Bevis for cosinussetningen: Forskjell mellom sideversjoner
Fra Matematikk.net
Ingen redigeringsforklaring |
Ingen redigeringsforklaring |
||
(18 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
Linje 1: | Linje 1: | ||
{{Reklame}} | |||
Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.<p></p> | |||
'''Spissvinklede:'''<p></p> | |||
[[Bilde:Bevcos111.PNG]] | [[Bilde:Bevcos111.PNG]] | ||
Bruker pytagoras på trekanten ADC:<p></p> | Bruker pytagoras på trekanten ADC:<p></p> | ||
< | <math>x^2 + h^2 = b^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</math> | ||
Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p> | |||
Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre: | |||
Finner cosA: | |||
<math> cosA = \frac xb \Rightarrow x = b \cdot cosA</math> | |||
og får: | |||
< | <math>a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot b \cdot c \cdot cosA</math> | ||
'''Stompvinklede:'''<p></p> | |||
[[Bilde:Bevcos2.PNG]] | |||
Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p> | |||
Bruker pytagoras på trekanten DAC:<p></p> | |||
Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man:<p></p> | |||
---- | ---- | ||
[[Category:bevis]][[Category:1T]][[Category:lex]] | [[Category:bevis]][[Category:1T]][[Category:lex]] |
Siste sideversjon per 22. jan. 2025 kl. 05:03
Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.
Spissvinklede:
Bruker pytagoras på trekanten ADC:
Bruker pytagoras på trekanten DBC:
Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre:
Finner cosA:
og får:
Stompvinklede:
Bruker pytagoras på trekanten DBC:
Bruker pytagoras på trekanten DAC:
Kombinere resultatene og får:
Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man: