukt ==
-La <tex>\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)</tex> og <tex>\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)</tex>. Da er skalarproduktet definert som
+La <math>\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)</math> og <math>\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)</math>. Da er skalarproduktet definert som
-: <tex>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2</tex>
+: <math>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2</math>
@@ Linje 27: / Linje 49: @@
-: <tex>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\cdot \sin(\theta)</tex> der <tex>\theta</tex> er vinkelen mellom vektorene.
+: <math>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\cdot \cos(\theta)</math> der <math>\theta</math> er vinkelen mellom vektorene.
+Merk at definisjonen medfører at skalarproduktet er kommutativt, dvs. at  $\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = \vec{v_{2}} \cdot \vec{v_{1}}$
+En viktig observasjon er at dersom vi tar skalarproduktet med vektoren selv, får vi
+:  $\vec{v} \cdot \vec{v} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = | \vec{v} |^{2}$ .
+Her ser vi at dette stemmer overens med den andre definisjonen av skalarproduktet i og med at vinkelen mellom to like vektorer er  $θ = 0$ , og da er  $\cos (θ) = \cos (0) = 1$ .
+== Normalisering ==
+Vi normaliserer en vektor ved å dele den med lengden av seg selv. Lar vi f.eks.  $\vec{v} = (x, y, z)$  og deler med lengden får vi
+: $\frac{1}{| \vec{v} |} \vec{v} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} (x, y, z)$ .
+Vi ser da at  $| \frac{1}{| \vec{v} |} \vec{v} | = 1$ .
+== Enhetsvektorer ==
+En enhetsvektor i rommet er essensielt et koordinat på enhetssfæren (dvs. overflaten av ei kule med radius=1 og sentrum i origo).
+== Dekomposisjon av romlige vektorer ==
+Vi kan finne komponenten av en vektor i en gitt retning ved å ta skalarproduktet av vektoren og enhetsvektoren langs den ønskelige retningen.
+== Trekantulikheten ==
+Trekantulikheten sier at for vektorer  $\vec{u}$  og  $\vec{v}$  gjelder alltid
+: $| \vec{u} + \vec{v} | \leq | \vec{u} | + \vec{v} |$
+Denne er ofte nyttig til å vise mer kompliserte ulikheter. Likhet oppnås dersom enten en av vektorene er 0-vektor eller dersom vektorene har samme retning. Det kan være lurt å tegne opp noen vektorer for å illustrere prinsippet. Da ser man geometrisk at ulikheten faktisk stemmer.
+== Vektorrom (avansert, noe utover R2 pensum)==
+I en mer generell kontekst er de euklidske vektorene et spesialtilfelle av et vektorrom over en kropp (en kropp er f.eks.  $R$  eller  $C$ ). Et vektorrom  $V$  over  $F$  er en mengde av elementer (vektorer) som tilfredsstiller et sett aksiomer. For alle  $r, s \in F$  og alle  $u$ ,  $v$  og  $w$  i  $V$  gjelder:
+. Det fins en additiv identitet,  $0$ :  $u + 0 = u$
+. Det fins en multiplikativ identitet,  $1$ :  $1 u = u$
+. Vektorrommet er lukket under skalarmultiplikasjon, i.e.  $r u$  er med i  $V$  og  $r (s u) = (r s) u$ .
+. Vektorrommet er lukket under addisjon, i.e.  $u + v$  er med i  $V$
+. Vektorrommet assosiativt, i.e.  $(u + v) + w = u + (v + w)$
+. Vektorrommet er distributivt, i.e.  $r (u + v) = r u + r v$
+.  $(r + s) u = r u + s u$
+. Vektorrommet er kommutativt, i.e.  $u + v = v + u$
+. For alle  $u$  fins en  $w$  slik at  $u + w = 0$
+----
+[[R2 Hovedside|Tilbake til R2 Hovedside]]
+[[Kategori:Algebra]]
+[[Kategori:R2]]
+[[Kategori:Ped]]