S2 2025 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

DEL 1

Oppgave 1

a)

$\int_{0}^{1} (2e^x+2x^2)dx$

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_{0}^{1}$

$=2e+\frac{2}{3}-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

b)

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker delbrøkoppspalting:

$\frac{2x-1}{x^2-x-6}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}$

$2x-1=A(x+2)+B(x-3)$

$2x-1=Ax+2A+Bx-3B$

$-1=(A+B-2)x+2A-3B$

Vi får to likninger:

$A+B-2=0 \quad \wedge \quad 2A-3B=-1$

$A=-B+2 \quad \wedge \quad 2(-B+2)-3B=-1$

$A=-B+2 \quad \wedge \quad -5B=-5$

$A=1 \quad \wedge \quad B=1$

Setter verdiene for A og B inn i det opprinnelige integralet:

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx=\int\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}dx$

$=\int\frac{1}{x-3}dx+\int\frac{1}{x+2}dx$

$=ln(x-3)+ln(x+2)+C$

Oppgave 2

Vi har at

• $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

• $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

Oppgave 3

a)

k	1	2	3	6
$P(X=k)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$

$E(x)=\frac{1+2+3+6+6+6}{6}=\frac{24}{6}=4$

b)

$Var(x)=\frac{(1-4)^2+(2-4)^2+(3-4)^2+3\cdot(6-4)^2}{6}$

$=\frac{9+4+1+12}{6}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}$

Oppgave 4

a)

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2.

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

b)

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

Oppgave 5

a)

Grensekostnaden til 180 enheter er 138 kroner. Dette er stigningstallet til tangenten til K når x=180, og forteller derfor om hvor mye kostnaden stiger per enhet i det punktet (momentan vekstfart).

Enhetskostnaden er kostnaden per enhet. Når det blir produsert 180 enheter, koster det 14920 kroner. Det betyr at kostnaden per enhet er $\frac{14920}{180}=82,89$ kr per enhet. Jeg vet hva svaret blir, fordi det er stigningstallet til den rette linjen som går gjennom origo og punktet (180, 14920).

b)

Vi har $I(x)=p\cdot x$

Ønsker å finne p slik at $O'(180)=0$

$O'(x)= I'(x)-K'(x)= p-K'(x)$

$O'(180)=0$

$p-K'(180)=0$

$p-138=0$

$p=138$

Prisen må være 138 kroner per enhet for å få størst mulig overskudd ved produksjon og salg av 180 enheter. Vi legger merke til at prisen er den samme som grensekostnaden for produksjon av 180 enheter.

Oppgave 6

a)

$H_0: \mu=20\,km/L$

$H_1: \mu>20\,km/L$

b)

$z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}=\frac{21-20}{2,5/\sqrt{25}}=\frac{1}{2,5/5}=\frac{1}{1/2}=2$

Bruker vedlegget med standard normalfordeling og leser av tabellen at:

$P(Z\leq 2)=0,9772$

Det er mer enn 95 % sannsynlig, så Benz A/S kan si at bensinen øker kjørelengden.

DEL 2

Oppgave 1

a)

Utfører en regresjonsanalyse i Geogebra ut fra dataene i tabellen. Velger en andregradspolynom og får et uttrykk for K(x). Deriverer så K(x) i Geogebra, og viser at K'(x)=1,23x+25.

b)

I'(35)=85,7. Dette er grenseinntekten ved salg av 35 enheter, og forteller oss at å øke salget med én enhet ville økt inntekten med 85,7 kroner.

K'(35)=68,2. Dette er grensekostnaden ved salg av 35 enheter, og forteller oss at å øke salget med én enhet ville økt kostnaden med 68,2 kroner.

Det vil altså lønne seg å øke produksjonen til 36 enheter.

c)

Svaret på 558 forteller oss at samlet kostnad for å øke produksjonen fra 20 til 30 enheter er 558 kroner.

Dette virker som en unødvendig komplisert måte å finne ut av det på, da det enkleste ville vært å regne ut K(30)-K(20).

Oppgave 2

a)

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.

Sannsynligheten for at Birger hopper lenger enn 90 meter i et tilfeldig hopp er 0,1587. For Maren er sannsynligheten 0,0228, og for Espen er den 0,0668.

b)

Finner sannsynligheten for at Birger og Espen hver for seg hopper kortere enn 83 meter:

Sannsynligheten for at begge hopper kortere enn 83 meter (og at Maren dermed hopper lengst) er $0,7422\cdot 0,7881=0,5849$

c)

Lager en simulering i Python:

Sannsynligheten for at Maren hopper lengst i denne omgangen er omtrent 0,476.

Oppgave 3

a)

Tegner grafen til B i Geogebra, og finner skjæringspunktet med linja y = 1 000 000 (se punkt A). Det tar nesten 94 uker før halvparten av husstandene i byen har brannvarslingssystemet.

b)

$B'(52)=7827,7$ (se algebrafeltet på skjermbildet i oppgave a).

Det bestyr at 52 uker etter lansering, øker antall husstander som har brannvarslingssystemet med ca. 7828 husstander per uke.

c)

En logistisk modell er gitt ved:

$F(t)=\frac{N}{1+a\cdot e^{-kt}}$

• N = 1 000 000, det maksimale antall husstander som får brannvarslingssystemet.

• Bruker CAS i Geogebra til å finne $a$:

• Det at flest nye husstander kjøper brannvarslingssystemet i uke 65, betyr at t=65 er vendepunktet.

Generelt har vi at $F' '(t)=0$ når $t=\frac{ln(a)}{k}$.

$65=\frac{ln(249)}{k}$

$k=0,085$

• Modellen er gitt ved $F(t)=\frac{1000000}{1+249\cdot e^{-0,085t}}$