Siste sideversjon per 31. des. 2022 kl. 15:45

DEL 1

Oppgave 1

a)

$f (x) = x^{3} + l n x$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + \frac{1}{x}$

b)

$g (x) = x \cdot e^{2 x}$

$g^{'} (x) = 1 \cdot e^{2 x} + x \cdot 2 \cdot e^{2 x} = e^{2 x} (1 + 2 x)$

Oppgave 2

$e^{2 x} - e^{x} = 2$

$(e^{x})^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Setter $u = e^{x}$

$u^{2} - u - 2 = 0$

$(u + 1) (u - 2) = 0$

$u = - 1 \lor u = 2$

$e^{x} = - 1 \lor e^{x} = 2$

Forkaster det negative svaret fordi ln(-1) ikke er definert.

$l n (e^{x}) = l n (2)$

$x = l n (2)$

Oppgave 3

$lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} + x - 12}$

$= lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3) (x + 4)}$

$= lim_{x \to 3} \frac{1}{x + 4}$

$= \frac{1}{7}$

Oppgave 4

a)

$\vec{A C} = [t - 1, 4 - 2] = [t - 1, 2]$

$\vec{A B} = [- 1 - 1, 5 - 2] = [- 2, 3]$

Dersom vinkelen mellom to vektorer er 90 grader, er skalarproduktet av disse to vektorene lik 0.

$\vec{A C} \cdot \vec{A B} = 0$

$[t - 1, 2] \cdot [- 2, 3] = 0$

$(t - 1) \cdot (- 2) + 2 \cdot 3 = 0$

$- 2 t + 2 + 6 = 0$

$- 2 t = - 8$

$t = 4$

Anbefaler å tegne punktene i et koordinatsystem for å se at det stemmer.

b)

Dersom A, B og C skal ligge på en rett linje, er $\vec{A C}$ og $\vec{A B}$ parallelle. Da har vi at:

$\vec{A C} = k \cdot \vec{A B}$

$[t - 1, 2] = k \cdot [- 2, 3]$

Dette gir oss to likninger:

$I t - 1 = - 2 k$

$I I 2 = 3 k \Rightarrow k = \frac{2}{3}$

Setter inn k=2/3 inn i likning I:

$I t - 1 = - 2 \cdot \frac{2}{3}$

$t = \frac{- 4}{3} + 1$

$t = - \frac{1}{3}$

Anbefaler å tegne punktene i et koordinatsystem for å se at det stemmer.

Oppgave 5

a)

Eleven ønsker å finne toppunktet til funksjonen f, i intervallet $x \in [0, \to ⟩$ . (Er det flere enn ett toppunkt i dette intervallet, finner programmet kun det første toppunktet).

Linje 1-2: her defineres funksjonen f(x)

Linje 4: variabelen x gis verdien 0

Linje 5: variabelen h gis verdien 0,001

Linje 6: dette er en while-løkke som gjentar operasjonen i linje 7, så lenge funksjonsverdien f(x) er mindre enn eller lik funksjonsverdien f(x+h).

Linje 7 (inni while-løkka): verdien til x økes med h.

Linje 9: etter at while-løkken er ferdig, skrives verdien til x ut. Dette er en tilnærming til x-verdien hvor funksjonsverdien f(x) ikke lenger er mindre eller lik funksjonsverdien f(x+h). Vi har da funnet tilnærmet x-verdi for toppunktet til funksjonen.

b)

Vi kan finne toppunktet ved regning, ved å sette f'(x) lik 0.

$f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{1 \cdot (1 + x^{2}) - x \cdot 2 x}{(1 + x^{2})^{2}} = \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} = \frac{- x^{2} + 1}{x^{4} + 2 x^{2} + 1}$

Setter f'(x)=0:

$\frac{- x^{2} + 1}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} = 0$

$- x^{2} + 1 = 0$

$x^{2} = 1$

$x = - 1 \lor x = 1$

Vi forkaster det negativet svaret, siden programmet bare finner toppunktet for $x \in [0, \to ⟩$

Sjekker at x=1 er et toppunkt, og ikke et bunnpunkt eller terrassepunkt, ved å sjekke at den deriverte er positiv før ekstremalpunktet (grafen til f vokser), og at den deriverte er negativ etter ekstremalpunktet (grafen til f synker):

$f^{'} (0) = \frac{- 0^{2} + 1}{0^{4} + 2 \cdot 0^{2} + 1} = \frac{1}{1} = 1$

$f^{'} (2) = \frac{- 2^{2} + 1}{2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1} = \frac{- 4 + 1}{16 + 8 + 1} = \frac{- 3}{25}$

Vi har nå vist at funksjonen har et toppunkt i x=1.

DEL 2

Oppgave 1

$f (x) = {\begin{array}{lr} x^{2} + 1 & , & x < 2 \\ x - t & , & x \geq 2 \end{array}$

a)

For at funksjonen f skal være kontinuerlig, må grenseverdien når x går mot 2 fra venstre, være lik grenseverdien når x går mot 2 fra høyre.

$lim_{x \to 2^{-}} x^{2} + 1 = 5$

$lim_{x \to 2^{+}} x - t = 5 \Rightarrow t = - 3$

b)

Vi må sjekke om $lim_{x \to 2} f^{'} (x)$ eksisterer.

$f^{'} (x) = {\begin{array}{lr} 2 x & , & x < 2 \\ 1 & , & x > 2 \end{array}$

$lim_{x \to 2^{-}} f^{'} (x) = lim_{x \to 2^{-}} 2 x = 4$

$lim_{x \to 2^{+}} f^{'} (x) = lim_{x \to 2^{+}} 1 = 1$

Grenseverdien eksisterer ikke, og $f^{'} (2)$ eksisterer derfor ikke. Funksjonen er ikke deriverbar i $x = 2$ , når $t = - 3$ .

Oppgave 2

a)

Vi har $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$ .

$| \vec{u} |^{2} = {\vec{u}}^{2} = (\vec{a} + \vec{b})^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2 \cdot \vec{a} \vec{b} \cdot {\vec{b}}^{2}$

$= | \vec{a} |^{2} + 2 \cdot \vec{a} \vec{b} \cdot | \vec{b} |^{2} = 2^{2} + 2 \cdot (- 3) + 3^{2} = 4 - 6 + 9 = 7$

$| \vec{u} | = \sqrt{7} \approx 2, 6$

Vi har $\vec{v} = \vec{a} - 6 \vec{b}$ .

$| \vec{v} |^{2} = {\vec{v}}^{2} = (\vec{a} - 6 \vec{b})^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \cdot \vec{a} \cdot 6 \cdot \vec{b} + (- 6 \vec{b})^{2}$

$= | \vec{a} |^{2} - 12 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + 36 \cdot | \vec{b} |^{2} = 2^{2} - 12 \cdot (- 3) + 36 \cdot 3^{2} = 4 + 36 + 36 \cdot 9 = 364$

$| \vec{v} | = \sqrt{364} \approx 19, 1$

b)

Finner skalarproduktet av $\vec{u}$ og $\vec{v}$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 6 \vec{b})$

$= {\vec{a}}^{2} - 6 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 6 \cdot {\vec{b}}^{2}$

$= {\vec{a}}^{2} - 5 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} - 6 \cdot {\vec{b}}^{2}$

$= | \vec{a} |^{2} - 5 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} - 6 \cdot | \vec{b} |^{2}$

$= 2^{2} - 5 \cdot (- 3) - 6 \cdot 3^{2}$

$= 4 + 15 - 54$

$= - 35$

Finner vinkelen mellom $\vec{u}$ og $\vec{v}$ :

$c o s α = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |}$

$c o s α = \frac{- 35}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{364}}$

$α \approx 134^{\circ}$

Oppgave 3

Oppgave 4

Bruker CAS i Geogebra.

Det tar ca. 7,8 timer før temperaturen i kaffen er mindre enn 40 grader Celsius.

Oppgave 5

a)

Vi kan bruke Pytagorassetningen for å avgjøre om trekanten er rettvinklet.

- Ta inn koordinatene til punktene A, B og C

- Beregne $A B^{2}$ , $B C^{2}$ og $A C^{2}$ ved hjelp av koordinatene (bruker pytagorassetningen)

- Sjekke om $A B^{2} = B C^{2} + A C^{2}$ , eller $A C^{2} = B C^{2} + A B^{2}$ , eller $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ . I så fall er trekanten rettvinklet. Ellers er den ikke det.

b)

Oppgave 6

Løser oppgaven i CAS i Geogebra. Grafikkfeltet er med, fordi det kan være nyttig å tegne situasjonen i Geogebra, for å forstå oppgaven bedre.

Linje 1 i CAS: definerer funksjonen g(x)

Linje 2: Definerer funksjonen T for arealet av trekanten. Arealet av en trekant er 1/2*g*h. Her er grunnlinjen avstanden fra punkt A til punkt B, som er s-1. Høyden er avstanden fra punkt B til punkt P, som er absoluttverdien av g(s).

Linje 3: finner den s som gir størst areal til trekanten (finner s i ekstremalpunktene til T). Vi har at $s \in ⟨ 1, 5 ⟩$ , så det er kun $s = 2 \sqrt{2} + 1$ som passer. Ser av grafen til T at vi har et toppunkt for denne verdien av s.

Linje 4: Den eksakte verdien av s som gir det største arealet til trekanten, er $s = 2 \sqrt{2} + 1$ . Arealet er da 32.

Oppgave 7

Løser oppgaven i CAS i Geogebra.

a)

Banefarten er ca. 31 km/t.

b)

Undersøker for hvilken tid båtene har samme posisjon:

Politibåten og piratbåten er på samme sted til ulik tid. De møtes altså ikke.

c)

Linje 6: finner tiden når piratbåten er i punktet (8,9).

Linje 7: finner parameterfremstilling for den andre politibåten, når jeg vet startpunkt og at den skal være i punktet (8,9) etter tiden t=1/4.

Linje 8: definerer posisjonsvektoren til den andre politibåten.

Linje 9: finner banefarten til båten.

Banefarten må være ca. 32 km/t

R1 2022 Vår LK20 LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Siste sideversjon per 31. des. 2022 kl. 15:45

DEL 1

Oppgave 1

a)

b)

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

a)

b)

Oppgave 5

a)

b)

DEL 2

Oppgave 1

a)

b)

Oppgave 2

a)

b)

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

a)

b)

Oppgave 6

Oppgave 7

a)

b)

c)

Oppgave 8

Innholdto top

@@ Linje 10: / Linje 10: @@
 ==Oppgave 1==
+===a)===
+ $f (x) = x^{3} + l n x$
+ $f^{'} (x) = 3 x^{2} + \frac{1}{x}$
+===b)===
+ $g (x) = x \cdot e^{2 x}$
+ $g^{'} (x) = 1 \cdot e^{2 x} + x \cdot 2 \cdot e^{2 x} = e^{2 x} (1 + 2 x)$
+==Oppgave 2==
+ $e^{2 x} - e^{x} = 2$
+ $(e^{x})^{2} - e^{x} - 2 = 0$
+Setter  $u = e^{x}$
+ $u^{2} - u - 2 = 0$
+ $(u + 1) (u - 2) = 0$
+ $u = - 1 \lor u = 2$
+ $e^{x} = - 1 \lor e^{x} = 2$
+Forkaster det negative svaret fordi ln(-1) ikke er definert.
+ $l n (e^{x}) = l n (2)$
+ $x = l n (2)$
+==Oppgave 3==
+ $lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} + x - 12}$
+ $= lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3) (x + 4)}$
+ $= lim_{x \to 3} \frac{1}{x + 4}$
+ $= \frac{1}{7}$
+==Oppgave 4==
+===a)===
+ $\vec{A C} = [t - 1, 4 - 2] = [t - 1, 2]$
+ $\vec{A B} = [- 1 - 1, 5 - 2] = [- 2, 3]$
+Dersom vinkelen mellom to vektorer er 90 grader, er skalarproduktet av disse to vektorene lik 0.
+ $\vec{A C} \cdot \vec{A B} = 0$
+ $[t - 1, 2] \cdot [- 2, 3] = 0$
+ $(t - 1) \cdot (- 2) + 2 \cdot 3 = 0$
+ $- 2 t + 2 + 6 = 0$
+ $- 2 t = - 8$
+ $t = 4$
+Anbefaler å tegne punktene i et koordinatsystem for å se at det stemmer.
+===b)===
+Dersom A, B og C skal ligge på en rett linje, er  $\vec{A C}$  og  $\vec{A B}$  parallelle. Da har vi at:
+ $\vec{A C} = k \cdot \vec{A B}$
+ $[t - 1, 2] = k \cdot [- 2, 3]$
+Dette gir oss to likninger:
+ $I t - 1 = - 2 k$
+ $I I 2 = 3 k \Rightarrow k = \frac{2}{3}$
+Setter inn k=2/3 inn i likning I:
+ $I t - 1 = - 2 \cdot \frac{2}{3}$
+ $t = \frac{- 4}{3} + 1$
+ $t = - \frac{1}{3}$
+Anbefaler å tegne punktene i et koordinatsystem for å se at det stemmer.
+==Oppgave 5==
+===a)===
+Eleven ønsker å finne toppunktet til funksjonen f, i intervallet  $x \in [0, \to ⟩$ . (Er det flere enn ett toppunkt i dette intervallet, finner programmet kun det første toppunktet).
+Linje 1-2: her defineres funksjonen f(x)
+Linje 4: variabelen x gis verdien 0
+Linje 5: variabelen h gis verdien 0,001
+Linje 6: dette er en while-løkke som gjentar operasjonen i linje 7, så lenge funksjonsverdien f(x) er mindre enn eller lik funksjonsverdien f(x+h).
+Linje 7 (inni while-løkka): verdien til x økes med h.
+Linje 9: etter at while-løkken er ferdig, skrives verdien til x ut. Dette er en tilnærming til x-verdien hvor funksjonsverdien f(x) ikke lenger er mindre eller lik funksjonsverdien f(x+h). Vi har da funnet tilnærmet x-verdi for toppunktet til funksjonen.
+===b)===
+Vi kan finne toppunktet ved regning, ved å sette f'(x) lik 0.
+ $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$
+ $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot (1 + x^{2}) - x \cdot 2 x}{(1 + x^{2})^{2}} = \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} = \frac{- x^{2} + 1}{x^{4} + 2 x^{2} + 1}$
+Setter f'(x)=0:
+ $\frac{- x^{2} + 1}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} = 0$
+ $- x^{2} + 1 = 0$
+ $x^{2} = 1$
+ $x = - 1 \lor x = 1$
+Vi forkaster det negativet svaret, siden programmet bare finner toppunktet for  $x \in [0, \to ⟩$
+Sjekker at x=1 er et toppunkt, og ikke et bunnpunkt eller terrassepunkt, ved å sjekke at den deriverte er positiv før ekstremalpunktet (grafen til f vokser), og at den deriverte er negativ etter ekstremalpunktet (grafen til f synker):
+ $f^{'} (0) = \frac{- 0^{2} + 1}{0^{4} + 2 \cdot 0^{2} + 1} = \frac{1}{1} = 1$
+ $f^{'} (2) = \frac{- 2^{2} + 1}{2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1} = \frac{- 4 + 1}{16 + 8 + 1} = \frac{- 3}{25}$
+Vi har nå vist at funksjonen har et toppunkt i x=1.
 =DEL 2=
+==Oppgave 1==
+ $f (x) = {\begin{array}{lr} x^{2} + 1 & , & x < 2 \\ x - t & , & x \geq 2 \end{array}$
+===a)===
+For at funksjonen f skal være kontinuerlig, må grenseverdien når x går mot 2 fra venstre, være lik grenseverdien når x går mot 2 fra høyre.
+ $lim_{x \to 2^{-}} x^{2} + 1 = 5$
+ $lim_{x \to 2^{+}} x - t = 5 \Rightarrow t = - 3$
+===b)===
+Vi må sjekke om  $lim_{x \to 2} f^{'} (x)$  eksisterer.
+ $f^{'} (x) = {\begin{array}{lr} 2 x & , & x < 2 \\ 1 & , & x > 2 \end{array}$
+ $lim_{x \to 2^{-}} f^{'} (x) = lim_{x \to 2^{-}} 2 x = 4$
+ $lim_{x \to 2^{+}} f^{'} (x) = lim_{x \to 2^{+}} 1 = 1$
+Grenseverdien eksisterer ikke, og  $f^{'} (2)$  eksisterer derfor ikke. Funksjonen er ikke deriverbar i  $x = 2$ , når  $t = - 3$ .
+==Oppgave 2==
+===a)===
+Vi har  $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$ .
+ $| \vec{u} |^{2} = {\vec{u}}^{2} = (\vec{a} + \vec{b})^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2 \cdot \vec{a} \vec{b} \cdot {\vec{b}}^{2}$
+ $= | \vec{a} |^{2} + 2 \cdot \vec{a} \vec{b} \cdot | \vec{b} |^{2} = 2^{2} + 2 \cdot (- 3) + 3^{2} = 4 - 6 + 9 = 7$
+ $| \vec{u} | = \sqrt{7} \approx 2, 6$
+Vi har  $\vec{v} = \vec{a} - 6 \vec{b}$ .
+ $| \vec{v} |^{2} = {\vec{v}}^{2} = (\vec{a} - 6 \vec{b})^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \cdot \vec{a} \cdot 6 \cdot \vec{b} + (- 6 \vec{b})^{2}$
+ $= | \vec{a} |^{2} - 12 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + 36 \cdot | \vec{b} |^{2} = 2^{2} - 12 \cdot (- 3) + 36 \cdot 3^{2} = 4 + 36 + 36 \cdot 9 = 364$
+ $| \vec{v} | = \sqrt{364} \approx 19, 1$
+===b)===
+Finner skalarproduktet av  $\vec{u}$  og  $\vec{v}$ :
+ $\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 6 \vec{b})$
+ $= {\vec{a}}^{2} - 6 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 6 \cdot {\vec{b}}^{2}$
+ $= {\vec{a}}^{2} - 5 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} - 6 \cdot {\vec{b}}^{2}$
+ $= | \vec{a} |^{2} - 5 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} - 6 \cdot | \vec{b} |^{2}$
+ $= 2^{2} - 5 \cdot (- 3) - 6 \cdot 3^{2}$
+ $= 4 + 15 - 54$
+ $= - 35$
+Finner vinkelen mellom  $\vec{u}$  og  $\vec{v}$ :
+ $c o s α = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |}$
+ $c o s α = \frac{- 35}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{364}}$
+ $α \approx 134^{\circ}$
+==Oppgave 3==
 ==Oppgave 4==
@@ Linje 20: / Linje 231: @@
 Det tar ca. 7,8 timer før temperaturen i kaffen er mindre enn 40 grader Celsius.
+==Oppgave 5==
+===a)===
+Vi kan bruke Pytagorassetningen for å avgjøre om trekanten er rettvinklet.
+- Ta inn koordinatene til punktene A, B og C
+- Beregne  $A B^{2}$ ,  $B C^{2}$  og  $A C^{2}$  ved hjelp av koordinatene (bruker pytagorassetningen)
+- Sjekke om  $A B^{2} = B C^{2} + A C^{2}$ , eller  $A C^{2} = B C^{2} + A B^{2}$ , eller  $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ . I så fall er trekanten rettvinklet. Ellers er den ikke det.
+===b)===
+[[File: R1-v22-del2-5b.png|500px]]
+==Oppgave 6==
+Løser oppgaven i CAS i Geogebra. Grafikkfeltet er med, fordi det kan være nyttig å tegne situasjonen i Geogebra, for å forstå oppgaven bedre.
+Linje 1 i CAS: definerer funksjonen g(x)
+Linje 2: Definerer funksjonen T for arealet av trekanten. Arealet av en trekant er 1/2*g*h. Her er grunnlinjen avstanden fra punkt A til punkt B, som er s-1. Høyden er avstanden fra punkt B til punkt P, som er absoluttverdien av g(s).
+Linje 3: finner den s som gir størst areal til trekanten (finner s i ekstremalpunktene til T). Vi har at  $s \in ⟨ 1, 5 ⟩$ , så det er kun  $s = 2 \sqrt{2} + 1$  som passer. Ser av grafen til T at vi har et toppunkt for denne verdien av s.
+Linje 4: Den eksakte verdien av s som gir det største arealet til trekanten, er   $s = 2 \sqrt{2} + 1$ . Arealet er da 32.
+[[File: R1-V22-del2-6.png|700px]]
+==Oppgave 7==
+Løser oppgaven i CAS i Geogebra.
+===a)===
+[[File:R1-V22-del2-7a.png|250px]]
+Banefarten er ca. 31 km/t.
+===b)===
+Undersøker for hvilken tid båtene har samme posisjon:
+[[File:R1-V22-del2-7b.png|300px]]
+Politibåten og piratbåten er på samme sted til ulik tid. De møtes altså ikke.
+===c)===
+Linje 6: finner tiden når piratbåten er i punktet (8,9).
+Linje 7: finner parameterfremstilling for den andre politibåten, når jeg vet startpunkt og at den skal være i punktet (8,9) etter tiden t=1/4.
+Linje 8: definerer posisjonsvektoren til den andre politibåten.
+Linje 9: finner banefarten til båten.
+[[File:R1-V22-del2-7c.png|300px]]
+Banefarten må være ca. 32 km/t
+==Oppgave 8==