Romfigurer

Kule

Vektornotasjon er nyttig for å beskrive romfigurer. Lar vi en generell romlig posisjonsvektor være $\overrightarrow{r}=(x,y,z)$, vil en kuleflate ha ligningen

$|\overrightarrow{r}|=r$

Alle punkter x,y,z som tilfredsstiller ligningen vil ligge på overflaten av ei kule med sentrum i origo og radius r.

Vi kan flytte senteret ved å translatere langs aksene, dvs. at vi subtraherer en konstant vektor $\overrightarrow{r_0}$ fra posisjonen:

$|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_0}|=r$

Alle punkter x,y,z som tilfredsstiller denne ligninga vil ligge på en kuleflate med senter i $\overrightarrow{r_0}$ og radius r.

Dette gir oss en helt generell beskrivelse av en kule i rommet.

Volum

Volumet av ei kule med radius r er gitt ved formelen

$V(r)=\frac{4}{3}\pi r^3$

Overflateareal

Overflatearealet av ei kule med radius r er gitt ved formelen

$A(r)=4\pi r^2$

Likningen for en kule

Likningen for en kule K med radius r og sentrum i$x_0,y_0,z_0$ er gitt ved

$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=r^2$

Parameterfremstilling av kuler og kuleflater

Parameterfremstillingen for en kule K med radius r og sentrum i$x_0,y_0,z_0$ er gitt ved

$$\begin{gathered} K:[x=x_0+r\cdot coss\cdot cost \\ y=y_0+r\cdot sins\cdot cost \\ z=z_0+r\cdot sint] \end{gathered}$$

Sylinder

En sylinder har tverrsnitt som en sirkulær skive og lengde avgrenset av to plan som står normalt på sylinderens akse.

F.eks. vil en sylinder som er orientert i retning z-aksen (aksen er parallell med z-aksen) være beskrevet som en (lukket) skive i xy-planet avgrenset av plan parallelle med xy-planet. Ligningen til enhetsskiven i xy-planet,

$x^2+y^2\le 1$,

vil dermed beskrive en sylinder når vi innfører en ny dimensjon (z-aksen); Sylinderflaten avgrenset av planene $z=a$ og $z=b$ med $a<b$ vil bestå av alle punkter $(x,y,z)$ slik at $x^2+y^2\le 1$ og $z\in [a,b]$

Volum

Volumet av en sylinder med lengde l hvis tverrsnitt har radius r er gitt ved formelen

$V(r,l)=\pi r^{2}l$

Volumet er altså produktet av arealet av tverrsnittet og lengden.

Overflateareal

Overflatearealet av en sylinder med lengde l og tverrsnitt med radius r, er gitt ved formelen

$A(r,l)=2\pi rl+2\pi r^2$

Parallellepiped

En parallellepiped er en rektangulær boks som er klemt sammen eller deformert i en viss forstand; Vi tenker oss at en rektangulær boks er utspent av tre ortogonale vektorer. Et parallellepiped vil, til forskjell, være utspent av tre vektorer som ikke nødvendigvis er ortogonale.

Volum

Hvis $\overrightarrow{r_1}$, $\overrightarrow{r_2}$ og $\overrightarrow{r_3}$ er vektorene som utspenner et parallellepiped, vil volumet være gitt ved formelen

$V(\overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2},\overrightarrow{r_3})=|(\overrightarrow{r_1}\times \overrightarrow{r_2})\cdot \overrightarrow{r_3}|$

Overflateareal

Hvis $\overrightarrow{r_1}$, $\overrightarrow{r_2}$ og $\overrightarrow{r_3}$ er vektorene som utspenner et parallellepiped, vil overflatearealet være gitt ved formelen

$A(\overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2},\overrightarrow{r_3})=2\cdot (|\overrightarrow{r_1}\times \overrightarrow{r_2}|+|\overrightarrow{r_1}\times \overrightarrow{r_3}|+|\overrightarrow{r_2}\times \overrightarrow{r_3}|)$

Her har vi addert par av like sideflater som alle er parallellogrammer.

Rotasjonslegemer

Gitt en funksjon $f(x)$ på et intervall $I=[a,b]$, kan vi rotere funksjonen om x-aksen slik at vi oppnår et rotasjonslegeme.

Volum

Volumet av rotasjonslegeme generert av en funksjon f(x) på et intervall I=[a,b] er gitt som et integral:

$V(f(x):I)={\int }_a^b\pi f(x{)}^{2}dx$

Integralet kan sees på som en Riemannsum der $\pi f(x{)}^2$ er arealet av en skive med tykkelse $\mathrm{\Delta }x$. Grovt sett kan vi si at ved å la tykkelsen være infinitesimal vil dette resultere i integralet over.

Overflateareal

På analogt vis kan vi bruke integrasjon til å finne overflatearealet av et rotasjonslegeme:

$A(f(x):I)={\int }_a^{b}2\pi f(x)dx$

Integralet kan sees på som en Riemannsum der $2\pi f(x)$ er omkretsen til tverrsnittet til en sylinder med lengde $\mathrm{\Delta }x$. Grovt sett kan vi si at ved å la lengden være infinitesimal vil dette resultere i integralet over.

Kuler og sylindere som rotasjonslegemer

Ved å betrakte kuler og sylindere som rotasjonslegemer, kan vi anvende de generelle formlene for volum og areal over til å vise kjente formler.

F.eks. vil ei kule med radius 1 og senter i origo, være gitt som rotasjonslegemet vi får ved å rotere funksjonen $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ om x-aksen på intervallet $[-1,1]$. Bruker vi formelen for volum av rotasjonslegemer, får vi dermed at

$V={\int }_{-1}^1\pi (1-x^2)dx=\pi [x-\frac{1}{3}{x}^3{]}_{-1}^1=\pi (1-\frac{1}{3}-(-1+\frac{1}{3}))=\frac{4}{3}\pi$

Dette er i overensstemmelse med den kjente formelen for ei kule med radius 1.

En sylinder vil fremkomme ved å rotere den konstante funksjonen $f(x)=c$ om x-aksen.

Ellipsoide

Vi genererer en ellipsoide ved å rotere en ellipse om sin egen akse.

Paraboloide

Vi genererer en paraboloide ved å rotere en parabel om sin egen akse.

Hyperboloide

Vi genererer en hyperboloide ved å rotere en hyperbel om sin egen akse.