R2 2016 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Løsning laget av Dennis Christensen

Løsning laget av NDLA

Løsning til del 2 laget av mattepratbruker Kaptein Neseblod

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=3cos2x \\ {f}^{\prime }(x)=-6sin2x \end{gathered}$$

a)

$$\begin{gathered} g(x)=e^{sinx} \\ {g}^{\prime }(x)=cosx\cdot e^{sinx} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} h(x)=\frac{x}{sinx} \\ {h}^{\prime }(x)=\frac{sinx-xcosx}{si{n}^{2}x} \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

$\int (x^2-3x+2)dx=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+2x+C$

b)

$\int xcos(x)dx=xsin(x)-\int sin(x)dx=xsin(x)-(-cos(x))+C=xsin(x)+cos(x)+C$

c)

$$\begin{gathered} \int 2x\cdot sin(x)dxu=x^2,\frac{du}{dx}=2x\Rightarrow du=2xdx \\ =\int sin(u)du \\ =-cos{x}^2+C \end{gathered}$$

Oppgave 3

a)

Ligningrn for linjen:

Konstantleddet er null siden linjen går gjennom (0, 0). Stigningstallet er endring i y verdi delt på endring i x verdi:

$y=\frac{r}{h}x$

b)

Dette er en kjegle med radius r og høyde h:

$V=\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}(f(x){)}^{2}dx=\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}\frac{r^2}{h^2}{x}^{2}dx=\frac{\pi r^2}{h^2}[\frac{1}{3}{x}^3{]}_0^h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Oppgave 4

a)

Perioden til f:

$P=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{2}}=4$

b)

Likevektslinje : y= 5

Amplitude: A = 3

$$\begin{gathered} y_{min}=5-3=2 \\ {y}_{maks}=5+3=8 \end{gathered}$$

c)

Vendepunkter:

$$\begin{gathered} f^{(2)}(x)=-\frac{3{\pi }^2}{4}sin(\frac{\pi }{2}x)x\in <0,12> \\ {f}^{(2)}(x)=0 \\ sin(\frac{\pi }{2}x)=0 \\ x=2k,k=1,...,5 \end{gathered}$$

y verdier:

$f(2k)=5,k=1,...,5$

Vendepunkter (2k, 5), \quad k = 1, ... , 5

d)

Oppgave 5

a)

$$\begin{gathered} \frac{d^{2}y}{dx}-4\frac{dy}{dx}+5y=0 \\ \frac{d^2}{dx}{e}^{rx}-4\frac{d}{dx}{e}^{rx}-5e^{rx}=0 \\ {r}^2{e}^{rx}-4r{e}^{rx}-5e^{rx}=0 \\ (r^2-4r-5)e^{rx}=0 \end{gathered}$$

$e^{rx}$ er en løsning når $r^2-4r-5=0$

b)

$$\begin{gathered} r^2-4r-5=0 \\ r=-1\vee r=5 \\ y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{5x} \end{gathered}$$

c)

Fra initialbetingelsene får vi følgende:

$$\begin{gathered} y(0)=6\Rightarrow C_1+C_2=6 \\ {y}^{\prime }(0)=0\Rightarrow -C_1+5C_2=0 \\ {C}_2=1\wedge C_1=5 \\ y=5e^{-x}+e^{5x} \end{gathered}$$

Oppgave 1

a)

t = 0 for år 2015

Derfor y(0) = 5200000

Endting er " inn minus ut" :

$y^{\prime }=44000+0,011y-0,008y=0,003y+44000$

b)