Tallfølger

En tallfølge er en ordnet liste med tall hvor hvert tall er assosiert med et positivt heltall $n$. Når vi skriver ut elementene etter stigende $n$ får vi en følge. Man kan betrakte en tallfølge som en funksjon fra de positive heltallene ${\mathbb{Z}}^{+}$ til de reelle tallene, $\mathbb{R}$, eventuelt til de komplekse tallene $\mathbb{C}$.

En følge kan være uendelig lang eller ha et endelig antall elementer.

Eksempel

1,2,3,4,5

Dette er en endelig følge med 5 elementer.

---

2,4,6,8,...

Dette er en uendelig lang følge. De tre prikkene til sist kjennetegner dette.

---

1,3,5,...,9

Denne følgen er endelig, men med mindre det er spesifisert vet vi ikke hvor mange elementer følgen består av.

Eksplisitte uttrykk

Følger kan uttrykkes som funksjoner $a_n$ (sammenlign med $f(x)$), der $n$ er et positivt heltall.

Eksempel

$a_n=n,n\in [3,7]$

Skriver vi ut denne følgen, får vi

3,4,5,6,7

---

$a_n=n^2$

Ettersom definisjonsmengden til $n$ ikke er spesifisert, kan vi gå ut ifra at følgen omfatter alle $n\in \mathbb{N}$. Skriver vi ut følgen får vi da

1,4,9,16,25,...

Rekursive uttrykk

Det er også mulig å definere følger ved å relatere de forskjellige leddene med hverandre. Da får vi ligninger på formen

$f(a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0,n)=0$

Hvis vi sammen med et slikt uttrykk har informasjon om ett av leddene, er følgen entydig bestemt.

Dette kalles et rekursivt uttrykk og vises best gjennom noen eksempler:

Eksempel

$a_n=a_{n-1}+n,a_0=0$ Ettersom ingen opplysninger og definisjonsmengden til $n$ er gitt, kan vi gå ut ifra at følgen dekker alle positive heltallige $n$. Skriver vi ut følgen og starter fra $n=0$, får vi

0,1,3,6,10,15,...

I denne følgen er hvert ledd $a_n$ summen av de $n$ første heltallene. Dette ser vi også fra det rekursive uttrykket ved at hvert i hvert ledd legges det neste heltallet til summen av de forrige.

---

Følger trenger ikke være bestemt av én funksjon. Forskjellige funksjoner kan bestemme leddene i forskjellige deler av følgen.

$a_n=\begin{array}{ccc}0& \text{if}& n=0\\ 1& \text{if}& n=1\\ a_{n-1}+a_{n-2}& \text{if}& n>1\end{array}$ Hvis vi skriver ut denne følgen og starter fra $n=0$, får vi

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144...

Denne følgen kalles Fibonaccifølgen og har mange interessante geometriske og tallteoretiske egenskaper. Blant annet vil forholdet mellom to påfølgende tall gå mot Det gylne snitt når $n$ går mot uendelig.

Konvergens

Vi sier at en følge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergerer mot et element $a$ dersom $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$. En aritmetisk følge vil derfor ikke konvergere siden den vokser ubegrenset.

Eksempel

Følgen definert ved $f_n=\frac{1}{n}$ konvergerer mot $0$ når $n\to \mathrm{\infty }$ siden $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$

---

Følgen definert ved $g_n=\cos (\frac{1}{n})$ vil konvergere mot $1$ når $n\to \mathrm{\infty }$ siden argumentet går mot $0$ og $\cos (0)=1$.

---

Tilbake til R2 Hovedside