Polynomdivisjon: Forskjell mellom sideversjoner
Ingen redigeringsforklaring |
Ingen redigeringsforklaring |
||
(34 mellomliggende versjoner av 3 brukere er ikke vist) | |||
Linje 1: | Linje 1: | ||
Polynomdivisjon kan | Polynomdivisjon kan blant annet brukes til å faktorisere og forenkle et brøkuttrykk. | ||
Nedenfor følger et eksempel på polynomdivisjon. | Nedenfor følger et eksempel på polynomdivisjon. | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
'''Eksempel 1'''<p></p> | '''Eksempel 1'''<p></p> | ||
< | <math>(8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)=</math> | ||
Tanken er som følger: Hva må 2x multipliseres med for at vi skal få 8x<sup>4</sup>? Svaret er 4x<sup>3 </sup>som skrives på høyre side av likhetstegnet. | Tanken er som følger: Hva må 2x multipliseres med for at vi skal få 8x<sup>4</sup>? Svaret er 4x<sup>3 </sup>som skrives på høyre side av likhetstegnet. 4x<sup>3</sup> må også multipliseres med 1. | ||
< | <math>(8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 \ | ||
8x^4+4x^3 | 8x^4+4x^3 | ||
\qquad\qquad \qquad | \qquad\qquad \qquad | ||
</ | </math> | ||
Man trekker fra som ved vanlig divisjon og får:<p></p> | Man trekker fra som ved vanlig divisjon og får:<p></p> | ||
< | <math>\qquad | ||
(8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 \ | (8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 \ | ||
-(8x^4+4x^3) \ | -(8x^4+4x^3) \ | ||
Linje 19: | Linje 19: | ||
6x^3+3x^2+2x+1 \ | 6x^3+3x^2+2x+1 \ | ||
\qquad\qquad \qquad | \qquad\qquad \qquad | ||
</ | </math><p></p> | ||
Slik fortsetter man og får:<p></p> | Slik fortsetter man og får:<p></p> | ||
< | <math>\qquad | ||
(8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 +3x^2 + 1\ | (8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 +3x^2 + 1\ | ||
-(8x^4+4x^3) \ | -(8x^4+4x^3) \ | ||
Linje 29: | Linje 29: | ||
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -(2x + 1) \ | \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -(2x + 1) \ | ||
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0 \ | \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0 \ | ||
</ | </math><p></p> | ||
I dette tilfellet ble resten null. De betyr at divisjonen gikk opp. | I dette tilfellet ble resten null. De betyr at divisjonen gikk opp. | ||
Linje 36: | Linje 36: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
'''Eksempel 2'''<p></p> | '''Eksempel 2'''<p></p> | ||
< | <math>\qquad(t^3 - 4t^2 - 8t + 13):(t-1)= t^2 -3t - 11 + \frac{2}{t-1} \ | ||
-(t^3-t^2) \ | -(t^3-t^2) \ | ||
\qquad\qquad\qquad -3t^2 - | \qquad\qquad\qquad -3t^2 - 8t + 13 \ | ||
\qquad\qquad -(-3t^2 + 3t) \ | |||
\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-11t + 13 \ | |||
\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad-(-11t + 11) \ | |||
\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad2 \</math><p></p> | |||
Resten i dette eksempelet blir 2. Nedenfor ser du funksjonen til | |||
[[Bilde:asymp1.png]]<p></p> | |||
</blockquote> | </blockquote> | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | |||
Både P og Q er polynomer. Når man utfører divisjonen blir resten av lavere grad enn Q.<p | |||
></p> | |||
Når man dividerer polynomet P(x) med | |||
</div> | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | |||
P(x) er et polynom. Dersom P(x) har faktoren | |||
P(x) er et polynom. Dersom divisjonen | |||
<p></p> | |||
</div> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel 3'''<p></p> | |||
Er (x+1) en faktor i polynomet | |||
Da må P(-1)= 0 <p></p> Man får - 2 - 2 + 3 + 1 = 0 <p></p> (x+1) er en faktor i P<p></p> | |||
Det betyr også at divisjonen P:(x+1) går opp. | |||
</blockquote> | </blockquote> | ||
---- | |||
Linje 53: | Linje 88: | ||
[[Category:R1]] | [[Category:R1]] | ||
[[Category:Ped]] | [[Category:Ped]] | ||
[[kategori:lex]] | |||
[[Category:FixTex]] |
Siste sideversjon per 18. mar. 2019 kl. 04:36
Polynomdivisjon kan blant annet brukes til å faktorisere og forenkle et brøkuttrykk.
Nedenfor følger et eksempel på polynomdivisjon.
Eksempel 1
Tanken er som følger: Hva må 2x multipliseres med for at vi skal få 8x4? Svaret er 4x3 som skrives på høyre side av likhetstegnet. 4x3 må også multipliseres med 1.
Man trekker fra som ved vanlig divisjon og får:
<math>\qquad (8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 \ -(8x^4+4x^3) \ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 6x^3+3x^2+2x+1 \ \qquad\qquad \qquad
</math>
Slik fortsetter man og får:
<math>\qquad (8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 +3x^2 + 1\ -(8x^4+4x^3) \ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad6x^3+3x^2+2x+1 \ \qquad\qquad\qquad\qquad-(6x^3+3x^2) \ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 2x + 1 \ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -(2x + 1) \ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0 \
</math>
I dette tilfellet ble resten null. De betyr at divisjonen gikk opp.
La oss se på et eksempel der divisjonen ikke går opp. Det betyr at man får en rest.
Eksempel 2
<math>\qquad(t^3 - 4t^2 - 8t + 13):(t-1)= t^2 -3t - 11 + \frac{2}{t-1} \ -(t^3-t^2) \ \qquad\qquad\qquad -3t^2 - 8t + 13 \ \qquad\qquad -(-3t^2 + 3t) \ \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-11t + 13 \ \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad-(-11t + 11) \
\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad2 \</math>
Resten i dette eksempelet blir 2. Nedenfor ser du funksjonen til
. Man observerer at
er en asymptote til f(t). I tillegg er t = 1 en vertikal asymptote til f. Grafen til g er stiplet rød.
Når man dividerer polynomet P(x) med
P(x) er et polynom. Dersom divisjonen
Eksempel 3
Er (x+1) en faktor i polynomet
? Da må P(-1)= 0
Man får - 2 - 2 + 3 + 1 = 0
(x+1) er en faktor i P
Det betyr også at divisjonen P:(x+1) går opp.