Tensor: Forskjell mellom sideversjoner

← Forrige endring

Siste sideversjon per 27. jun. 2021 kl. 15:04

Hvorfor lære om tensorer?

Dersom man ønsker forståelse for kvantemekanikk, relativitet, romtid og generelt om felt.

Definisjon tensor.

1. En tensor en samling av vektorer og kovektorer kombinert med tensorproduktet.

2.

3.

Transformering mellom forskjellig basis.

Vi starter med vektoren u. om vi legger den inn i et koordinatsystem med basisvektorer $e_{1}$ og $e_{2}$ (Rød) får vi et ortonormert koordinatsystem som vi er vant med. Vektoren u kan da uttrykkes som $\vec{u} = 5 \vec{e_{1}} + 3 e_{2}$ , altså en lineær kombinasjon av de to enhetsvektoren. Dersom vi nå endre basisen til $\tilde{\vec{e_{1}}}$ og $\tilde{\vec{e_{1}}}$ (Blå). I det blå koordinatsystemet har enhetsvektoren forskjellige lengder og vinkel mellom dem er ikke 90 grader. Vektoren u er den samme. I det blå koordinatsystemet kan u trykkes som $\vec{u} = 1 \tilde{\vec{e_{1}}} + 0, 5 \tilde{\vec{e_{2}}}$ . Vektoren u er den samme, men linærkombinasjonene endres fordi enhetsvektoren endres. eksempel er i to dimensjoner. Vi trenger et system som virker mellom forskjellige vektorbasiser i n dimensjoner.

Vi ser litt nærmere på koordinatsystemene. Rød er gammel basis og blå er ny.

Vi kan uttrykke ny basis som:

$\tilde{\vec{e_{1}}} = 6 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$

$\tilde{\vec{e_{2}}} = - 2 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$

Koeffisientene til de gamle enhetsvektoren gir følgende matrise:

$F = [\begin{matrix} 6 & - 2 \\ 2 & 2 \end{matrix}]$ Vi kaller matrisen F for framover, fra gammel til ny basis.

Fra ny til gammel basis:

$\vec{e_{1}} = \frac{1}{8} \tilde{\vec{e_{1}}} - \frac{1}{8} \tilde{\vec{e_{2}}}$

$\vec{e_{2}} = \frac{1}{8} \tilde{\vec{e_{1}}} + \frac{3}{8} \tilde{\vec{e_{2}}}$

Vi kaller matrisen B for bakover, fra ny til gammel:

$B = [\begin{matrix} \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} & \frac{3}{8} \end{matrix}]$

Hva er sammenhengen mellom F og B? Vi multiplisere dem sammen:

$F \cdot B = [\begin{matrix} 6 & - 2 \\ 2 & 2 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} & \frac{3}{8} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{6}{8} + \frac{2}{8} & \frac{6}{8} - \frac{6}{8} \\ \frac{2}{8} - \frac{2}{8} & \frac{2}{8} + \frac{6}{8} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

@@ Linje 17: / Linje 17: @@
 Vi starter med vektoren u. om vi legger den inn i et koordinatsystem med basisvektorer  $e_{1}$  og  $e_{2}$  (Rød) får vi et ortonormert koordinatsystem som vi er vant med. Vektoren u kan da uttrykkes som
-$\vec{u} = 4 \vec{e_1} + 3{e_2}  $, a l t s å e n l i n e æ r k o m b i n a s j o n a v d e t o e n h e t s v e k t o r e n . D e r s o m v i n å e n d r e b a s i s e n t i l$ \tilde{\vec{e_1}} $o g$ \tilde{\vec{e_1}} $(B l å) . I d e t b l å k o o r d i n a t s y s t e m e t h a r e n h e t s v e k t o r e n f o r s k j e l l i g e l e n g d e r o g v i n k e l m e l l o m d e m e r i k k e 90 g r a d e r . V e k t o r e n u e r d e n s a m m e . I d e t b l å k o o r d i n a t s y s t e m e t k a n u t r y k k e s s o m$ \vec{u}= 1\tilde{\vec{e_1}} + 0,5 \tilde{\vec{e_2}}$. Vektoren u er den samme, men linærkombinasjonene endres fordi enhetsvektoren endres. eksempel er i to dimensjoner. Vi trenger et system som virker mellom forskjellige vektorbasiser i n dimensjoner.
+$\vec{u} = 5 \vec{e_1} + 3{e_2}  $, a l t s å e n l i n e æ r k o m b i n a s j o n a v d e t o e n h e t s v e k t o r e n . D e r s o m v i n å e n d r e b a s i s e n t i l$ \tilde{\vec{e_1}} $o g$ \tilde{\vec{e_1}} $(B l å) . I d e t b l å k o o r d i n a t s y s t e m e t h a r e n h e t s v e k t o r e n f o r s k j e l l i g e l e n g d e r o g v i n k e l m e l l o m d e m e r i k k e 90 g r a d e r . V e k t o r e n u e r d e n s a m m e . I d e t b l å k o o r d i n a t s y s t e m e t k a n u t r y k k e s s o m$ \vec{u}= 1\tilde{\vec{e_1}} + 0,5 \tilde{\vec{e_2}}$. Vektoren u er den samme, men linærkombinasjonene endres fordi enhetsvektoren endres. eksempel er i to dimensjoner. Vi trenger et system som virker mellom forskjellige vektorbasiser i n dimensjoner.
@@ Linje 29: / Linje 29: @@
  $\tilde{\vec{e_{2}}} = - 2 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$
+Koeffisientene til de gamle enhetsvektoren gir følgende matrise:
+$F = \begin{bmatrix}
+& -2 \
+& 2 \
+\end{bmatrix}$   Vi kaller matrisen F for framover, fra gammel til ny basis.
 Fra ny til gammel basis:
@@ Linje 35: / Linje 43: @@
  $\vec{e_{2}} = \frac{1}{8} \tilde{\vec{e_{1}}} + \frac{3}{8} \tilde{\vec{e_{2}}}$
+Vi kaller matrisen B for bakover, fra ny til gammel:
+$B = \begin{bmatrix}
+\frac 18 & \frac 18 \
+- \frac 18 & \frac38 \
+\end{bmatrix}$
+Hva er sammenhengen mellom F og B? Vi multiplisere dem sammen:
+$ F \cdot B =
+\begin{bmatrix}
+& -2 \
+& 2 \
+\end{bmatrix} \cdot
+\begin{bmatrix}
+\frac 18 & \frac 18 \
+- \frac 18 & \frac38 \
+\end{bmatrix} =
+\begin{bmatrix}
+\frac 68+ \frac 28 & \frac 68 - \frac 68 \
+\frac 28  -\frac 28 & \frac28 + \frac 68 \
+\end{bmatrix} =
+\begin{bmatrix}
+&  0\
+& 1 \
+\end{bmatrix}$