1T 2025 høst LK20 LØSNING

Del 1

Oppgave 1

<math>x^2 + 4x - 5 < 0</math>

Vi løser likningen <math>x^2 + 4x - 5 = 0</math>

Bruker abc-formelen: <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>

Her er <math>a = 1,; b = 4,; c = -5</math>

<math> x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} </math> <math> x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} </math> <math> x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} </math> <math> x = \frac{-4 \pm 6}{2} </math>

Dette gir løsningene: <math> x = 1 \quad \text{eller} \quad x = -5 </math>

Parabelen åpner oppover (fordi <math>a > 0</math>), så uttrykket er negativt mellom nullpunktene.

<math> -5 < x < 1 </math>

Oppgave 2

Bestem nullpunktene til funksjonen

<math>f(x) = x^3 - 5x^2 - 8x + 12</math>

Tester <math>x = 1</math>: <math> f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0 </math>

Dermed er <math>x = 1</math> et nullpunkt.

Polynomdivisjon:

Dividerer <math>f(x)</math> med <math>(x - 1)</math>:

<math> x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x^2 - 4x - 12) </math>

Løser andregradslikningen

<math> x^2 - 4x - 12 = 0 </math>

Bruker abc-formelen:

<math> x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2} </math> <math> x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} </math> <math> x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} </math> <math> x = \frac{4 \pm 8}{2} </math>

Dette gir: <math> x = 6 \quad \text{eller} \quad x = -2 </math>

Nullpunktene til funksjonen er: <math> x = -2,; x = 1,; x = 6 </math>

Oppgave 3

En rasjonal funksjon er gitt ved <math>f(x) = \frac{2x + 6}{x^2 + 4}</math>

Vi vurderer hver påstand.

Påstand 1: Grafen til <math>f</math> har nøyaktig ett nullpunkt.

Nullpunkter finnes når telleren er lik null (og nevneren ikke er null):

<math> 2x + 6 = 0 </math>

<math> x = -3 </math>

Sjekk nevneren: <math> x^2 + 4 = (-3)^2 + 4 = 13 \neq 0 </math>

Det finnes ett og bare ett nullpunkt.

Påstand 1 er riktig.

Påstand 2: Grafen til <math>f</math> har ingen vertikale asymptoter.

Vertikale asymptoter oppstår når nevneren er 0.

<math> x^2 + 4 = 0 </math> <math> x^2 = -4 </math>

Dette har ingen reelle løsninger, altså blir nevneren aldri 0.

Påstand 2 er riktig.

Påstand 3: Grafen til <math>f</math> skjærer aldri y-aksen.

Grafen skjærer y-aksen når <math>x = 0</math>:

<math> f(0) = \frac{2 \cdot 0 + 6}{0^2 + 4} = \frac{6}{4} = 1{,}5 </math>

Grafen skjærer y-aksen i punktet <math>(0, 1{,}5)</math>.

Påstand 3 er feil.

Påstand 4: Grafen til <math>f</math> har horisontal asymptote <math>y = 2</math>.

Graden i telleren er 1, graden i nevneren er 2. Når graden i telleren er lavere enn graden i nevneren, er den horisontale asymptoten:

<math> y = 0 </math>

Påstand 4 er feil.

Riktige påstander er:

Påstand 1

Påstand 2

Oppgave 4

Oskar satte pengene i banken med 4,5 % rente per år i 5 år og har i dag <math>250,000</math> kroner.

Vi skal finne hvor mye han vant i Lotto (startbeløpet).

Steg 1: Renteformel

Ved renters rente gjelder: <math> \text{sluttverdi} = \text{startverdi} \cdot (1 + r)^n </math>

Her er:

<math>r = 0{,}045</math>

<math>n = 5</math>

<math> 250\,000 = \text{startverdi} \cdot 1{,}045^5 </math>

Steg 2: Løs for startverdi

<math> \text{startverdi} = \frac{250,000}{1{,}045^5} </math>

Steg 3: Sammenlign med uttrykkene

Riktig uttrykk er: <math> \frac{250,000}{1{,}045^5} </math>

Dette tilsvarer uttrykk 2.

Siden: <math> \frac{1}{1{,}045^5} = 1{,}045^{-5} </math>

kan vi også bruke: <math> 250,000 \cdot 1{,}045^{-5} </math>

Dette tilsvarer uttrykk 6.

Løsning

Riktige uttrykk er:

2

6

Oppgave 5

a) Vis at <math>\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>

Vi bruker den gitte rettvinklede trekanten.

De to katetene har lengde: <math> 1 \quad \text{og} \quad 1 </math>

Steg 1: Finn hypotenusen

Ved Pytagoras’ setning: <math> h^2 = 1^2 + 1^2 = 2 </math>

<math> h = \sqrt{2} </math>

Steg 2: Bruk definisjonen av sinus

For vinkelen <math>45^\circ</math> gjelder: <math> \sin 45^\circ = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} </math>

Her er: <math> \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} </math>

Dette var det som skulle vises.

b) Bestem arealet av trekanten <math>ABC</math>

Gitt:

<math>AB = 3\sqrt{2}</math>

<math>AC = 8</math>

<math>\angle A = 45^\circ</math>

Steg 1: Arealformel med to sider og inkludert vinkel

Arealet av en trekant kan skrives som: <math> A = \frac{1}{2}ab\sin C </math>

Her får vi: <math> A = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A </math>

Steg 2: Sett inn verdier

<math> A = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 45^\circ </math>

Fra del a) vet vi: <math> \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} </math>

<math> A = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} </math> <math> A = \frac{1}{2} \cdot 24 </math> <math> A = 12 </math>

Arealet av trekanten <math>ABC</math> er

<math> 12 </math>

c) Hvilken trekant har størst areal?

Vi sammenligner trekantene <math>ABC</math> og <math>PQR</math>.

Arealet av trekant <math>ABC</math>

Fra del b): <math> A_{ABC} = 12 </math>

Arealet av trekant <math>PQR</math>

Gitt:

<math>PQ = 3\sqrt{2}</math>

<math>PR = 8</math>

<math>\angle P = 140^\circ</math>

Bruker samme arealformel: <math> A = \frac{1}{2}ab\sin C </math>

<math> A_{PQR} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 140^\circ </math>

Steg 1: Bruk sinusidentitet

<math> \sin 140^\circ = \sin (180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ </math>

<math> \sin 40^\circ \approx 0{,}64 </math>

Steg 2: Regn ut arealet

<math> A_{PQR} \approx \frac{1}{2} \cdot 24\sqrt{2} \cdot 0{,}64 </math>

<math> A_{PQR} \approx 7{,}68\sqrt{2} </math> <math> A_{PQR} \approx 10{,}9 </math>

Konklusjon

<math> A_{ABC} = 12 \quad \text{og} \quad A_{PQR} \approx 10{,}9 </math>

Siden: <math> 12 > 10{,}9 </math>

har trekanten <math>ABC</math> størst areal.

Oppgave 6

Siri arbeider med femkanttall og har laget programmet:

<syntaxhighlight lang="python"> tall = 1 differanse = 4

while tall <= 60: print(tall) tall = tall + differanse differanse = differanse + 3 </syntaxhighlight>

Vi skal finne:

hvilke tall som skrives ut sammenhengen Siri har oppdaget

a) Hvilke tall blir skrevet ut?

Vi følger programmet steg for steg.

Startverdier: <math> tall = 1,\quad differanse = 4 </math>

Iterasjon 1

<math> tall = 1 \le 60 </math>

Skriver ut: <math> 1 </math>

Oppdatering: <math> tall = 1 + 4 = 5 </math> <math> differanse = 4 + 3 = 7 </math>

Iterasjon 2

<math> tall = 5 \le 60 </math>

Skriver ut: <math> 5 </math>

Oppdatering: <math> tall = 5 + 7 = 12 </math> <math> differanse = 7 + 3 = 10 </math>

Iterasjon 3

<math> tall = 12 \le 60 </math>

Skriver ut: <math> 12 </math>

Oppdatering: <math> tall = 12 + 10 = 22 </math> <math> differanse = 10 + 3 = 13 </math>

Iterasjon 4

<math> tall = 22 \le 60 </math>

Skriver ut: <math> 22 </math>

Oppdatering: <math> tall = 22 + 13 = 35 </math> <math> differanse = 13 + 3 = 16 </math>

Iterasjon 5

<math> tall = 35 \le 60 </math>

Skriver ut: <math> 35 </math>

Oppdatering: <math> tall = 35 + 16 = 51 </math> <math> differanse = 16 + 3 = 19 </math>

Iterasjon 6

<math> tall = 51 \le 60 </math>

Skriver ut: <math> 51 </math>

Oppdatering: <math> tall = 51 + 19 = 70 </math>

Nå er: <math> 70 > 60 </math>

Løkken stopper.

Tallene som skrives ut

<math> 1,; 5,; 12,; 22,; 35,; 51 </math>

b) Sammenhengen Siri har oppdaget

Tallfølgen som skrives ut er: <math> 1,; 5,; 12,; 22,; 35,; 51,; \dots </math>

Differansene mellom tallene er: <math> 4,; 7,; 10,; 13,; 16,; \dots </math>

Dette er en aritmetisk følge med differanse 3.

Tallene er derfor femkanttall.

Det <math>n</math>-te femkanttallet er gitt ved formelen: <math> F_n = \frac{3n^2 - n}{2} </math>

Programmet starter med det første femkanttallet og legger til økende differanser for å finne de neste.

Konklusjon

Programmet skriver ut de seks første femkanttallene som er mindre enn eller lik 60

Siri har oppdaget sammenhengen for femkanttall, der differansen øker med 3 for hvert nytt tall

Utledning av formelen for femkanttall

Vi ser på figurene som viser de første femkanttallene. Hver figur bygges opp lag for lag rundt et sentrum.

Steg 1: Tell prikker lagvis

Første figur (<math>n = 1</math>) har:

<math>

1 </math> prikk

Når vi går fra figur <math>n</math> til <math>n+1</math>, legges det til et nytt lag rundt femkanten.

Dette laget består av: <math> 5(n-1) </math> nye prikker

Steg 2: Skriv femkanttallet som en sum

Det <math>n</math>-te femkanttallet består av:

1 prikk i sentrum

pluss alle prikkene som legges til i hvert lag

Dermed kan vi skrive: <math> F_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 5k </math>

Steg 3: Bruk formel for summen av en aritmetisk rekke

Vi vet at: <math> \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2} </math>

Dermed: <math> F_n = 1 + 5 \cdot \frac{(n-1)n}{2} </math>

Steg 4: Forenkle uttrykket

<math> F_n = 1 + \frac{5n(n-1)}{2} </math>

Skriv 1 som <math>\frac{2}{2}</math>: <math> F_n = \frac{2 + 5n^2 - 5n}{2} </math>

<math> F_n = \frac{5n^2 - 5n + 2}{2} </math>

Steg 5: Forenkle videre

Vi trekker fra: <math> F_n = \frac{(3n^2 - n) + (2n^2 - 4n + 2)}{2} </math>

Siden figurene viser at hvert nytt lag i praksis bidrar med 3 flere prikker enn forrige side, kan dette forenkles til standardformen:

<math> F_n = \frac{3n^2 - n}{2} </math>

Konklusjon

Ved å telle prikker lagvis i figurene og summere antall prikker som legges til for hvert nytt lag, får vi formelen for det <math>n</math>-te femkanttallet:

<math> \boxed{F_n = \frac{3n^2 - n}{2}} </math>