1T 2012 vår LØSNING

Opgave 1

a)

1) $8+2\cdot 3-3^2-(10-12{)}^2=8+6-9-4=1$

2) $\frac{9^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{-3}}{(3^{-2}{)}^3}=\frac{(3^2{)}^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{-3}}{3^{-6}}=3^{1-3+6}=3^4=81$

b)

$5,5\cdot {10}^5\cdot 6,0\cdot {10}^6=5,5\cdot 6,0\cdot {10}^{11}=33,0\cdot {10}^{11}=3,3\cdot {10}^{12}$

c)

$$\begin{gathered} \left[x+2y=16 \\ 3x-y=6\right] \\ \left[x=16-2y \\ 3(16-2y)-y=6\right] \\ \left[x=16-2y \\ 48-6y-y=6\right] \\ \left[x=16-2y \\ y=6\right] \\ \left[x=4 \\ y=6\right] \end{gathered}$$

d)

$2x-3=6-\frac{1}{4}x$

Grafisk løsning

Man observerer at: x = 4

e)

$-x^2-x+13\ge 0$

Faktoriserer (abc-formelen) og får:

$-(x+4)(x-3)\ge 0$

Fortegnsskjema:

$x\in [-4,3]$

f)

Man ser at uttrykket i teller er det samme som uttrykket i e.

$\frac{-x^2-x+12}{x^2-9}=\frac{-(x+4)(x-3)}{(x+3)(x-3)}=-\frac{x+4}{x+3}$

g)

I et Venndiagram ser situasjonen slik ut:

Fra diagrammet ser man at sannsynligheten for at eleven spiller håndball når man vet at eleven spiller fotball er seks femtenedeler.

$P(haandball|fotball)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$

h)

Siri = x

Marit = 3(x-4)

Karen = (3(x-4))/2

Siri + Marit + Karen = 26

$$\begin{gathered} x+3(x-4)+\frac{3}{2}(x-4)=26 \\ 2x+3x+6x=88 \\ x=8 \end{gathered}$$

Siri er 8 år.

Marit er 12 år.

Karen er 6 år.

i)

1)

AC = AB = 3

Bruker pytagoras:

$$\begin{gathered} (BC{)}^2=(AB{)}^2+(AC{)}^2 \\ (BC{)}^2=9+9 \\ BC=\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2} \end{gathered}$$

2)

$cos45=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Oppgave 2:

$f(x)=x^2-2x+a$

a)

f(0) = a ,dvs. a må være lik 2.

b)

$$\begin{gathered} f(3)=0 \\ {3}^2-2\cdot 3+a=0 \\ a=-3 \end{gathered}$$

c)

f'(x) = 2x-2

f'(x) = 0

2x - 2 = 0

x = 1

f(1) = 5

1-2+a =-5

a=-4

d)

Dersom $b^2-4ac$ er null har funksjonen ett nullpunkt.Dersom $b^2-4ac$ er større enn null har den to.

$$\begin{gathered} (-2{)}^2-4a\ge 0 \\ a\le 1 \end{gathered}$$

Oppgave 3:

a:

Pytagoras:

$$\begin{gathered} (BD{)}^2=(24m{)}^2+(16m{)}^2 \\ (BD{)}^2=900m^2 \\ BD=30m \end{gathered}$$

b:

$\mathrm{\angle }ABD:$

$$\begin{gathered} Cos(ABD)=\frac{24}{30} \\ \mathrm{\angle }ABD=36,9^{\circ } \end{gathered}$$

$\mathrm{\angle }BCD:$

Bruker Cosinussettningen og får:

$$\begin{gathered} {30}^2={24}^2+{16}^2-2\cdot 24\cdot 16\cdot cosC \\ cosC=\frac{900-576-256}{-2\cdot 24\cdot 16} \\ c=95,1^{\circ } \end{gathered}$$

c:

Arealet av firkanten ABCD er lik arealet av trekantene ABD og BCD:

$ABD+BCD=\frac{18\cdot 24}{2}+\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 24sin95,1^{\circ }=407,2m^2$

d:

Da ville figuren hvært et trapes med areal 408 kvadratmeter. Det er ikke tilfellet, og man kan slutte at vinkel ABC er forskjellig fra 90 grader.

Oppgave 4:

a)

$f(x)=-0,05x^2+2,60x+0,50$

Figuren viser sammenheng mellom vekt i kg på y aksen og alder i måneder på x aksen.

I følge modellen veier en gris 0,5 kg ved fødselen. (f(0) = 0,5)

b)

Fra grafen i a: Når grisen passerer 20 kg. er den 9 måneder gammel.

Gjennomsnittlig vektøkning: $\frac{20kg-0,5kg}{9,09mnd}=2,15kg/mnd$

c)

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=-0,1x+2,60 \\ {f}^{\prime }(12)=-0,1\cdot 12+2,60=1,40kg/mnd \end{gathered}$$

d)

Fra grafen i a ser man at den deriverte avtar med økende verdi av x.

f'(x)=0,50

-0,1x + 2,60 = 0,5

x = 21

Grisene vokser med 0,50kg per mnd. i den 21. måneden, og blir da slaktet.

Oppgave 5:

a)

$P(rosa\cap rosa)=\frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}$

b)

$P(en-rosa-av-to)=\frac{2}{10}\cdot \frac{8}{9}+\frac{8}{10}\cdot \frac{2}{9}=\frac{16}{45}$

c)

$P(to-av-samme-farge)=5\cdot \frac{1}{45}=\frac{1}{9}$

Oppgave 6:

a)
$P(x=20)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{20})\cdot 0,4^{20}\cdot 0,6^{30}=0,11$
b)
$P(x>15)=P(16)+P(17)+..+P(50)=0,905$

Oppgave 7:

a)

Avstanden AC + CE:

$$\begin{gathered} (AC{)}^2=100+x^2 \\ AC=\sqrt{100+x^2} \\ (CE{)}^2={12}^2+(12-x{)}^2 \\ (CE{)}^2=144+144-24x+x^2 \\ CE=\sqrt{288-24x+x^2} \\ AC+CE=\sqrt{100+x^2}+\sqrt{288-24x+x^2} \end{gathered}$$

b)

Fra grafen til den deriverte ser man at AC+CE har sin minste lengde når x = 5,45

Oppgave 8:

Rasjonale funksjoner er ikke definert for den eller de verdier som gir null i nevner. Siden f har en vertikal asymptote for x = 1 og nevner er (x-d), må d ha verdien 1 siden 1 -1 = 0.

$f(0)=\frac{c}{-d}=2\Rightarrow c=-2$.

Setter inn x verdiene i nullpunktene og får:

$$\begin{gathered} a-b-2=0 \\ \wedge \\ 4a+2b-2=0 \\ a=1\wedge b=-1 \end{gathered}$$